中學(xué)說課標(biāo)說教材

天津市四合莊中學(xué)王利萍

中學(xué)說課標(biāo)說教材普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程

知識樹

說課程標(biāo)準(zhǔn)-曲線的參數(shù)方程

1、通過分析拋物運(yùn)動(dòng)中時(shí)間與運(yùn)動(dòng)物體位置的

關(guān)系，寫出拋物運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程，體會

參數(shù)的意義。2、分析圓的幾何性質(zhì)，選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出它

的參數(shù)方程。3、會進(jìn)行參數(shù)方程和普通方程的互化。課程目標(biāo)

說課程標(biāo)準(zhǔn)—曲線的參數(shù)方程教學(xué)重點(diǎn)：

根據(jù)問題的條件引進(jìn)適當(dāng)?shù)膮?shù)

，寫出參數(shù)方程，體會參數(shù)的意義。參數(shù)方程和普通方程的互化。教學(xué)難點(diǎn)：

根據(jù)幾何性質(zhì)選取恰當(dāng)?shù)膮?shù)，建立曲線的參數(shù)方程。參數(shù)方程和普通方程的等價(jià)互化。課程內(nèi)容說課程標(biāo)準(zhǔn)—曲線的參數(shù)方程教學(xué)過程：一、參數(shù)方程的概念

1．探究：（1）平拋運(yùn)動(dòng)：xy500OAv=100m/s課程內(nèi)容說課程標(biāo)準(zhǔn)—曲線的參數(shù)方程

xyOv=v0(2)練習(xí)：斜拋運(yùn)動(dòng)：課程內(nèi)容說課程標(biāo)準(zhǔn)-曲線的參數(shù)方程

2．參數(shù)方程的概念（見教科書第22頁）

說明：（1）一般來說，參數(shù)的變化范圍是有限制的。（2）參數(shù)是聯(lián)系變量x，y的橋梁，可以有實(shí)際意義，也可

無實(shí)際意義。

例1．（教科書第22頁例1）已知曲線C的參數(shù)方程是(t為參數(shù))（1）判斷點(diǎn)M1(0,1),M2(5,4)與曲線C的位置關(guān)系；（2）已知點(diǎn)M3(6,a)在曲線C上，求a的值。課程內(nèi)容說課程標(biāo)準(zhǔn)—曲線的參數(shù)方程

xyO r M M0

x二．圓的參數(shù)方程說明：（1）隨著選取的參數(shù)不同，參數(shù)方程形式也有不同，但表示的

曲線是相同的。（2）在建立曲線的參數(shù)方程時(shí)，要注明參數(shù)及參數(shù)的取值范圍。例2．（教科書第24頁例2）思考：你能回答教科書第25頁的思考嗎？課程內(nèi)容說課程標(biāo)準(zhǔn)—曲線的參數(shù)方程

三．課堂練習(xí)

（教科書第26頁習(xí)題）四．鞏固與反思1．本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識2．本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)方法五.鞏固與提高1．與普通方程xy=1表示相同曲線的參數(shù)方程（t為參數(shù)）是

（D）

B

CD課程內(nèi)容A說課程標(biāo)準(zhǔn)—曲線的參數(shù)方程A．(2,7)

2．下列哪個(gè)點(diǎn)在曲線上（C）B

CD．(1,0)3．曲線的軌跡是（D）

A．一條直線B．一條射線C．一個(gè)圓D．一條線段4．方程表示的曲線是（D）A．余弦曲線B．與x軸平行的線段C．直線D．與y軸平行的線段課程內(nèi)容說教材--所用版本的編寫特點(diǎn)

1.強(qiáng)調(diào)背景，展現(xiàn)過程

例如，在回顧平面直角坐標(biāo)系時(shí)，教科書先給出了下面的思考（以下簡稱“聲響定位”）：說教材--所用版本的編寫特點(diǎn)

給出這一問題背景，目的是讓學(xué)生通過思考和比較后，能選擇建立坐標(biāo)系，通過坐標(biāo)法解決問題，進(jìn)一步體會坐標(biāo)法思想，為繼續(xù)學(xué)習(xí)極坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系作準(zhǔn)備．在介紹極坐標(biāo)概念前，教科書先給出下面的問題（以下簡稱“校內(nèi)方位”）讓學(xué)生思考：說教材--所用版本的編寫特點(diǎn)

這一思考，能讓學(xué)生結(jié)合自己熟悉的背景，體會在某些情況下用距離與角度來刻畫點(diǎn)的位置的方便性，為引入極坐標(biāo)提供思維基礎(chǔ)．在引入?yún)?shù)方程的概念時(shí)，教科書提供下面的“探究”。說教材--所用版本的編寫特點(diǎn)

