2023學年完整公開課版函數(shù)極值

第二章函數(shù)、導數(shù)及其應用第十一節(jié)導數(shù)的應用課堂實效·檢測課時作業(yè)主干知識·整合熱點命題·突破導數(shù)為零的點是該點為極值點的必要條件,而不是充分條件.(2)函數(shù)的極值不是唯一的.即一個函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個.請注意以下幾點:(1)極值是一個局部概念.由定義,極值只是某個點的函數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比較是最大或最小.并不意味著它在函數(shù)的整個的定義域內(nèi)最大或最小.也就是說極值與最值是兩個不同的概念.oaX1X2X3X4baxy(3)極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系.即一個函數(shù)的極大值未必大于極小值,如下圖所示,x1是極大值點,x4是極小值點,而f(x4)>f(x1).解：=3x2-12=3(x-2)(x+2)令=0得x=2,或x=-2下面分兩種情況討論：(1)當>0即x>2,或x<-2時;例1、求函數(shù)f(x)=x3-12x+12的極值。

x

(-∞,-2)-2

(-2,2)2

(2,+∞)+0

-0+f(x)單調(diào)遞增↗28單調(diào)遞減↘-4單調(diào)遞增↗當x變化時，,f(x)的變化情況如下表；因此，當x=-2時，f(x)有極大值，并且極大值為f(-2)=28當x=2時，f(x)有極小值，并且極小值為f(2)=-4圖象如右練習1、求函數(shù)f(x)=6+12x-x3=12-3x2=3(4-x2)=3(2-x)(2+x)x(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)-0+0

-f(x)↘-10↗22↘命題方向二利用函數(shù)的極值求參數(shù)的值[例2]已知f(x)＝ax5－bx3＋c在x＝±1處有極大值為4，極小值為0，試確定a、b、c值．[分析]對參數(shù)的分類討論是本題的難點．[解析]

f′(x)＝5ax4－3bx2＝x2(5ax2－3b)．由題意，f′(x)＝0應有根x＝±1，故5a＝3b，于是f′(x)＝5ax2(x2－1)(1)當a＞0時，x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)

極大值

極小值

(2)當a＜0時，x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)

極小值

極大值

[說明]本題從逆向思維的角度出發(fā)根據(jù)題設(shè)條件進行逆向聯(lián)想，合理地實現(xiàn)了問題的轉(zhuǎn)化，使抽象問題具體化．[例3]求函數(shù)f(x)＝－x4＋2x2＋3(x∈[－3,2])的最大值和最小值．命題方向三求函數(shù)的最值[解析]

f′(x)＝－4x3＋4x＝－4x(x－1)(x＋1)由f′(x)＝0得x＝0或x＝1或x＝－1，當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x-3(-3，-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,2)2f′(x)＋0－0＋0-f(x)-60

極大值4

極小值3

極大值4

－5∴當x＝－3時，f(x)取得最小值－60，當x＝－1或x＝1時，函數(shù)f(x)取得最大值4.[例4]設(shè)函數(shù)f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2時取得極值．(1)求a，b的值；(2)若對于任意的x∈[0,3]，都有f(x)<c2成立，求c的取值范圍．當x∈(2,3)時，f′(x)>0.所以當x＝1時，f(x)取得極大值f(1)＝5＋8c，又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c.則當x∈[0,3]時，f(x)的最大值為f(3)＝9＋8c，因為對于任意的x∈[0,3]，有f(x)<c2恒成立，所以9＋8c<c2，解得c<－1或c>9，因此c的取值范圍為(－∞，－1)∪(9，＋∞)．[規(guī)律方法](1)不等式恒成立問題與函數(shù)最值有密切的關(guān)系，解決有關(guān)不等式恒成立問題，通常轉(zhuǎn)化為最值問題來解：c≥f(x)恒成立?c≥f(x)max；c≤f(x)恒成立?c≤f(x)min.(2)高次函數(shù)或非基本初等函數(shù)的最值問題，通常采用導數(shù)法解決．上例改為“若對任意的x∈[0,3]都有f(x)≥c2成立，求c的取值范圍”，如何解答？[解析]

由例題可知f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，若對于任意的x∈[0,3]，都有f(x)≥c2成立，只需f(x)在x∈[0,3]上的最小值大于c2即可．又當x＝1或x＝2時，f′(x)＝0，當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x0(0,1)1(1,2)2(2,3)3f′(x)＋0－0＋f(x)8c

極大