充要條件 高一上學期數(shù)學人教A版（2019）必修第一冊

第一章集合與邏輯用語1.4.2充要條件人教A版高一數(shù)學必修第一冊教學重點：理解充要條件的概念.教學難點：命題條件的充要性判斷.有志者、事竟成，破釜沉舟，百二秦關終屬楚；苦心人、天不負，臥薪嘗膽，三千越甲可吞吳答案：p?q,故p是q的充分條件,又q?p,故p是q的必要條件.可以發(fā)現(xiàn)：p既是q的充分條件,又是q的必要條件,且這種關系對“若p,則q”的命題只要具備p?q,q?p都成立,即p?q.問題已知p:整數(shù)a是6的倍數(shù),q:整數(shù)a是2和3的倍數(shù).請判斷:p是q的充分條件嗎?p是q的必要條件嗎?這種關系是否對任意一個“若p,則q”的命題只要具備上述命題的條件都成立?探究：充要條件的定義有志者、事竟成，破釜沉舟，百二秦關終屬楚；苦心人、天不負，臥薪嘗膽，三千越甲可吞吳有志者、事竟成，破釜沉舟，百二秦關終屬楚；苦心人、天不負，臥薪嘗膽，三千越甲可吞吳有志者、事竟成，破釜沉舟，百二秦關終屬楚；苦心人、天不負，臥薪嘗膽，三千越甲可吞吳有志者、事竟成，破釜沉舟，百二秦關終屬楚；苦心人、天不負，臥薪嘗膽，三千越甲可吞吳有志者、事竟成，破釜沉舟，百二秦關終屬楚；苦心人、天不負，臥薪嘗膽，三千越甲可吞吳有志者、事竟成，破釜沉舟，百二秦關終屬楚；苦心人、天不負，臥薪嘗膽，三千越甲可吞吳有志者、事竟成，破釜沉舟，百二秦關終屬楚；苦心人、天不負，臥薪嘗膽，三千越甲可吞吳有志者、事竟成，破釜沉舟，百二秦關終屬楚；苦心人、天不負，臥薪嘗膽，三千越甲可吞吳12

已知：⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d.求證：d=r是直線l與⊙O相切的充要條件。例2證明：設p:d=r，q:直線l與⊙O相切（1）充分性（p?q）作OP⊥l于點P，則OP=d。因為d=r，則點P在⊙O上。在直線l上任取一點Q（異于點P），連接OQ在Rt△OPQ中，OQ>OP=r所以，除點P外直線l上的點都在⊙O的外部，即直線l與⊙O僅有一個公共點P所以直線l與⊙O相切有志者、事竟成，破釜沉舟，百二秦關終屬楚；苦心人、天不負，臥薪嘗膽，三千越甲可吞吳13

已知：⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d.求證：d=r是直線l與⊙O相切的充要條件。例2由（1）（2）可得d=r是直線l與⊙O相切的充要條件證明：設p:d=r，q:直線l與⊙O相切（2）必要性(q?p)若直線l與⊙O相切，不妨設切點為P則OP⊥l，因此d=OP=r有志者、事竟成，破釜沉舟，百二秦關終屬楚；苦心人、天不負，臥薪嘗膽，三千越甲可吞吳14課堂練習設a,b,c∈R，證明：a2+b2+c2=ab+ac+bc的充要條件是a=b=c.【分析】轉化：a=b=c是a2+b2+c2=ab+ac+bc的充要條件設p:a=b=c

，q:a2+b2+c2=ab+ac+bc要證兩方面：充分性，必要性（1）充分性p?q，（2）必要性q?p有志者、事竟成，破釜沉舟，百二秦關終屬楚；苦心人、天不負，臥薪嘗膽，三千越甲可吞吳15

p

q

但q

pp是q的充分不必要條件p是q的必要不充分條件p是q的充要條件p是q的既不充分也不必要條件p

q

但q

pp

q

p

q

且q

pP是q的什么條件的判斷：有志者、事竟成，破釜沉舟，百二秦關終屬楚；苦心人、天不負，臥薪嘗膽，三千越甲可吞吳充分、必要條件的證明有志者、事竟成，破釜沉舟，百二秦關終屬楚；苦心人、天不負，臥薪嘗膽，三千越甲可吞吳充分、必要條件的證明方法總結

有關充要條件的證明問題,要分清哪個是條件,哪個是結論,誰是誰的什么條件,由“條件”?“結論”是證明充分性,由“結論”?“條件”是證明必要性.證明要分兩個環(huán)節(jié):一是證充分性;二是證必要性.有志者、事竟成，破釜沉舟，百二秦關終屬楚；苦心人、天不負，臥薪嘗膽，三千越甲可吞吳充分、必要條件的證明練習：已知ab≠0,求證:a+b=1的充要條件是(a+b-1)(a2+b2-ab)=0.有志者、事竟