（概率論與數(shù)理統(tǒng)計） 邊緣分布

一、邊緣分布函數(shù)的概念二、離散型隨機變量的邊緣分布列三、連續(xù)型隨機變量的邊緣分布概率密度四、隨機變量的獨立性

邊緣分布下頁一、邊緣分布函數(shù)的概念設(shè)（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)F（x,y）則X和Y的邊緣分布函數(shù)FX(x),FY(y)分別為:下頁二、離散型二維隨機向量的邊緣分布1

p.1

p.2…p.j…P{Y=yj}

p1.

p2.

pi.

p11p12…p1j…

p21

p22…

p2j…

pi1

pi2…pij………

x1

x2

xi

P{X=xi}

y1

y2

…yj

…XY

(i=1,2,…)(j=1,2,…)

如下頁二、離散型二維隨機向量的邊緣分布

設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布列為

pij

=P{X=xi,Y=yj}(i=1,2,…)(j=1,2,…)

則(X,Y)的邊緣分布列為

FY(y)=F(+∞,y)=FX(x)=F(x,+∞)=(X,Y)的邊緣分布函數(shù)為：即p1.p2.···pi.···

pi.x1

x2···xi···…

Xp.1

p.2···p.j···

p.jy1

y2···yj···…

Y下頁X345pi.

Y的分布列為Y012p.j

X的分布列為

Y

X012pi·300405p.j1例1.已知隨機向量（X，Y）的分布如下表，求關(guān)于X和Y的邊緣分布。下頁

三、二維連續(xù)型隨機變量邊緣概率密度函數(shù)設(shè)（X，Y）的聯(lián)合概率密度f(x,y)由于所以即的幾何意義如右圖.其值表示紅曲邊梯形的面積.下頁

三、二維連續(xù)型隨機變量邊緣概率密度函數(shù)即若（X，Y）的聯(lián)合概率密度f(x,y)則

例2.設(shè)（X，Y）服從區(qū)域D：拋物線y=x2和直線y=x所圍成的區(qū)域上的均勻分布，求（X，Y）的聯(lián)合、邊緣概率密度。下頁解:

由于D的面積為

故（X，Y）聯(lián)合概率密度為（X，Y）邊緣概率密度：當0≤x≤1時當0≤y≤1時即即下頁例3.已知隨機向量（Ｘ，Ｙ）的聯(lián)合密度函數(shù)為求X,Y的邊緣概率密度。解：當x>0時,當x≤0時,即y=xo下頁例3.已知隨機向量（Ｘ，Ｙ）的聯(lián)合密度函數(shù)為求X,Y的邊緣概率密度。解：當y>0時,當y≤0時,即y=xo下頁例4.已知隨機向量（Ｘ，Ｙ）的聯(lián)合分布函數(shù)為求（１）常數(shù)a，b，c；（２）聯(lián)合密度函數(shù)f(x,y)；（３）X,Y的邊緣分布函數(shù)；（4）P{X>2}。解：(1)由F(-∞,0)=0,F(0,-∞)=0F(+∞,+∞)=1得：解得(2)f(x,y)下頁解得(2)f(x,y)(3)例4.已知隨機向量（Ｘ，Ｙ）的聯(lián)合分布函數(shù)為求（１）常數(shù)a，b，c；（２）聯(lián)合密度函數(shù)f(x,y)；（３）X，Y的邊緣分布函數(shù)；（4）P{X>2}。(4)

P{X>2}=1-FX(2)下頁解：令可見X~N（μ1，σ12),Y~N（μ2，σ22)例5.設(shè)（X，Y）服從N（μ1，σ12；μ2，σ22；ρ

），求邊緣密度。下頁例6.設(shè)（X，Y）概率密度為下列表達式，求其邊緣密度。-∞<x<+∞,-∞<y<+∞解：同理，即X~N（0，1

),Y~N（0，1

)但（X,Y)不服從二維正態(tài)分布。下頁(X,Y)聯(lián)合分布（X，Y）邊緣分布一般F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}FX(x)=P{X≤x,Y<＋∞}FY(y)=P{X<＋∞,Y≤y}離散型F(x,y)=P{X=xi,Y=yj}=pijpi.=P{X=xi}=p.j=P{Y=yj}=連續(xù)型下頁四、隨機變量的獨立性

1.定義設(shè)（X，Y），F(xiàn)（x，y），F(xiàn)X（x），F(xiàn)Y（y）若對所有的x，y有則稱隨機變量X與Y是相互獨立的。2.離散型隨機向量若（X，Y）的所有可能取值為（xi，yj）,（i，j=1，…2，…）則X與Y相互獨立的充分必要條件是對一切i，j=1,2,…即有下頁即

例1．已知（X，Y）的邊緣分布律，且X與Y相互獨立，求（X，Y）的聯(lián)合分布律。X12pi·

1/32/3Y123.p·j

1/21/31/6解：由獨立性p11=p1·p·1=1/6，p23=p2·p·3=2/1812311/61/91/1822/62/92/18XY依次類推可得下頁例2．設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，下表列出了二維隨機變量（X，Y）的聯(lián)合分布及關(guān)于X和Y的邊緣分布中的部分數(shù)據(jù)，請補充下表：1/241/43/41/121/31/23/81/4下頁例3．設(shè)隨機變量（X,Y)在矩形區(qū)域G={(x,y)|0<x<2,0<y<1}，上服求隨機變量U和V的聯(lián)合分布,并判斷U和V是否獨立。解：區(qū)域G如下圖

P{U=0,V=0}=P{X≤Y,X≤2Y}=P{X≤Y}

P{U=0,V=1}=P{X≤Y,X>2Y}=0P{U=1,V=0}=P{X>Y,X≤2Y}=P{Y<X≤2Y}y=x2y=x12o

因為（X,Y）在G上均勻分布所以其聯(lián)合密度為從均勻分布，定義隨機變量下頁P{U=0,V=0}=P{X≤Y,X≤2Y}=P{X≤Y}＝1/4P{U=0,V=1}=P{X≤Y,X>2Y}=0P{U=1,V=0}=P{X>Y,X≤2Y}=P{Y<X≤2Y}=1/4P{U=1,V=1}=1-1/4-1/4=1/2(U,V)的聯(lián)合分布與邊緣分布為

01pi.01/401/411/41/23/4UVp.j1/21/2∵P{U=0,V=1}≠P{U=0}P{V=1},∴U和V不獨立。例3．設(shè)隨機變量（X,Y)在矩形區(qū)域G={(x,y)|0<x<2,0<y<1}，上服求隨機變量U和V的聯(lián)合分布,并判斷U和V是否獨立。從均勻分布，定義隨機變量下頁若（X，Y）的聯(lián)合密度函數(shù)f(x,y)處處連續(xù)，則X和Y相互獨立的充分必要條件是

f(x,y)=fX(x)·

fY(y)3.連續(xù)型隨機向量證明：

充分性若f(x,y)=fX(x)·

fY(y)則必要性若X、Y互相獨立，則有F（x,y）=FX(x)·

FY(y)，故f(x,y)=fX(x)·

fY(y)即下頁例4．已知（X，Y）的聯(lián)合概率密度，試判斷X，Y是否獨立。解：因為由

fX(x)fY(y)=f(x,y)知X與Y相互獨立

可見：聯(lián)合分布邊緣分布。獨立下頁

例5．一電子產(chǎn)品由兩個部件構(gòu)成，以X和