這一探究的目的是讓學(xué)生先感受事實(shí)：“在建立了坐標(biāo)系的情況下，離開飛機(jī)的救援物資（動(dòng)點(diǎn)）的坐標(biāo)（或曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)）可以用某個(gè)變量的函數(shù)來表示”，從而使參數(shù)方程的引入自然，參數(shù)的意義明確．在介紹平擺線時(shí)，下面的背景不僅讓學(xué)生對平擺線先有一個(gè)認(rèn)識，還為參數(shù)的選擇與參數(shù)方程的建立提供了準(zhǔn)備：從以上例子可以看出，教科書在介紹新知識、新方法時(shí)，十分重視知識背景，以恰當(dāng)?shù)膯栴}引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、歸納、概括、推理、交流、反思的思維過程和知識發(fā)生發(fā)展的過程，并通過思考、探究、旁白等方式鼓勵(lì)學(xué)生積極參與這個(gè)過程，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)思考、自主探索的學(xué)習(xí)習(xí)慣．說教材--所用版本的編寫特點(diǎn)

2．重視思想性

數(shù)學(xué)知識的積累是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要任務(wù)，但是提煉數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)會數(shù)學(xué)地思維是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重中之重．坐標(biāo)系、曲線的極坐標(biāo)方程及參數(shù)方程是本專題的主要數(shù)學(xué)知識，而坐標(biāo)法思想?yún)s是本專題的重要內(nèi)容．因此，重視思想性就成了本專題的重要特征．

（1）坐標(biāo)系是數(shù)形結(jié)合的橋梁，曲線的極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，坐標(biāo)法思想是數(shù)形結(jié)合思想的重要表現(xiàn)形式．因此，教科書在落實(shí)坐標(biāo)法思想的同時(shí)，自然滲透著數(shù)形結(jié)合思想．

教科書在回顧“平面直角坐標(biāo)系”時(shí)給出了兩個(gè)具體問題，一個(gè)是來自實(shí)際生活的“聲響定位”（P2思考），另一個(gè)是數(shù)學(xué)本身的問題（P4例1）：這兩個(gè)問題本身都沒有建立坐標(biāo)系，這樣安排的目的就是為學(xué)生體會坐標(biāo)法思想創(chuàng)造條件．說教材--所用版本的編寫特點(diǎn)

（2）從具體到抽象，從特殊到一般是人們常常采取的認(rèn)識事物的思維方式，也是一種重

要的數(shù)學(xué)思想方法，教科書在安排學(xué)習(xí)內(nèi)容時(shí)特別重視這種思想方法的滲透．例如，從“聲響定位”、“校內(nèi)方位”到極坐標(biāo)系的建立，從“圓形體育館座位確定”到建立柱坐標(biāo)系而得出柱坐標(biāo)，從“航天器位置的確定”到建立球坐標(biāo)系而得出球坐標(biāo)，等等都是基于這種考慮．（3）注重類比思想．在很多內(nèi)容的處理上，教科書不是把結(jié)論直接陳述給學(xué)生，而是啟

發(fā)學(xué)生用類比的方法進(jìn)行思考，自行探究并獲取結(jié)論．

例如，在學(xué)習(xí)圓的參數(shù)方程后，學(xué)生已經(jīng)知道圓的參數(shù)方程中的參數(shù)的幾何意

義．在學(xué)習(xí)橢圓的參數(shù)方程時(shí)，教科書安排了以下思考：說教材--所用版本的編寫特點(diǎn)

學(xué)生在進(jìn)行上述類比時(shí)，首先想到的是橢圓的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義與圓的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義是一致的，但隨著進(jìn)一步的探究與學(xué)習(xí)卻發(fā)現(xiàn)兩個(gè)參數(shù)的幾何意義不同．教科書安排這樣的“思考”，是為學(xué)生正確理解類比思想提供反面例子．

在介紹完橢圓的參數(shù)方程后，教科書安排了下面的例子：

在利用橢圓的參數(shù)方程解決了上述問題后，教科書給出了下列思考：說教材--所用版本的編寫特點(diǎn)

