中級(jí)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)之一元線性回歸模型

第2章一元線性回歸模型2.1一元線性回歸模型的基本假定2.1.1一元線性回歸模型

事物規(guī)律性的表象可以分為兩類(lèi)：一類(lèi)為隨機(jī)現(xiàn)象；一類(lèi)為非隨機(jī)現(xiàn)象。對(duì)于數(shù)量性質(zhì)的事物，表達(dá)隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量稱(chēng)之為隨機(jī)變量，表達(dá)非隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量稱(chēng)之為確定性變量或非隨機(jī)變量。各種經(jīng)濟(jì)變量之間的關(guān)系，可以劃分為兩類(lèi)：一類(lèi)是完全確定的函數(shù)關(guān)系，另一類(lèi)是非確定性的相關(guān)關(guān)系。

建立模型的意義：在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，一個(gè)變量的變化常常受其他多個(gè)經(jīng)濟(jì)變量的影響。為描述這些變量之間的關(guān)系，研究這些變量之間的變化規(guī)律，通常要建立計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型，研究模型參數(shù)，進(jìn)而利用計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。其中，u為隨機(jī)誤差項(xiàng)。最簡(jiǎn)單的形式為一元線性回歸模型：“線性”一詞在這里有兩重含義。它一方面指被解釋變量y與解釋變量x之間為線性關(guān)系，即2.1.2隨機(jī)誤差項(xiàng)的性質(zhì)

產(chǎn)生誤差項(xiàng)的原因主要有以下幾方面：

1．模型中被忽略掉的影響因素造成的誤差

2．模型關(guān)系設(shè)定不準(zhǔn)確造成的誤差

3．變量的測(cè)量誤差

4．變量的內(nèi)在隨機(jī)性

2.1.3一元線性回歸模型的基本假定設(shè)一元線性回歸模型為

滿足以上古典假設(shè)的線性回歸模型，也稱(chēng)為古典線性回歸模型。2.2一元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)對(duì)于一元線性總體回歸模型：圖2.2.1觀測(cè)值散點(diǎn)圖2.2.1普通最小二乘法（OLS）例2.2.1某地區(qū)居民家庭可支配收入與家庭消費(fèi)支出的資料如表2.2.1所示（單位：百元）。表2.2.1某地區(qū)居民家庭收入支出資料

一般是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)建立樣本回歸函數(shù)(或樣本回歸模型)，用樣本回歸方程(或樣本回歸模型)作為總體回歸函數(shù)(或總體回歸模型)的估計(jì)式并以此描述總體變量間的依存規(guī)律和實(shí)際關(guān)系?？傮w回歸模型與樣本回歸模型的主要區(qū)別是：(1)描述的對(duì)象不同。(2)建立模型的依據(jù)不同。(3)模型性質(zhì)不同?？傮w回歸模型與樣本回歸模型的聯(lián)系是：樣本回歸模型是總體回歸模型的一個(gè)估計(jì)式，之所以建立樣本回歸模型，目的是用來(lái)估計(jì)總體回歸模型。2.2.2最小二乘估計(jì)量的性質(zhì)

一個(gè)用于考察總體的估計(jì)量，可從如下幾個(gè)方面考察其優(yōu)劣性：

（1）線性。即它是否是另一個(gè)隨機(jī)變量的線性函數(shù)；

（2）無(wú)偏性。即它的均值或期望是否等于總體的真實(shí)值；

（3）有效性。即它是否在所有的線性無(wú)偏估計(jì)量中具有最小方差；

（4）漸近無(wú)偏性。即樣本容量趨于無(wú)窮大時(shí)，它的均值序列趨于總體的真值；

（5）一致性。即樣本容量趨于無(wú)窮大時(shí)，它是否依概率收斂于總體的真值；

（6）漸近有效性。即樣本容量趨于無(wú)窮大時(shí)，它在所有的一致估計(jì)量中具有最小的漸近方差。

這里，前三個(gè)準(zhǔn)則也稱(chēng)作估計(jì)量的小樣本性質(zhì)，因?yàn)橐坏┠彻烙?jì)量具有該類(lèi)性質(zhì)，它是不以樣本的大小而改變的。擁有這類(lèi)性質(zhì)的估計(jì)量稱(chēng)為最佳線性無(wú)偏估計(jì)量(BLUE：bestlinearunbiasedestimators)。后三個(gè)準(zhǔn)則稱(chēng)為估計(jì)量的大樣本或漸近性質(zhì)。如果小樣本情況下不能滿足估計(jì)的準(zhǔn)則，則應(yīng)該擴(kuò)大樣本容量，考察參數(shù)估計(jì)量的大樣本性質(zhì)。

用最小二乘法得到的參數(shù)估計(jì)，具有線性、無(wú)偏性和有效性（或最小方差性）三種最重要的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。1.線性最小方差性證明略。2.2.3回歸參數(shù)的區(qū)間估計(jì)

