醫(yī)學(xué)統(tǒng)計學(xué)第14,15講 相關(guān)與回歸分析(一、二)

直線回歸與相關(guān)復(fù)習(xí)檢驗(yàn)、檢驗(yàn)；檢驗(yàn)；秩和檢驗(yàn)；直線回歸與相關(guān)；連續(xù)性變量與分類變量分類變量雙變量可以是連續(xù)性變量，但實(shí)際上處理的是再生的等級變量雙變量可以是連續(xù)性變量變量之間的關(guān)系1.確定性關(guān)系2.非確定性關(guān)系確定性關(guān)系圓的周長公式R=2r圓的面積公式S=r2一一對應(yīng)，非常明確自變量取某一數(shù)值時，應(yīng)變量有一個完全確定的數(shù)值與之對應(yīng)，如函數(shù)關(guān)系。確定性關(guān)系非確定性關(guān)系身高體重165cm60kg50kg65kgI’m10kg?!變量間雖然存在一定的關(guān)系，但關(guān)系不是十分確定。既是必然的又是不確定的關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系(correlation)確定性關(guān)系非確定性關(guān)系醫(yī)學(xué)上，許多現(xiàn)象之間也都有相互聯(lián)系，其表現(xiàn)形式多樣，關(guān)系有疏密程度的不同，相互間可能有因果關(guān)系，也可能有伴隨關(guān)系。

密切程度：體溫與脈搏>身高與體重>產(chǎn)前檢查與嬰兒體重因果關(guān)系：乙肝病毒乙肝伴隨關(guān)系：丈夫的身高和妻子的身高相關(guān)與回歸就是用于研究和解釋兩個變量之間相互關(guān)系的。研究方法相關(guān)分析：反應(yīng)變量間的密切程度與變化趨勢回歸分析：變量間數(shù)量上的依存關(guān)系回歸分析分類按變量間的關(guān)系可分為：直線回歸和曲線回歸。按研究變量的數(shù)量可分為：一元回歸與多元回歸。相關(guān)分析分類按變量間的關(guān)系：線性相關(guān)與曲線相關(guān)按資料的分布分析方法：Pearson相關(guān)與等級相關(guān)第一節(jié)直線回歸（linearregression）直線回歸是用于研究兩個連續(xù)性變量x與y之間的線性依存關(guān)系的一種統(tǒng)計分析方法。回歸F.Galton

英國統(tǒng)計學(xué)家F·Galton（1822——1911年）和他的學(xué)生、現(xiàn)代統(tǒng)計學(xué)的奠基者之一K·Pearson(1856——1936年)在研究父母身高與其子女身高的遺傳問題時，觀察了1078對夫婦，以每對夫婦中父親的身高作為解釋變量X，而取他們的一個成年兒子的身高作為被解釋變量Y（應(yīng)變量），將結(jié)果在平面直角坐標(biāo)系上繪成散點(diǎn)圖，發(fā)現(xiàn)趨勢近乎一條直線。計算出的回歸直線方程為：Galton數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖（英寸）例：在腦血管疾病的診斷治療中，腦脊液白細(xì)胞介素-6(IL-6)水平是影響診斷與預(yù)后分析的一項(xiàng)重要指標(biāo)，但腦脊液臨床上有時又不容易采集到。某醫(yī)生欲用容易測定的血清IL-6含量，來了解急性腦血管病病人腦脊液IL-6水平，隨機(jī)抽取了某醫(yī)院確診的10例蛛網(wǎng)膜下腔出血(SAH)患者24小時內(nèi)血清IL-6(pg/ml)和腦脊液IL-6(pg/ml)數(shù)據(jù)，試就腦脊液IL-6對血清IL-6作回歸分析。一.直線回歸方程及其計算SAH患者第一天血清和腦脊液

IL-6(pg/ml)檢測結(jié)果

患者號

12345678910血清IL-6(x)22.451.658.125.165.979.775.332.496.485.7腦脊液IL-6(y)134.0167.0132.380.2100.0139.1187.297.2192.3199.4血清IL-6(pg/ml)10080604020腦脊液IL-6(pg/ml)2202001801601401201008060YXX

