剛體轉(zhuǎn)動慣量計算方法

剛體對軸轉(zhuǎn)動慣量的計算一、轉(zhuǎn)動慣量及回轉(zhuǎn)半徑在第一節(jié)中已經(jīng)知道，剛體對某軸z的轉(zhuǎn)動慣量就是剛體內(nèi)各質(zhì)點與該點到z軸距離平.…一 J—Xmr2方的乘積的總和，即z mii。如果剛體質(zhì)量連續(xù)分布，則轉(zhuǎn)動慣量可寫成J—jr2dm （18口）由上面的公式可見，剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量決定于剛體質(zhì)量的大小以及質(zhì)量分布情況，而與剛體的運動狀態(tài)無關(guān)，它永遠是一個正的標量。如果不增加物體的質(zhì)量但使質(zhì)量分布離軸遠一些，就可以使轉(zhuǎn)動慣量增大。例如設(shè)計飛輪時把輪緣設(shè)計的厚一些，使得大部分質(zhì)量集中在輪緣上，與轉(zhuǎn)軸距離較遠，從而增大轉(zhuǎn)動慣量。相反，某些儀器儀表中的轉(zhuǎn)動零件，為了提高靈敏度，要求零件的轉(zhuǎn)動慣量盡量小一些，設(shè)計時除了采用輕金屬、塑料以減輕質(zhì)量外，還要盡量將材料多靠近轉(zhuǎn)軸。J—Mp2J—Mp2（18-12）Pz稱為剛體對于z軸的回轉(zhuǎn)半徑（或慣性半徑），它的意義是，設(shè)想剛體的質(zhì)量集中在與z軸相距為Pz的點上，則此集中質(zhì)量對z軸的轉(zhuǎn)動慣量與原剛體的轉(zhuǎn)動慣量相同。具有規(guī)則幾何形狀的均質(zhì)剛體，其轉(zhuǎn)動慣量可以通過計算得到，形狀不規(guī)則物體的轉(zhuǎn)動慣量往往不是由計算得出，而是根據(jù)某些力學(xué)規(guī)律用實驗方法測得。二、簡單形狀物體轉(zhuǎn)動慣量的計算均質(zhì)細直桿如圖18-7所示，設(shè)桿長為l，質(zhì)量為M。取桿上微段dx，其質(zhì)量為，則此dm—如圖18-7所示，設(shè)桿長為l，質(zhì)量為M。取桿上微段dx，其質(zhì)量為，則此圖18-7桿對zc軸的轉(zhuǎn)動慣量為J=2』2x2dm=2』2x2—dx——Ml2zc0 0l12

對應(yīng)的回轉(zhuǎn)半徑P=<—v=—^—=—0.289/zM2\；3均質(zhì)細圓環(huán)如圖18-8所示均質(zhì)細圓環(huán)半徑為R,質(zhì)量為M。任取圓環(huán)上一微段，其質(zhì)量為刁刀，則對z軸的轉(zhuǎn)動慣量為J=jR2dm—MR2圖18-8圖18-8R2則R2則，對應(yīng)的回轉(zhuǎn)半徑廠Pz*=R均質(zhì)薄圓盤如圖18-9所示均質(zhì)圓盤半徑為R，質(zhì)量為M。在圓盤上取半徑為r的圓環(huán)，則此圓環(huán)的dm="x2兀rdr=^Lrdr質(zhì)量為 nR2對z軸的轉(zhuǎn)動慣量為=Jr2dm=\R^-!—r3dr=—MR2M 0R2 2對應(yīng)的回轉(zhuǎn)半徑P="二=R=0.707R