3．回歸系數(shù)的區(qū)間估計(jì)

2.3一元線性回歸模型的假設(shè)檢驗(yàn)2.3.1模型估計(jì)式檢驗(yàn)的必要性

1．模型解釋變量選擇的正確性需要證明

2．模型函數(shù)形式的正確性需要驗(yàn)證

3．模型估計(jì)的可靠性需要評(píng)價(jià)2.3.2模型估計(jì)式的理論檢驗(yàn)線性回歸模型估計(jì)式的理論檢驗(yàn)，是對(duì)模型估計(jì)式在理論上能否成立進(jìn)行判別。理論檢驗(yàn)又稱(chēng)為符號(hào)檢驗(yàn)，依據(jù)模型參數(shù)最小二乘估計(jì)值的符號(hào)(正號(hào)或負(fù)號(hào))及取值的大小，評(píng)判其是否符合經(jīng)濟(jì)理論的規(guī)定或社會(huì)經(jīng)濟(jì)實(shí)踐的常規(guī)。2.3.3回歸參數(shù)的顯著性檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)的基本任務(wù)是根據(jù)樣本所提供的信息，對(duì)未知總體分布的某些方面的假設(shè)作出合理的判斷。

其基本思想是：在某種原假設(shè)成立的條件下，利用適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量和給定的顯著性水平，構(gòu)造—個(gè)小概率事件，可以認(rèn)為小概率事件在一次觀察中基本不會(huì)發(fā)生，如果該事件竟然發(fā)生了，就認(rèn)為原假設(shè)不真，從而拒絕原假設(shè)，接受備擇假設(shè)。對(duì)于一元線性回歸模型而言，通常最關(guān)心的問(wèn)題是解釋變量對(duì)被解釋變量是否有顯著影響。

p值判別法：在前面闡述的統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理中，是通過(guò)比較t統(tǒng)計(jì)量與臨界值的大小來(lái)判斷拒絕還是接受原假設(shè)的。與查找臨界值的一個(gè)等價(jià)判別方法就是p值判別法。EViews軟件提供了這種判別方法。2.3.4擬合優(yōu)度的測(cè)度與相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)

樣本回歸直線與樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)之間的擬合程度，稱(chēng)為樣本回歸線的擬合優(yōu)度。

1．總變差的分解樣本回歸函數(shù)：3．相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)（1）變量相關(guān)的定義和分類(lèi)

相關(guān)：指兩個(gè)或兩個(gè)以上變量間相互關(guān)系的程度或強(qiáng)度。①按相關(guān)的強(qiáng)度分為4類(lèi)。

完全相關(guān)：指兩個(gè)變量間存在函數(shù)關(guān)系（見(jiàn)圖2.3.3）。

高度相關(guān)（或強(qiáng)相關(guān)）：變量間近似存在函數(shù)關(guān)系（見(jiàn)圖2.3.4）。

弱相關(guān)：變量間有關(guān)系但不明顯（見(jiàn)圖2.3.5）。

零相關(guān)：變量間不存在任何關(guān)系（見(jiàn)圖2.3.6）。

②按變量個(gè)數(shù)，相關(guān)可分為兩類(lèi)。

簡(jiǎn)單相關(guān)：指兩個(gè)變量之間的相關(guān)。當(dāng)變量相關(guān)關(guān)系散布圖上的點(diǎn)接近一條直線時(shí)，稱(chēng)為線性相關(guān)；當(dāng)變量相關(guān)關(guān)系散布圖上的點(diǎn)接近于一條曲線時(shí)，稱(chēng)為非線性相關(guān)。簡(jiǎn)單相關(guān)按符號(hào)又可分為正相關(guān)（見(jiàn)圖2.3.4）、負(fù)相關(guān)（見(jiàn)圖2.3.8）和零相關(guān)（見(jiàn)圖2.3.6）。兩個(gè)變量趨于在同一個(gè)方向變化時(shí)，即同增或同減，稱(chēng)為變量之間存在正相關(guān)；當(dāng)兩個(gè)變量趨于在相反方向變化時(shí)，即當(dāng)一個(gè)變量增加，另一個(gè)變量減少時(shí)，稱(chēng)為變量之間存在負(fù)相關(guān)；當(dāng)兩個(gè)變量的變化相互沒(méi)有關(guān)系時(shí)，稱(chēng)為二者不相關(guān)或零相關(guān)。

復(fù)相關(guān)：指三個(gè)或三個(gè)以上變量之間的相關(guān)。其中包括多重相關(guān)和偏相關(guān)。

（2）線性相關(guān)的度量變量之間線性相關(guān)的程度，常用相關(guān)系數(shù)去度量。兩個(gè)變量x和y的總體相關(guān)系數(shù)為