教科書這樣安排的用意，是希望學(xué)生通過例1與線性規(guī)劃問題進(jìn)行類比，由此體會更多的最優(yōu)化問題，并由此培養(yǎng)學(xué)生的問題意識與創(chuàng)新能力．在學(xué)習(xí)了直線的參數(shù)方程后，為了體現(xiàn)參數(shù)方程在研究某些問題時(shí)的優(yōu)勢，教科書安排了下面的例：在解決上述問題后，教科書接著安排了下面的探究：這樣安排，不僅能使學(xué)生體會到參數(shù)方程在研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)的優(yōu)勢，還能促使學(xué)生重新審視證明過程，用類比的方法發(fā)現(xiàn)證明過程在橢圓改為雙曲線時(shí)亦成立，從而獲得更一般的結(jié)論．說教材---所用版本的編寫體例

說教材---所用版本的編寫目的

1.突出聯(lián)系性

知識間的聯(lián)系是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要特征，學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識的水平與靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識的能力，在很大程度上決定于他的知識的聯(lián)系狀態(tài)．

（1）重視與已有知識的聯(lián)系．

本講內(nèi)容與三角、圓錐曲線等知識的聯(lián)系是密切和自然的，教科書在關(guān)注這些聯(lián)系

的同時(shí)，特別重視與向量知識及向量方法的聯(lián)系，并以此加強(qiáng)學(xué)生對解析方法的全

面認(rèn)識．說教材---所用版本的編寫目的

又如，在學(xué)習(xí)了拋物線的參數(shù)方程后，教科書安排了以下例題：例如，在推導(dǎo)雙曲線、直線、漸開線的參數(shù)方程時(shí)，充分利用向量方法，使數(shù)量關(guān)系清楚明了，推導(dǎo)過程簡潔方便．以下是漸開線的推導(dǎo)過程：說教材---所用版本的編寫目的

教科書在處理上述問題的過程中，不僅利用了拋物線的參數(shù)方程，同時(shí)利用向量的數(shù)量積來處理“垂直”關(guān)系，這樣既避免了針對斜率進(jìn)行分類討論，也簡化了推理過程．在介紹平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換時(shí)，教科書與三角函數(shù)圖象的伸縮變換聯(lián)系起來，不僅增加了學(xué)生回顧已學(xué)知識的機(jī)會，解決了認(rèn)識伸縮變換的平臺問題，而且使學(xué)生把更多的注意力放在了觀察圖象上的坐標(biāo)的伸縮變換上，突出了利用坐標(biāo)伸縮變換表示圖形伸縮變換的坐標(biāo)法思想，提升了學(xué)生對函數(shù)圖象的伸縮變換的認(rèn)識．說教材選修4-4內(nèi)容結(jié)構(gòu)本專題分兩講第一講是“坐標(biāo)系”內(nèi)容包括：平面直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系、簡單曲線的極坐標(biāo)方程和柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系簡介第二講是“參數(shù)方程”內(nèi)容包括：曲線的參數(shù)方程、圓錐曲線的參數(shù)方程、直線的參數(shù)方程和漸開線與擺線．本專題是在學(xué)習(xí)直線與方程、圓與方程以及圓錐曲線與方程的基礎(chǔ)上，對解析幾何內(nèi)容的進(jìn)一步深化．說教材-知識與技能的立體整合知識間的聯(lián)系是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要特征，學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識的水平與靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識的能力，在很大程度上決定于他的知識的聯(lián)系狀態(tài)．

（1）重視與已有知識的聯(lián)系．

本講內(nèi)容與三角、圓錐曲線等知識的聯(lián)系是密切和自然的，教科書在關(guān)注這些聯(lián)系

的同時(shí)，特別重視與向量知識及向量方法的聯(lián)系，并以此加強(qiáng)學(xué)生對解析方法的全

面認(rèn)識．說教材-知識與技能的立體整合例如，在推導(dǎo)雙曲線、直線、漸開線的參數(shù)方程時(shí)，充分利用向量方法，使數(shù)量關(guān)系清楚明了，推導(dǎo)過程簡潔方便．以下是漸開線的推導(dǎo)過程：又如，在學(xué)習(xí)了拋物線的參數(shù)方程后，教科書安排了以下例題：說教材-知識與技能的立體整合教科書在處理上述問題的過程中，不僅利用了拋物線的參數(shù)方程，同時(shí)利用向量的數(shù)量積來處理“垂直”關(guān)系，這樣既避免了針對斜率進(jìn)行分類討論，也簡化了推理過程．在介紹平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換時(shí)，教科書與三角函數(shù)圖象的伸縮變換聯(lián)系起來，不僅增加了學(xué)生回顧已學(xué)知識的機(jī)會，解決了認(rèn)識伸縮變換的平臺問題，而且使學(xué)生把更多的注意力放在了觀察圖象上的坐標(biāo)的伸縮變換上，突出了利用坐標(biāo)伸縮變換表示圖形伸縮變換的坐標(biāo)法思想，提升了學(xué)生對函數(shù)圖象的伸縮變換的認(rèn)識．說教材-知識與技能的立體整合（2）重視教科書內(nèi)部的聯(lián)系．

