2022-2023學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市丹陽(yáng)市高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期5月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江蘇省鎮(zhèn)江市丹陽(yáng)市高一下學(xué)期5月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知為虛數(shù)單位，若，則（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，由復(fù)數(shù)的運(yùn)算即可得到，再求出其模長(zhǎng)即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，則，所以.故選：B2．已知，，，若，則（

）A．1 B．5 C．8 D．11【答案】D【分析】首先求出，的坐標(biāo)，依題意，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到方程，解得即可.【詳解】因?yàn)?，，，所以，，因?yàn)?，所以，解?故選：D3．若向量，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先求出、，再根據(jù)投影向量的定義計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，所以，，所以在上的投影向量?故選：C4．魏晉南北朝時(shí)期，祖沖之利用割圓術(shù)以正4576邊形，求出圓周率約為，和真正的值相比，其誤差小于八億分之一，這個(gè)記錄在一千年后才給打破.若已知的近似值還可以表示成，則的值為（

）A． B． C．8 D．【答案】C【分析】將的近似值代入，利用倍角公式和誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可.【詳解】的近似值還可以表示成，，故選：C.5．設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）A．若平面，，，則 B．若，，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】D【分析】由面面垂直的判定定理可判斷A、B；線面垂直的性質(zhì)定理可判斷C；由面面平行的判定定理可判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)槠矫妫?，所以平面，又因?yàn)?，所以，故A正確；對(duì)于B，若，，則，又因?yàn)?，所以，故B正確；對(duì)于C，若，，則，故C正確；對(duì)于D，若，，則可能與相交，故D錯(cuò)誤.故選：D.6．已知中，角，，的對(duì)邊分別為，，，的面積為，，，，則（

）A．或 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，由三角形的面積公式即可得到角，再由正弦定理即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，即，且，所以，又，，由正弦定理可得，，因?yàn)椋瑸殇J角，所以.故選：B7．在長(zhǎng)方體中，已知，，為的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用線面垂直以及線線平行可得為直線與平面所成角的線面角，又三角形邊角關(guān)系即可求解，或者建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角公式即可求解．【詳解】方法一：連接相交于，取中點(diǎn)，中點(diǎn)為,連接，則,,由于底面，平面，所以,又,平面，所以平面，所以平面,因此為直線與平面所成角，,,所以,則,

方法二：建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則,2,,,2,,,0,，,2,，,0,，

由于所以平面的法向量為,2,，設(shè)直線與平面所成角為，則，則直線與平面所成角的余弦值為．故選：B．8．在三角形中，，，，若點(diǎn)滿足，則（

）A．4 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合平面向量數(shù)量積的線性運(yùn)算求解即可.【詳解】，，因?yàn)椋?，，所?故選：D.

二、多選題9．關(guān)于復(fù)數(shù)的命題正確的有（

）A．若復(fù)數(shù)，則B．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則C．若，則的最小值為1D．若，則【答案】AC【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的分類即可判斷AB,根據(jù)復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的計(jì)算，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可判斷C，根據(jù)模長(zhǎng)公式即可判斷D.【詳解】由復(fù)數(shù)定義可知，若復(fù)數(shù)，則，，A正確；若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則，則，B錯(cuò)誤；設(shè)，的幾何意義是的軌跡是以為圓心，以2為半徑的圓，令，，則，即的最小值為1，C正確；若，但不一定成立，比如，則，，D錯(cuò)誤．故選：AC．10．下列關(guān)于平面向量的說(shuō)法中，正確的是（

）A．對(duì)于任意向量、，有恒成立B．若平面向量，滿足，則的最大值是5C．若向量，為單位向量，，則向量與向量的夾角為D．若非零向量，滿足，且，不共線，則【答案】ABD【分析】由平面向量的線性運(yùn)算的幾何性質(zhì)可判斷A，根據(jù)模長(zhǎng)的計(jì)算公式即可判斷B，數(shù)由夾角公式即可利用模長(zhǎng)求解C，根據(jù)共線的性質(zhì)即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，由向量減法的三角形法則及三角形兩邊之差小于第三邊知恒成立，故A正確；對(duì)于B，，，故B正確；對(duì)于C，向量，為單位向量，，，，，對(duì)于D，，不共線，當(dāng)時(shí)，由，則，此時(shí)與，不共線矛盾，若時(shí)，此，也與，不共線矛盾，故，故D正確．故選：ABD．11．已知，，其中，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行等量代換即可求得答案.【詳解】，∴，∴A正確；∴，∴B錯(cuò)誤；，，∴，∴∴D正確；∴C正確.故選:ACD.12．如圖，在正方體中，，分別為線段，的中點(diǎn)，在棱上.則下列命題正確的是（

）

A．直線直線B．直線平面C．直線平面D．設(shè)直線與直線所成的角為，則【答案】BCD【分析】根據(jù)題意作出輔助線結(jié)合線面垂直及平行的判定定理證明A、B、C，取的中點(diǎn)，連接、、，則即為直線與直線所成的角，再由銳角三角函數(shù)計(jì)算即可判斷D.【詳解】對(duì)于A：連接交于點(diǎn)，連接、，根據(jù)正方體的性質(zhì)可得為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，所以，，，所以，顯然，故直線與直線不垂直，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：由正方體的性質(zhì)可得，平面，平面，所以，，平面，所以平面，平面，所以，同理可證，，平面，所以直線平面，故B正確；

對(duì)于C：連接，交于點(diǎn)，連接，由正方體的性質(zhì)且，所以四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，故C正確；

對(duì)于D：取的中點(diǎn)，連接、、，因?yàn)椋?，所以，則即為直線與直線所成的角，即，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，，則，則，，所以，因?yàn)椋?，，即，，，，即，故D正確.