（3）相關(guān)分析與回歸分析、決定系數(shù)與相關(guān)系數(shù)的關(guān)系①相關(guān)分析與回歸分析的關(guān)系。兩者之間的區(qū)別表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：第一，回歸分析強(qiáng)調(diào)因果關(guān)系，相關(guān)分析不關(guān)心因果關(guān)系。

第三，回歸分析對(duì)資料的要求是：被解釋變量y是隨機(jī)變量，解釋變量x是非隨機(jī)變量。相關(guān)分析對(duì)資料的要求是：兩個(gè)變量都是隨機(jī)變量。

兩者之間的聯(lián)系：第一，相關(guān)分析是回歸分析的基礎(chǔ)和前提。第二，回歸分析是相關(guān)分析的深入和繼續(xù)。第三，相關(guān)分析與回歸分析的有關(guān)指標(biāo)之間存在計(jì)算上的內(nèi)在聯(lián)系，下面將給出具體的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

（4）相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)總體y與x是否顯著線性相關(guān)，必須進(jìn)行相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)，簡(jiǎn)稱(chēng)相關(guān)檢驗(yàn)。檢驗(yàn)相關(guān)系數(shù)的顯著性有兩種常用方法。①使用相關(guān)系數(shù)臨界值表。設(shè)定原假設(shè)和備擇假設(shè)分別是2.3.5正態(tài)性檢驗(yàn)：Jarque——Bera檢驗(yàn)2.4一元線性回歸模型的預(yù)測(cè)2.4.1回歸結(jié)果的報(bào)告形式與分析

1.回歸結(jié)果提供的格式對(duì)于表2.2.1中隨機(jī)樣本，用OLS所作的回歸分析結(jié)果得到：號(hào)內(nèi)的數(shù)字分別是在對(duì)應(yīng)參數(shù)等于0的原假設(shè)下，所計(jì)算的t統(tǒng)計(jì)量。

2．回歸結(jié)果的分析結(jié)果的分析主要包括以下內(nèi)容：（1）系數(shù)的說(shuō)明。（2）擬合情況。（3）系數(shù)的顯著性，回歸方程的顯著性。（4）根據(jù)DW檢驗(yàn)值說(shuō)明是否存在誤差項(xiàng)的自相關(guān)。2.4.2回歸預(yù)測(cè)1．點(diǎn)預(yù)測(cè)假定總體回歸模型和總體回歸方程：

2.4.3影響預(yù)測(cè)區(qū)間大小的因素由式(2.4.5)和式(2.4.10)可以看出，影響預(yù)測(cè)區(qū)間大小的因素有四個(gè)：2.5案例分析——我國(guó)消費(fèi)支出模型2.5案例分析——我國(guó)消費(fèi)支出模型年份最終消費(fèi)（y）國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值(x)年份最終消費(fèi)（y）國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值(x)19782239.13624.1199011365.218547.919792619.44038.2199113145.921617.819802976.14517.8199215952.126638.119813309.14862.4199320182.134634.419823637.95294.7199426796.046759.419834020.55934.5199533635.058478.119844694.57171.0199640003.967884.619855773.08964.4199743579.474462.619866542.010202.2199846405.978345.219877451.211962.5199949722.782067.519889360.114928.3200054616.789442.2198910556.516909.2200158952.695933.3散點(diǎn)圖如圖2.5.1所示：圖2.5.1最終消費(fèi)支出與國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值散點(diǎn)圖

2.5.1創(chuàng)建工作文件

建立工作文件的方法：

1．菜單方式：方法是在主菜單上依次點(diǎn)擊File/New/Workfile，選擇新建對(duì)象的類(lèi)型為工作文件。這時(shí)屏幕上出現(xiàn)WorkfileRange對(duì)話框(圖2.5.2)：圖2.5.2WorkfileRange對(duì)話框

選擇數(shù)據(jù)類(lèi)型和起止日期：時(shí)間序列提供起止日期(年、季度、月度、周、日)，非時(shí)間序列提供最大觀察個(gè)數(shù)。本例中在StartData里鍵入1978，在EndData里鍵入2001。點(diǎn)擊OK后屏幕出現(xiàn)Workfile工作框(圖2.5.3)。圖2.5.3Workfile工作框

2．命令方式：在命令窗口也可以直接輸入建立工作文件的命令CREATE，命令格式為CREATE數(shù)據(jù)頻率起始期終止期其中，數(shù)據(jù)頻率類(lèi)型分別為A（年）、Q（季）、M（月），U（非時(shí)間序列數(shù)據(jù)）。輸入EViews命令時(shí)，命令字與命令參數(shù)之間只能用空格分隔。如本例可鍵入命令：CREATEA19782001。

2.5.2輸入和編輯數(shù)據(jù)

1．data命令方式命令格式：data