Y

稱為自變量。（independentvariable）稱為因變量。（dependentvariable）可以精確測量或嚴(yán)格控制依賴性XYP119，P121通式：y=a+bx∧自變量因變量直線在y軸上的截距直線的斜率a>0表示直線與縱軸的交點(diǎn)在原點(diǎn)上方a<0表示直線與縱軸的交點(diǎn)在原點(diǎn)下方a=0表示直線通過原點(diǎn)a：截距(intercept)，直線與Y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)。P119，P121b：斜率(slope)，回歸系數(shù)(regressioncoefficient)。意義：X每改變一個單位，Y平均改變b個單位。

b>0，Y隨X的增大而增大（減少而減少）——

斜上；

b<0，Y隨X的增大而減小（減少而增加）——

斜下；

b=0，Y與X無直線關(guān)系——

水平。

｜b｜越大，表示Y隨X變化越快，直線越陡峭。P119，P121b>0：X每增加（減少）一個觀測單位，增加（減少）b個單位。b<0：X每增加（減少）一個觀測單位，減少（增加）|b|個單位。b=0：X與Y沒有直線回歸關(guān)系。b>0b<0b=0表示給定X時Y的平均值的估計值。其涵義是均數(shù)－－不同X時Y均數(shù)的估計值，與一般的均數(shù)的計算方法不同，這里的均數(shù)是給定X的條件下，由回歸方程估計得到的，故又稱條件均數(shù)(conditionalmean)。即Y估計值之均數(shù)等于Y觀察值之總平均。且當(dāng)自變量時，Y的估計值等于。P121回歸方程參數(shù)的計算

最小二乘法原則(leastsquaremethod)：使各散點(diǎn)到直線的縱向距離的平方和最小。即使最小。殘差：點(diǎn)到直線的縱向距離P120例10.1某醫(yī)院測量了10名3歲男童體重(X,kg)與體表面積(Y,103cm2)，數(shù)據(jù)見表10.1，試作回歸分析

。實(shí)例表10.1男童體重(X,kg)與體表面積(Y,103cm2)編號X(1)Y(2)X2(3)Y2(4)XY(5)111.05.283121.0027.9100958.11300211.85.299139.2428.0794062.52820312.05.358144.0028.7081664.29600412.35.292151.2928.0052665.09160513.15.602171.6131.3824173.38621613.76.014187.6936.1682082.39180714.45.830207.3633.9889083.95200814.96.102222.0137.2344190.91980915.26.075231.0436.9056292.340001016.06.411256.0041.10092102.57600合計134.457.2661831.24329.48337775.59461(1)畫散點(diǎn)圖，判斷是否有線性趨勢。按(X,Y)實(shí)測值在直角坐標(biāo)圖上畫出10個點(diǎn)，見圖10.2。由散點(diǎn)圖判斷，兩變量間有線性趨勢，可以作直線回歸分析。

1112131415165.05.56.06.5(2)求直線回歸方程。在例10.1中已算得X和Y的均數(shù)、離均差平方和與離均差積和lXX，lXY，lYY。

=13.44，=5.7266，lXX=24.9040，lYY=1.5439，lXY=5.9396按公式(11.2)，(11.3)得回歸系數(shù)和截距分別為：

(103cm2/kg)a=5.7266-13.440.2385=2.5212(103cm2)由此，可列出直線回歸方程：二.回歸直線根據(jù)求得的回歸方程，可以在自變量X的實(shí)測范圍內(nèi)任取兩個值，代入方程中，求得相應(yīng)的兩個Y值，以這兩對數(shù)據(jù)找出對應(yīng)的兩個坐標(biāo)點(diǎn)，將兩點(diǎn)連接為一條直線，就是該方程的回歸直線。回歸直線一定經(jīng)過（0，a），（）。這兩點(diǎn)可以用來核對圖線繪制是否正確。

(3)繪制回歸直線。在自變量X的實(shí)測范圍內(nèi)任取相距較遠(yuǎn)且易讀數(shù)的兩X值，代入直線回歸方程求得兩點(diǎn)(X1,)，(X2,)，過這兩點(diǎn)作直線即為所求回歸直線。本例取X1=12，得=5.3832；取X2=15,得=6.0987。x=12,y=5.3832

x=15

,y=6.0987

∧∧（0，a）（）與其它假設(shè)檢驗(yàn)一樣，直線回歸方程也是從樣本資料計算而得的，同樣也存在著抽樣誤差問題。所以，需要對樣本的回歸系數(shù)b進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，以判斷b是否從回歸系數(shù)為零的總體中抽得。為了判斷抽樣誤差的影響，需對回歸系數(shù)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。總體的回歸系數(shù)一般用β表示。

三.回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)b≠0原因：①由于抽樣誤差引起，總體回歸系數(shù)β=0②存在回歸關(guān)系，總體回歸系數(shù)β≠0假設(shè)檢驗(yàn)方法:（一）t檢驗(yàn)；（二）方差分析（一）t檢驗(yàn)Sb為回歸系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤

