薄膜滲透率的測定

薄膜滲透率的測定摘要根據(jù)問題的要求，我們對題目進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆治觯?通過合理的假設(shè)， 們建立微積分?jǐn)?shù)學(xué)模型和數(shù)據(jù)擬合數(shù)學(xué)模型，求出不同關(guān)系量之間的關(guān)系。對于問題，我們運(yùn)用高等數(shù)學(xué)和高中物理和生物學(xué)的相關(guān)知識，同時也用 MATLAB進(jìn)行求解，得出A=0.00006985525148 B=-0.00002994067803 K=0.10117070586401關(guān)鍵詞：數(shù)據(jù)擬合，滲透率，質(zhì)量守恒一、問題的重述某種醫(yī)用薄膜有允許一種物質(zhì)的分子穿透它， 從高濃度的溶液向低濃度的溶液擴(kuò)散的功能，在試制時，需要測定薄膜被這種分子穿透的能力。測定方法如下：用面積S的薄膜將容器分成體積分別為 Va，Vb的兩部分，在兩部分中分別注滿該物質(zhì)的兩種不同濃度的溶液。此時該物質(zhì)分子就會從高濃度溶液穿過薄膜向低濃度溶液中擴(kuò)散。通過單位面積膜分子擴(kuò)散的速度與膜兩側(cè)溶液的濃度差成正比，比例系數(shù) K表示薄膜被該物質(zhì)分子穿透的能力，稱為滲透率。定時測量容器中薄膜某一側(cè)的溶液濃度值， 以此確定K的值。3 2VA=VB=1000cm,S=10cm,求容器的B部分溶液濃度 Va的測試結(jié)果如下表（其中 Cj的單位為毫克/cm3）Stj(秒)tj(秒)100200300400500Cj(*10-5)4.544.995.355.655.90tj(秒)6007008009001000Cj(*10-5)6.106.266.396.506.59二、模型的假設(shè)1、 薄膜兩側(cè)的溶液始終是均勻的，即在任何的時刻膜兩側(cè)的每一處溶液的濃度都相同。2、 物質(zhì)從膜的任何一側(cè)向另一側(cè)滲透的性能是相同的。三、符號說明：t:時間CA（t）：t時刻A側(cè)溶液的濃度。CB（t）：t時刻B側(cè)溶液的濃度。aA:A側(cè)初始時刻的濃度aB::B側(cè)初始時刻的濃度Cj::B側(cè)在j時刻測得的濃度V:體積SK:物質(zhì)質(zhì)量的增加四、問題的分析滲透率和濃度差是本文所要求的關(guān)系量，我們先用質(zhì)量守恒建立溶質(zhì)間的滲透關(guān)系，用微分方程，建立微分?jǐn)?shù)學(xué)模型來求t時刻薄膜兩側(cè)的濃度，體積差。最后通過數(shù)據(jù)擬合，得出K的值。四、模型的建立與求解令時刻t,膜兩側(cè)溶液的濃度分別為 CA(t)和CB(t),初始時刻兩側(cè)的濃度分別為 aA和aB,單位為mg/cm3.又設(shè)B側(cè)在tj時刻測得的濃度為cj(j=1,2,3 n).在A側(cè)經(jīng)△t物質(zhì)質(zhì)量增加為：VACA(t+△t)-VACA(t)從B側(cè)滲透到A側(cè)的物質(zhì)質(zhì)量為：SK(CB-CA)△t.由質(zhì)量守恒：V(CA(t+△t)-CA(t))=SK(CB-CA)△t兩邊同除VA△t得：dCA/dt=SK(CB-CA)/VA……(1)在B側(cè)，經(jīng)△t物質(zhì)增加為：VBCB(t+△t)-VBCB(t)從A側(cè)滲透到B側(cè)的物質(zhì)質(zhì)量為：SK(CA-CB)△t由質(zhì)量守恒定律得：VB(CB(t+△t)-CB(t))=SK(CA-CB)△tdCB/dt=SK(CA-CB)/VB……(2)得到薄膜兩側(cè)溶液滿足微分方程組的初值問題：dCA/dt=SK(CB-CA)/VA……(1)dCB/dt=SK(CA-CB)/VB……(2)CA(0)=Aa，CB(0)=aB又能有整個容器的溶液中含有該物質(zhì)的質(zhì)量不變，即成立VACA(t)+VBCB(t)=常數(shù)=VAaA+VbaB……(3)即:CA(t)=Aa+VB*Ab/VA-VB*CB(t)/VA……(4)將(4)式代入(2)式；根據(jù)積分中值定理：dCB/dt=SK(Aa+VB*Ab/VA-VB*CB(t)/VA-CB)/VB ……(5)dCB/dt=a-bCBCB(0)=aB其中a=SK(Aa/VB+Ab/VA)b=SK(1/VA+1/VB);解得：CB(t)=(aAVA+aBVB)/(VA+VB)+(VA(aB-aA)/(VA+VB))*e.A(-sk(1/VA+1/VB)*t令A(yù)=(aAVA+aBVB)/(VA+VB)=0.2B=VA(aB-aA)/(VA+VB)=0.05CB(t)=A+B*E.A(-SK(1/VA+1/VB)*t將已知數(shù)據(jù)代入,通過數(shù)據(jù)擬合求參數(shù)k：s=10,VA==VB=1000

A=0.00006985525148B=-0.00002994067803K=0.10117070586401附錄：運(yùn)用MATLAB：%其中x(1)=a;x(2)=b;x(3)=k;%其中x(1)=a;x(2)=b;x(3)=k;f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata)調(diào)用函數(shù)一：tdata=100:100:1000;cdata=1e-05*[4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,6.50,6.59];x0=[0.2,0.05,0.05];x=curvefit('curvefun1',x0,tdata,cdata);f=curvefun1(x,tdata);x,fx=0.00006985525148-0.000029940678030.101170705864010.00006985525148-0.000029940678030.10117070586401f=1.0e-004*0.453992263195120.589688878102670.6500929