在回顧“平面直角坐標(biāo)系”時(shí)，教科書安排“聲響定位”問題不僅考慮滲透坐標(biāo)法

思想，還考慮了為后面極坐標(biāo)的學(xué)習(xí)建立聯(lián)系：說教材-知識與技能的立體整合在引入?yún)?shù)方程的概念后，教科書安排了下列習(xí)題：上述問題不僅加深學(xué)生對參數(shù)方程的意義與作用的理解，還與引入?yún)?shù)方程時(shí)“投放救災(zāi)物資”的問題聯(lián)系起來，使學(xué)生學(xué)會從不同角度觀察處理問題．說教材-知識與技能的立體整合（3）重視數(shù)學(xué)知識與實(shí)際問題的聯(lián)系

將所學(xué)數(shù)學(xué)知識與實(shí)際問題聯(lián)系起來，不僅可以讓學(xué)生看到數(shù)學(xué)是有用的，而且可

以激勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，加強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識．教科書不僅在正文方面注意給出

實(shí)際問題，在例題、習(xí)題、探究與閱讀材料等方面均作了安排．在得出直線的參數(shù)

方程后，為讓學(xué)生進(jìn)一步理解坐標(biāo)法思想，了解直線參數(shù)方程的應(yīng)用，教科書聯(lián)系

“臺風(fēng)”這個(gè)實(shí)際現(xiàn)象安排了如下的例：說教材-知識與技能的立體整合下面的探究不僅可以使學(xué)生將橢圓規(guī)的構(gòu)造原理與橢圓的參數(shù)方程聯(lián)系起來，同時(shí)可以激發(fā)學(xué)生的應(yīng)用與創(chuàng)新意識：說建議—說教學(xué)建議1．坐標(biāo)系的教學(xué)應(yīng)著重讓學(xué)生理解平面和空間中點(diǎn)的位置都可以用有序數(shù)組（坐標(biāo)）來

刻畫，在不同坐標(biāo)系中，這些數(shù)所體現(xiàn)的幾何含義不同。同一幾何圖形的方程在不同

坐標(biāo)系中具有不同的形式。因此，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系可以使表示圖形的方程具有更方

便的形式。在坐標(biāo)系的教學(xué)中，可以引導(dǎo)學(xué)生自己嘗試建立坐標(biāo)系，說明建立坐標(biāo)系

的原則，激勵(lì)學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)新思維，并通過具體實(shí)例說明這樣建立坐標(biāo)系有哪

些方便之處2．教學(xué)中應(yīng)通過具體例子讓學(xué)生體會極坐標(biāo)的多值性，但是在表示點(diǎn)的極坐標(biāo)時(shí)，如無

特別要求，通常取ρ≥0，0≤θ＜2π。極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，主要是極坐標(biāo)

方程化為直角坐標(biāo)方程；參數(shù)方程與普通方程的互化，主要是參數(shù)方程化為普通方程，

并注意參數(shù)的取值范圍。3．求曲線的極坐標(biāo)方程主要包括：特殊位置的直線（如過極點(diǎn)的直線）、圓（過極點(diǎn)或

圓心在極點(diǎn)的圓）；求曲線的參數(shù)方程主要包括：直線、圓、橢圓和拋物運(yùn)動(dòng)軌跡的

參數(shù)方程。4．應(yīng)通過對具體物理現(xiàn)象的分析(如拋物運(yùn)動(dòng)的軌跡)引入?yún)?shù)方程，使學(xué)生了解參數(shù)的作

用。應(yīng)注意鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用已有的平面向量、三角函數(shù)等知識，選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)建立曲

線的參數(shù)方程。5．可以組織學(xué)生成立興趣小組，合作研究擺線的性質(zhì)，收集擺線應(yīng)用的實(shí)例，了解平擺

線和圓的漸開線的參數(shù)方程?？梢詰?yīng)用計(jì)算機(jī)展現(xiàn)心臟線、螺線、玫瑰線、葉形線、

擺線、漸開線等，使學(xué)生感受這些曲線的美。說建議—說評價(jià)建議1．教學(xué)中，要注意突出教學(xué)重點(diǎn)，把握教學(xué)要求