SYX為Y的剩余標(biāo)準(zhǔn)差——各觀察值Y到回歸直線的距離的標(biāo)準(zhǔn)差，表示扣除X的影響后Y的變異程度。

H0：總體回歸系數(shù)

＝0；H1：總體回歸系數(shù)

≠0。α=0.05ν=n-2=8查表得故按α=0.05的水準(zhǔn)拒絕H0，接受H1，可以認(rèn)為認(rèn)為體重與體表面積之間有回歸關(guān)系。

（二）方差分析應(yīng)變量變異的分解XYY的離均差平方和的分解幾個平方和的意義統(tǒng)計量F服從自由度為的F分布。（二）方差分析例：檢驗(yàn)體重與體表面積間無直線回歸關(guān)系是否成立？計算檢驗(yàn)統(tǒng)計量F：注意：兩種檢驗(yàn)是完全等價的，即H0：體重與體表面積間無直線回歸關(guān)系；H1：體重與體表面積間有直線回歸關(guān)系。變異來源SS

MSF回歸1.416611.416689.01剩余0.127380.0159總變異1.543990.1715得F=89.01，今

1=1，

2=8，查附表4，F(xiàn)界值表，得P<0.01，按

=0.05水準(zhǔn)拒絕H0，接受H1，故可認(rèn)為3歲男童的體重與體表面積之間有線性回歸關(guān)系。具體步驟(1)用實(shí)測數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖(scatterdiagram)(2)計算回歸系數(shù)b與截距a(3)列出回歸方程(4)作出回歸直線：在X值實(shí)際范圍內(nèi)任取兩點(diǎn)(5)假設(shè)檢驗(yàn)

注意事項(xiàng)(1)直線通過點(diǎn)()(2)實(shí)際意義：從專業(yè)角度對兩個變量內(nèi)在聯(lián)系有一定認(rèn)識，不能把毫無關(guān)聯(lián)的兩種現(xiàn)象勉強(qiáng)作回歸分析。YX,(3)適用條件：

Y為數(shù)值變量且服從正態(tài)分布，X為人為控制或精確測量，一般稱為Ⅰ型回歸。若X，Y服從雙變量正態(tài)分布，則對這種資料進(jìn)行的回歸稱為Ⅱ型回歸?？捎嬎銉蓚€回歸方程：（4）散點(diǎn)圖：必需有直線趨勢時，才適宜作直線回歸分析。應(yīng)注意資料有無異常點(diǎn)（outlier）及異常點(diǎn)的處理。（5）范圍：直線回歸方程范圍一般以自變量的取值范圍為限，X不能偏離實(shí)測范圍太遠(yuǎn)。例:設(shè)中學(xué)生身高Y（米）與年齡X（歲）的回歸方程為，則初生嬰兒的平均身高為0.5米。（6）回歸系數(shù)的意義

回歸系數(shù)b稱為斜率(slope)，表示自變量增加一個單位時，應(yīng)變量的平均改變量。在例11.1中，b=0.2385(103cm2/kg)，表示體重增加1(kg)，則體表面積平均遞增0.2385(103cm2)?；蛘哒f，體重為X＋1(kg)的3歲男童，其平均體表面積比體重為X(kg)的3歲男童之平均體表面積多0.2385(103cm2)。

直線回歸的區(qū)間估計回歸系數(shù)

的可信區(qū)間估計

估計總體回歸系數(shù)

的100(1-

)%可信限為：本例sb=0.02528,

=10-2=8，查附表2，t界值表，得t0.05,8=2.306，故

的95%可信區(qū)間為：(0.2385-2.306*0.02528，0.2385+2.306*0.02528)=(0.1802，0.2968)(103cm2/kg)

的可信區(qū)間估計點(diǎn)估計:是在給定X下的條件平均值的點(diǎn)估計

是當(dāng)X固定時Y的總體中的條件均數(shù)，是有抽樣誤差的，其標(biāo)準(zhǔn)誤按下式計算：的100(1-

)%可信限： ±

當(dāng)X=12時，=5.3832當(dāng)X=12kg時，的95%可信限為：5.3832

2.306

0.0540=5.2587～5.5077即體重為12kg的3歲男童，估計其平均體表面積為5.3832(103cm2)，95％可信區(qū)間為(5.2587，5.5077)(103cm2)。