故選：BCD三、填空題13．若復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的特征進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，所以有，故答案為：14．中國(guó)古典神話故事《白蛇傳》中“水漫金山寺”中的金山寺位于鎮(zhèn)江金山公園內(nèi)，唐宋時(shí)期，寺里有南北相向的兩座寶塔，一名薦慈塔，一名薦壽塔，后雙塔毀于火，明代重建該塔，當(dāng)年值逢慈禧60大壽，地方官員以此塔作為賀禮進(jìn)貢，故取名慈壽塔.某校高一研究性學(xué)習(xí)小組為了實(shí)地測(cè)量該塔的高度，選取與塔底中心在同一個(gè)水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)與，在點(diǎn)測(cè)得：塔頂?shù)难鼋菫?，在的北偏東處，在的正東方向41米處，且在點(diǎn)測(cè)得與的張角為，則慈壽塔的高度約為米（四舍五入，保留整數(shù)）.

【答案】【分析】在中利用正弦定理求出，依題意為等腰直角三角形，即可得到.【詳解】由題意可得在中，，，米，所以，在中利用正弦定理可得，所有，因?yàn)椋詾榈妊苯侨切?，所以米．故答案為：．四、雙空題15．在邊長(zhǎng)為2的正方體中，是的中點(diǎn)，那么過(guò)點(diǎn)、、的截面圖形為（在“三角形、矩形、正方形、菱形”中選擇一個(gè)）；截面圖形的面積為.【答案】菱形【分析】利用直線與直線的平行關(guān)系確定截面；再利用菱形的面積公式求截面面積.【詳解】

如圖，取的中點(diǎn)為，連接,因?yàn)榍?所以四邊形為菱形，所以過(guò)點(diǎn)、、的截面圖形為菱形；連接,則,所以截面圖形的面積為，故答案為:菱形；.五、填空題16．已知，，，則的值為.【答案】【分析】先對(duì)已知條件變形，從而得到關(guān)于的方程，解出，從而求得.【詳解】因?yàn)椋?，，所以，解得，又因?yàn)?，所以，所?故答案為：.六、解答題17．已知函數(shù).(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若，求的值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用二倍角公式及兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（2）依題意可得，再由誘導(dǎo)公式及二倍角公式計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)?，由，，解得，，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，.（2）因?yàn)?，所以，所以，所?18．已知，，其中，均為銳角.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）首先求出，即可求出，再由二倍角正切公式計(jì)算可得；（2）根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，，再根據(jù)利用兩角差的余弦公式計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)榍覟殇J角，所以，所以，所以.（2）因?yàn)椤⒕鶠殇J角，所以，又，所以，又且，解得，（負(fù)值舍去），所以.19．如圖，和都垂直于平面，且，是的中點(diǎn)

(1)證明：直線//平面；(2)若平面平面，證明：直線平面.【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，由中位線定理可得，，進(jìn)而可得為平行四邊形，由線面平行的判定定理，即可證明；（2）過(guò)作于，利用面面垂直的性質(zhì)可得，結(jié)合垂直于平面即可證明．【詳解】（1）證明：取中點(diǎn)，連接，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，因?yàn)?，均垂直面，所以，因?yàn)椋郧?，所以為平行四邊形，所以，面，面，所以面．?）如圖，過(guò)作于，平面平面，且兩平面的交線為,平面,平面，由平面，．平面，平面，，又平面，平面．.

20．條件①；②；③（其中為的外接圓半徑）.在這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面橫線上，并解答.在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且滿足__________.(1)求角的大??；(2)若，求面積的最大值.（注：若選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)計(jì)分）【答案】(1)(2)【分析】（1）若選①，由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)已知等式可得，可求，進(jìn)而可得的值；若選②，由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)已知等式可得，結(jié)合，可求的值；若選③，由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)已知等式可得，結(jié)合，可求的值．（2）由題意利用余弦定理以及基本不等式可求的最大值，進(jìn)而利用三角形的面積公式即可求解．【詳解】（1）若選①，因?yàn)?，由正弦定理可得，因?yàn)?，可得，可得，又為三角形?nèi)角，，所以，可得，因?yàn)椋傻?，所以，可得；若選②，因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，可得，又為三角形?nèi)角，，可得，因?yàn)?，所以；若選③，因?yàn)椋ㄆ渲袨榈耐饨訄A半徑），又由正弦定理可得，所以，可得，又為三角形內(nèi)角，，所以，因?yàn)?，所以．?）因?yàn)椋?，所以余弦定理可得，可得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以面積的最大值為．21．如圖，在正方形中，，分別是，的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若沿，及把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使，，三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為.

(1)在四面體中，請(qǐng)寫出不少于3對(duì)兩兩垂直的平面，并證明其中的一對(duì)；(2)若正方形的邊長(zhǎng)為4，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）依題意可得，，，根據(jù)面面垂直的判定定理證明即可；（2）根據(jù)，利用等體積法計(jì)算可得.【詳解】（1）依題意可得平面平面，平面平面，平面平面．證明如下：在折前正方形中，，，折成四面體后，，，又，平面，平面．平面，平面，平面平面；因?yàn)槠矫妫矫嫫矫?；又令正方體的邊長(zhǎng)為，則，，所以，所以，，平面，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面平?

（2）若正方形的邊長(zhǎng)為，則，，，所以，由（1）可知平面，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，又，所以，即，解得．22．已