（1）極坐標(biāo)系、圓錐曲線與直線的參數(shù)方程、坐標(biāo)法思想、數(shù)形結(jié)合思想與

參數(shù)法是本專題的教學(xué)重點(diǎn)。（2）根據(jù)《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求，本專題只介紹了特殊位置的圓、直

線等簡單曲線的極坐標(biāo)方程，對圓錐曲線的極坐標(biāo)方程不作要求，極坐

標(biāo)的多值性不要過多討論，同時(shí)，對求出的極坐標(biāo)方程是曲線的極坐標(biāo)

方程也不要求證明。（3）便于與信息技術(shù)整合的教學(xué)內(nèi)容是這些曲線的參數(shù)方程中參

數(shù)的幾何意

義的認(rèn)識。（4）本專題的學(xué)習(xí)報(bào)告不占用上課時(shí)間，利用課外時(shí)間完成，可以利用網(wǎng)絡(luò)

或板報(bào)形式進(jìn)行交流。坐標(biāo)系的教學(xué)應(yīng)著重讓學(xué)生理解平面和空間中點(diǎn)的位置都可以用有序數(shù)組（坐標(biāo)）來刻畫，在不同坐標(biāo)系中，這些數(shù)所體現(xiàn)的幾何含義不同。同一幾何圖形的方程在不同坐標(biāo)系中具有不同的形式。因此，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系可以使表示圖形的方程具有更方便的形式。說建議—說評價(jià)建議3．在坐標(biāo)系的教學(xué)中，可以引導(dǎo)學(xué)生自己嘗試建立坐標(biāo)系，說明

建立坐標(biāo)系的原則，激勵(lì)學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)新思維，并通具

體實(shí)例說明這樣建立坐標(biāo)系有哪些方便之處。應(yīng)通過對具體現(xiàn)象的分析（如拋物線運(yùn)動(dòng)的軌跡）引入?yún)?shù)方

程，是學(xué)生了解多數(shù)的作用。應(yīng)注意鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用已有的平面向量、三角函數(shù)等知識，選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)建立曲線的參數(shù)方程?？山M織學(xué)生成立興趣小組，合作研究擺線的性質(zhì)，收集擺線應(yīng)用的實(shí)例。7.可以應(yīng)用計(jì)算機(jī)展現(xiàn)心脹線、螺線、玫瑰線、葉形線、擺線、漸開線等，使學(xué)生感受這些曲線的美。

說建議—說課程資源的利用與開發(fā)建議1．創(chuàng)設(shè)問題情景，啟發(fā)學(xué)生思維，體會數(shù)學(xué)過程，改進(jìn)學(xué)習(xí)方式．

在進(jìn)行具體內(nèi)容的教學(xué)時(shí)應(yīng)重視問題情景，其目的不僅是為了介入數(shù)學(xué)知識，更重要的是使學(xué)生體會數(shù)學(xué)知識的發(fā)生與發(fā)展的過程，解決學(xué)生認(rèn)知上的困難，啟發(fā)學(xué)生的思維，改進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的方式．例如，在進(jìn)行坐標(biāo)系的教學(xué)時(shí)，無論是極坐標(biāo)系，還是柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系，都應(yīng)該用好引入坐標(biāo)系前設(shè)置的問題情景，使學(xué)生通過具體問題看到引入新坐標(biāo)系的必要，體會新坐標(biāo)系的不同作用，解決新坐標(biāo)系引入時(shí)的難點(diǎn)，豐富對坐標(biāo)系的整體認(rèn)識．又如，在進(jìn)行雙曲線的參數(shù)方程的教學(xué)時(shí)，可以利用信息技術(shù)工具（如《幾何畫板》）創(chuàng)設(shè)雙曲線的形成過程：當(dāng)學(xué)生在觀察雙曲線形成過程時(shí)，教師可以啟發(fā)學(xué)生思考哪一個(gè)變量能確定雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)的變化？在這樣的問題情景中，學(xué)生不僅能通過積極思維找到參數(shù)，發(fā)現(xiàn)參數(shù)的幾何意義，更重要的是學(xué)生的學(xué)習(xí)方式發(fā)生了變化，同時(shí)經(jīng)歷了建立雙曲線的參數(shù)方程的整個(gè)過程．說建議—說課程資源的利用與開發(fā)建議2．充分重視數(shù)學(xué)知識的聯(lián)系性，使教學(xué)過程既成為學(xué)生學(xué)習(xí)新知

識的過程，同時(shí)也成為已學(xué)知識的提升過程．

本專題的知識與三