z\M<2

常見簡單形狀的均質(zhì)物體對通過質(zhì)心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量及回轉(zhuǎn)半徑可由表18-1或機械設(shè)計手冊中查得。表18-1均質(zhì)簡單形體的轉(zhuǎn)動慣量（m表示形體的質(zhì)量）轉(zhuǎn)動慣量形體回轉(zhuǎn)半徑均成地桿6=0二0細圓環(huán)可=mr2棒圓掠\a2+b22=4ma2Py=2mr2Py=1mb24表18-1均質(zhì)簡單形體的轉(zhuǎn)動慣量（m表示形體的質(zhì)量）轉(zhuǎn)動慣量形體回轉(zhuǎn)半徑均成地桿6=0二0細圓環(huán)可=mr2棒圓掠\a2+b22=4ma2Py=2mr2Py=1mb24=2a=—ml212=1bPzp=r1Py=2rP尤PzPxPxPx=Py<2 r2=Pzv2~2r=4m(a2+b2)JyJyJJzJ=J=1mr2y4=J=1mr2y2JxJxJxJxJ=J=J=—mr2xyz5=JzPx=Py=Pz而—rIS柱 IS柱 zJJ=J=12m(3r2+12)Px=Py_J3(3r2+12)7nA_J=2mr26/一I)9J2Pz=2r三、平行移軸定理機械設(shè)計手冊給出的一般都是物體對于通過質(zhì)心的軸（簡稱質(zhì)心軸）的轉(zhuǎn)動慣量，而有時需要物體對于與質(zhì)心軸平行的另一軸的轉(zhuǎn)動慣量。平行移軸定理闡明了同一物體對于上述兩軸的不同轉(zhuǎn)動慣量之間的關(guān)系。設(shè)剛體的質(zhì)心為饑剛體對過質(zhì)心的軸z’的轉(zhuǎn)動慣量為七，，對與z’軸平行的另外一軸z的轉(zhuǎn)動慣量為Jz，兩軸間的距離為d，如圖18-10所示。分別以C、O軸z的轉(zhuǎn)動慣量為Jz，兩軸間的距離為d，如圖18-10所示。分別以C、O兩點為原點建立直角圖18-10坐標系Cx’yz’和Oxyz，由圖可見=￡mr'2=￡m(x'2+y‘2)mr2其中代入得J=Ym[x'2+(y'+d)2]=￡m(x'2+y'2+2dy'+d2)z、、iii 、、ii、、i iYm(x'2+y'2)+2d乙my'+d2乙

iii ii因質(zhì)心6是坐標系Cx’y’z’的坐標原點，故Ymiyi=0，imiY^又乙mi-m，所以上式簡化J=JJ=J+md2上式表明：物體對于任一軸z的轉(zhuǎn)動慣量，等于物體對平行于z軸的質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量，加上物體質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積。這就是轉(zhuǎn)動慣量的平行移軸定理。由公式（18-13）可知，在一組平行軸中，物體對于質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量為最小。例18-3鐘擺簡化力學(xué)模型如圖18-11所示，已知均質(zhì)桿質(zhì)量叫、桿長l，圓盤質(zhì)量m2、半徑R，求鐘擺對水平軸O的轉(zhuǎn)動慣量。 1圖18-11解擺對水平軸O的轉(zhuǎn)動慣量等于桿1和圓盤2對軸O的轉(zhuǎn)動慣量之和，即JO=J1O+J2O由轉(zhuǎn)動慣量平行移軸定理得J2OJ J2OJ 1 …1“1“J=J+m(—)2=—m12+—m12=—m121O 1C 1、2 12 1 4 1 3 1… ，3-…，、+m(l+R)2=m(2R2+2Rl+12)1=J+m(l+R)2=—mR2…一 222C2所以=3=3m1l2+m32(2R2+2Rl+12)例18-4如圖18-12所示均質(zhì)等厚度板，單位面積的質(zhì)量為P，大圓半徑為R，挖去的小圓半徑為r，兩圓心的距離OO1=a。試求板對通過。點并垂直于板平面的軸的轉(zhuǎn)動慣量。圖18-12解根據(jù)轉(zhuǎn)動慣量的定義，板對。軸的轉(zhuǎn)動慣量等于（沒有挖去小圓時）整個大圓對軸O的轉(zhuǎn)動慣量J大圓o與小圓對軸O的轉(zhuǎn)動慣量J小圓o之差，即'O '大圓O‘小圓OJ=—mR2=_piR4其中大圓。2 2 由轉(zhuǎn)