個體Y值的容許區(qū)間估計容許區(qū)間就是總體中當(dāng)X固定時，個體Y值的波動范圍，其標(biāo)準(zhǔn)差sY按下式計算:個體Y值的100(1-

)%

容許限可按下式計算：

當(dāng)X=12kg時，體表面積個體值的95%容許限為：

5.3832

2.306

0.1372=5.0666～5.6998即體重為12kg的3歲男童，估計有95％的人體表面積在5.0666到5.6998(103cm2)之間。

1112131415164.55.05.56.06.57.0體表面積(103cm2)圖11.3的95％可信區(qū)間與個體Y值的95％容許區(qū)間

體重(kg)四.回歸方程的應(yīng)用

描述兩變量之間的依存關(guān)系：通過回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn),若認(rèn)為兩變量之間存在直線回歸關(guān)系,則可用直線回歸來描述。就是臍帶血TSH水平和母血TSH水平的定量表達(dá)式。

利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測：把自變量代入回歸方程，對應(yīng)變量進(jìn)行估計，可求出應(yīng)變量的波動范圍。例如，已知母血的TSH水平，代入回歸方程，再用區(qū)間估計的方法，即可知道新生兒臍帶血TSH水平的范圍。

利用回歸方程進(jìn)行統(tǒng)計控制(xy)(yx)常用于描述兩個事物之間的數(shù)量關(guān)系是否密切相關(guān)分析

linearcorrelation第二節(jié)直線相關(guān)P108年齡血壓進(jìn)食量體重用藥濃度小白鼠死亡數(shù)當(dāng)兩個變量之間出現(xiàn)如下關(guān)系，一個增大，另一個也同時增大，或縮小，我們稱這種現(xiàn)象為共變，也就是說兩個變量之間有相關(guān)關(guān)系。

P108直線相關(guān)

當(dāng)一個變量X由小到大，另一個變量Y亦相應(yīng)地由小到大，或由大到小，而同時，兩個變量的散點(diǎn)圖呈直線趨勢，說明兩變量間有直線關(guān)系。一.相關(guān)系數(shù)及其意義身高X體重Y雙變量正態(tài)分布應(yīng)用條件

這種直線關(guān)系，或分析這種直線關(guān)系的理論和方法，統(tǒng)稱為直線相關(guān)XY正相關(guān)完全正相關(guān)負(fù)相關(guān)完全負(fù)相關(guān)零相關(guān)直線相關(guān)系數(shù)（coefficientofcorrelation）簡稱為相關(guān)系數(shù),用符號

r表示是用于說明具有直線關(guān)系兩個變量之間，相關(guān)關(guān)系的密切程度和相關(guān)方向的指標(biāo)?？傮w相關(guān)系數(shù)用希臘字母

表示

1.-1≤r≤1，沒有單位r的特征2.r的絕對值大小表示相關(guān)關(guān)系的密切程度3.r的符號表示相關(guān)的方向XYr>0r=1r<0r=-1r=0X和Y的離差積和X的離差平方和Y的離差平方和(x-x)(y-y)(x-x)2(y-y)2二.相關(guān)系數(shù)的計算例10.1某醫(yī)院測量了10名3歲男童體重(X,kg)與體表面積(Y,103cm2)，數(shù)據(jù)見表10.1，試作相關(guān)分析

。實(shí)例表10.1男童體重(X,kg)與體表面積(Y,103cm2)編號X(1)Y(2)X2(3)Y2(4)XY(5)111.05.283121.0027.9100958.11300211.85.299139.2428.0794062.52820312.05.358144.0028.7081664.29600412.35.292151.2928.0052665.09160513.15.602171.6131.3824173.38621613.76.014187.6936.1682082.39180714.45.830207.3633.9889083.95200814.96.102222.0137.2344190.91980915.26.075231.0436.9056292.340001016.06.411256.0041.10092102.57600合計134.457.2661831.24329.48337775.59461(1)畫散點(diǎn)圖，判斷是否有線性趨勢。按(X,Y)實(shí)測值在直角坐標(biāo)圖上畫出10個點(diǎn)，見圖10.2。由散點(diǎn)圖判斷，兩變量間有線性趨勢，且為正相關(guān)?？梢宰飨嚓P(guān)分析。。1112131415165.05.56.06.5lxy=(x-x)(y-y)=5.9396lxx=(x-x)2=24.9040lyy=(y-y)2=1.5439r=0.95791.相關(guān)程度是0.95792.相關(guān)方向是正相關(guān)三.相關(guān)系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)對相關(guān)系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)，常用t檢驗(yàn)，選用統(tǒng)計量t的計算公式如下：

