( 線性代數(shù))矩陣的運(yùn)算

矩陣的運(yùn)算一、矩陣的加法定義：設(shè)有兩個(gè)

m×n

矩陣

A=(aij)，B=(bij)，那么矩陣

A與

B的和記作

A＋B，規(guī)定為說明：只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算.交換律結(jié)合律其他矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律設(shè)

A、B、C是同型矩陣設(shè)矩陣

A=(aij)，記－A

=(－aij)，稱為矩陣

A的負(fù)矩陣．顯然二、數(shù)與矩陣相乘定義：數(shù)

l與矩陣

A

的乘積記作

lA

或

Al

，規(guī)定為結(jié)合律分配律備注數(shù)乘矩陣的運(yùn)算規(guī)律設(shè)

A、B是同型矩陣，l

,

m

是數(shù)矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來，統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算.知識(shí)點(diǎn)比較

實(shí)例

有4個(gè)工廠生產(chǎn)3種產(chǎn)品

aik(i

1

2

3

4

k

1

2

3)是第i個(gè)工廠生產(chǎn)第k種產(chǎn)品的數(shù)量

bk1及bk2(k

1

2

3)分別是第k種產(chǎn)品的單位價(jià)格及單位利潤

ci1及ci2(i

1

2

3

4)分別是第i個(gè)工廠生產(chǎn)3種產(chǎn)品的總收入及總利潤

則矩陣的元素之間有下列關(guān)系

總結(jié)：（1）兩個(gè)矩陣相乘的方法：

左邊矩陣的行與右邊矩陣的列：對應(yīng)元素相乘再相加；（2）相乘的條件：左邊矩陣的列數(shù)=右邊矩陣的行數(shù)；三、矩陣與矩陣相乘定義：設(shè)，，那么規(guī)定矩陣

A與矩陣

B的乘積是一個(gè)

m×n矩陣，其中記作

在乘積AB的定義中

要求A的列數(shù)等于B的行數(shù)

C的第i行第j列的元素等于A的第i行元素與B的第j列對應(yīng)元素乘積的和

C的行數(shù)等于A的行數(shù)

C的列數(shù)等于B的列數(shù)

顯然AB

BA

BA沒有意義

因?yàn)锽的列數(shù)不等于A的行數(shù)

BA不可進(jìn)行

顯然AB

BA

由上述例題看出:

AB有意義時(shí)

BA并不一定有意義

即使AB

BA都有意義

AB與BA也不一定相等因此矩陣的乘法一般不滿足交換律

兩個(gè)非零矩陣相乘

結(jié)果可能是零矩陣

從而不能從AB

O必然推出A

O或B

O

顯然AB

BA

如果兩矩陣A與B相乘

有AB

BA

則稱矩陣A與矩陣B可交換

例11

求與矩陣A可交換的一切矩陣

其中

解

設(shè)所求矩陣為所以

a1

0

b1

a

c1

b

d1

c

a2

0

b2

a1

0

c2

b1

a

d2

c1

b

a3

0

b3

a2

0

c3

b2

0

d3

c2

a

于是可得其中a

b

c

d為任意數(shù)

即AC

BC

但A

B

可以看出

矩陣乘法也不滿足消去律

說明既然矩陣乘法不滿足交換律

因此矩陣相乘時(shí)必須注意順序

AX稱為用X右乘A

XA稱為用X左乘A

一般矩陣用大寫黑體字母A

B

X

Y

表示

但一行n列或n行一列的矩陣

為了與后面章節(jié)的符號(hào)一致

有時(shí)也用小寫黑體字母a

b

x

y

表示

而且對一行n列的矩陣采用圓括號(hào)

為了不產(chǎn)生混淆

需要時(shí)其元素間可加“

”隔開

中

若令則方程組可以表示為矩陣形式Ax

b

分別解上述兩個(gè)方程組

得

x11

1

x21

1

x12

0

x22

2矩陣乘法的性質(zhì)設(shè)下列矩陣都可以進(jìn)行有關(guān)運(yùn)算

則

(1)(AB)C

A(BC)(2)(A

B)C

AC

BC(3)C(A

B)

CA

CB(4)k(AB)

(kA)B

A(kB)

(5)單位矩陣在矩陣乘法中的作用類似于數(shù)1，即四、矩陣的轉(zhuǎn)置定義：把矩陣

A的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做的轉(zhuǎn)置矩陣，記作AT

.已知轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì)若A是n階方陣，定義顯然思考：下列等式在什么時(shí)候成立？A、B可交換時(shí)成立五、方陣的冪由一個(gè)n階方陣定義的一個(gè)n階行列式稱為矩陣A

的行列式，記作|A|.六、方陣的行列式由

n階方陣的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣

A的行列式，記作|A|或detA.運(yùn)算性質(zhì)：

例15設(shè)A為三階矩陣

若已知|A|

2

求||A|

A2AT|

解

(

2)6

64

|A|3

|A2|

|AT|||A|

A2AT|

|A|