=n-2

Sr----相關(guān)系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤

解：（1）建立檢驗(yàn)假設(shè)，確定檢驗(yàn)水準(zhǔn)

H0:=0H1:≠0=0.05

查t0.05，8=2.306,P<0.05,按=0.05的水準(zhǔn)拒絕H0，接受H1，認(rèn)為一年級女大學(xué)生的體重與肺活量間呈正的直線相關(guān)。（2）計算檢驗(yàn)統(tǒng)計量：r=0.9597，n=10（3）確定P值，下結(jié)論注意：對于同一資料，tb＝tr，檢驗(yàn)完全等價直線相關(guān)的特征1.

相關(guān)關(guān)系可以是因果關(guān)系，也可以是伴隨關(guān)系。相關(guān)系數(shù)只能說明兩現(xiàn)象的數(shù)量之間存在直線關(guān)系，可以從數(shù)量上給理論研究提供線索。2.r的范圍：。相關(guān)系數(shù)r多在-1和+1之間。r的絕對值越接近于1，相關(guān)越密切，越接近于0，相關(guān)越不密切。但兩變量是否有密切的關(guān)系，首先要從本質(zhì)上考慮，而不單純?nèi)Q于相關(guān)系數(shù)的大小。我和兔子有什么關(guān)系！注意：3.相關(guān)系數(shù)和其他的統(tǒng)計指標(biāo)一樣，也有抽樣誤差。我們所求的僅僅是樣本相關(guān)系數(shù)，必須進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。直線回歸分析和相關(guān)分析的區(qū)別與聯(lián)系1.區(qū)別在資料要求上：

研究回歸時要求因變量Y服從正態(tài)分布，X是可以精確測量和嚴(yán)格控制的變量，一般稱為I型回歸；

研究相關(guān)時要求X和Y均服從雙變量正態(tài)分布，若用回歸稱為II型回歸。在應(yīng)用上：說明兩變量的依存變化的數(shù)量關(guān)系用回歸，說明變量間相關(guān)關(guān)系用相關(guān)。2.聯(lián)系1）對一組數(shù)據(jù)同時計算r和b，它們的正負(fù)號一致，r為+說明兩變量間相互關(guān)系是同向的，b為+說明X增一個單位，Y平均增b個單位。2）回歸系數(shù)b的假設(shè)檢驗(yàn)等價于相關(guān)系數(shù)r的假設(shè)檢驗(yàn)

3）

r與b可以互相換算：4）可以用回歸解釋相關(guān)：

r2又稱為確定系數(shù)R2（determinantcoefficient),它說明應(yīng)變量Y的總變異中歸因于X的部分。注：當(dāng)遇到兩變量之間的相關(guān)系數(shù)具有統(tǒng)計學(xué)意義但r值不大時，下結(jié)論要特別慎重。如：r=0.20,n=100

直線回歸與相關(guān)的應(yīng)用注意事項(xiàng)

1.實(shí)際意義

進(jìn)行相關(guān)回歸分析要有實(shí)際意義，不可把毫無關(guān)系的兩個事物或現(xiàn)象用來作相關(guān)回歸分析。相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系，并不能證明事物間有內(nèi)在聯(lián)系，例如，有人發(fā)現(xiàn)，對于在校兒童，鞋的大小與閱讀技能有很強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系。然而，學(xué)會新詞并不能使腳變大，而是涉及到第三個因素??年齡。當(dāng)兒童長大一些，他們的閱讀能力會提高而且由于長大也穿不下原來的鞋。2.利用散點(diǎn)圖對于性質(zhì)不明確的兩組數(shù)據(jù)，可先做散點(diǎn)圖，在圖上看它們有無關(guān)系、關(guān)系的密切程度、是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)，然后再進(jìn)行相關(guān)回歸分析。3.零相關(guān)相關(guān)系數(shù)或直線回歸系數(shù)為零僅說明兩變量不存在線性關(guān)系，有可能存在非線性關(guān)系。4.不宜“外延”相關(guān)分析和回歸方程僅適用于樣本的原始數(shù)據(jù)范圍之內(nèi)，出了這個范圍，我們不能得出兩變量的相關(guān)關(guān)系和原來的回歸關(guān)系。5.線性回歸的應(yīng)用條件（LINE）⑴線性(linear)：即X和Y間的關(guān)系為線性關(guān)系⑵獨(dú)立(independent)：即n個個體的觀察資料間必須獨(dú)立⑶正態(tài)(normal)：即給定