元微積分期末復(fù)習(xí)提綱

一元微積分期末復(fù)習(xí)提綱、高階導(dǎo)數(shù),包括簡(jiǎn)單有〃階導(dǎo)數(shù);求導(dǎo)思路：逐次求導(dǎo)法2Γln(1+Q](n)=(-1>-1(n-1)!(1+x)nf?丫)=(-1>3Iχ+1n!.

(X+1)+1（兀、4(sinXXn)=sinX+n?一I2J（兀、；(cosxXn)=cosx+n?一I2J例題：P例1-6、PA:1,2110119、曲線的凹凸性及拐點(diǎn);凹凸性與拐點(diǎn)的判別步驟：（1）求出一、二階導(dǎo)數(shù)y，和y〃；（2）令y，，=0,解出y，，=0的點(diǎn)與y〃不存在的點(diǎn)X；

0（3）利用2解出的點(diǎn)劃分函數(shù)的定義域；（4）畫(huà)表分析、判別；（5）代入原函數(shù)式求出拐點(diǎn)的縱坐標(biāo),并寫(xiě)出結(jié)論；例題：P例-11、PA:4-6

113 119三、相關(guān)變化率利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：蟲(chóng)=dy.dx,

dtdxdt解題步驟：（1）利用題設(shè)條件,寫(xiě)出函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f（x）或F（x,y）0；(2)求出dy；dxdy(3)利用已知條件求出變化率：dy=dy.dx或dx=正；dtdxdtdtdydx例題：P例1—2、PA:4-5132 134四、微分的計(jì)算；微分的計(jì)算公式：dy=y'dx或df(X)=f(x)dx;例題：P例2-3,PA4138 141五、微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用;微分的近似計(jì)算公式：由dy∣ =f^(x)?x一階近似計(jì)算公式得:x=x0 0?y=f(x+?x)-f(x”f(X)?x；000f(X+?x)pf(X)+f(X)?x;000特別地,當(dāng)x=0,?x=X時(shí),則有f(x)≈f(0)+f(0)x;0例題：P例6-8,PA6140 141六、隱函數(shù)求導(dǎo)；求解步驟：(1)對(duì)方程F(x,y)=0兩邊同時(shí)求導(dǎo)(2)由求導(dǎo)后的方程解出y，，并按題目要求寫(xiě)出結(jié)論；或由原隱函數(shù)方程解出y=y∣ ,將(X,y)代入求導(dǎo)后的方程,解出0 1X=X0 00dydxX=X

0例題：P例1-4、PA1-4、P5,6;126 131 158七、參數(shù)方程求導(dǎo);求導(dǎo)法則：如果X,y間的函數(shù)關(guān)系由參數(shù)方程x=中(t)(O\VC(α≤t≤0),

y=ψ(t)來(lái)確定,則由參數(shù)方程確定的函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)公式為dydy=應(yīng)dxdxdtTdyψ().

或—= ;dxφ(t)二階導(dǎo)數(shù)公式為:d(dy'd2y_d(dy)_dt∣kdt/

dx2 dxIdx)dχdt例題：P例-10、PA5—7、P7,8;130 106 158八、中值定理定理內(nèi)容；共性條件：函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；個(gè)性條件：羅爾定理要求區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值相等；拉格朗日中值定理的兩個(gè)推論：推論1、若y=f(x)在區(qū)間/上恒有f^(x)≡0,則f(x)在I上是一個(gè)常數(shù),即f(x)=C;推論2、若y=f(x),y=g(x)在區(qū)間I上恒有f(x)≡g，(x),則f(x),g(x)在I上僅相差一個(gè)常數(shù),即f(x)=g(x)+C;九、洛必達(dá)法則0,,匚“∞ f(x)<f<(x)1、與一標(biāo)準(zhǔn)型：Ilm =Iim—；0 ∞ g(X) g'(X)2、“0?∞”型可先利用“無(wú)窮大與無(wú)窮小的關(guān)系”變形為“0”或“∞”0 ∞標(biāo)準(zhǔn)型后,再使用洛必達(dá)法則求解;3、“…”型可先“通分”后變形為“0”或“∞”標(biāo)準(zhǔn)型,再使用洛必達(dá)法則求解；4、“00”、“卜”與“80”型,可先利用公式y(tǒng)=Clny變形為指數(shù)函數(shù)后,再利用復(fù)合函數(shù)連續(xù)性的推論和洛必達(dá)法則求解；例題：P例1—11、PA、P9;151 156 159十、不定積分的概念、性質(zhì)若FQ)=f(x),則稱F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)；不定積分與導(dǎo)數(shù)或微分互為逆運(yùn)算;不定積分的導(dǎo)數(shù)或微分等于被積函數(shù)或被積表達(dá)式：對(duì)一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分求不定積分,其結(jié)果與這個(gè)函數(shù)僅相差個(gè)積分常數(shù)：JF/(X)dx=F(X)+C或JdF(x)=F(x)+C;例題：PA:1—3;B1168不定積分、定積分的第一類換元法注：1第一換元法又稱為“湊微分法”即“湊”復(fù)合函數(shù)的中間變量的導(dǎo)數(shù),可以不設(shè)代換完成；2不定積分與積分變量有關(guān),故需要“回代”變量；而定積分與積分變量無(wú)關(guān),運(yùn)算時(shí)不需要“回代”；例題：P例1—16,18、P3；171 179P例13>PA:1；225 229十二、不定積分、定積分的第二類換元法1、根式代換題型：被積函數(shù)中含有根式平山的形式被開(kāi)方式為線性函數(shù)cx+d解題思路：“去根號(hào)”；r—r 、'解題方法：令t=maχ+b,解出X=χ,有dx="如dt；Ycx+d ctm—a ICtm-a,特別地，t=nax+b,解出X=T,有dx=%-1dt；

a a代換原則：由左至右、依次代換、一次完成；例題：P例22；PB2(1)(2)；P例176 180 225補(bǔ)充例題：J4LX、J81_dx、∫4x+2YX；01+√x iX+3x o√2X+12、三角代換題型：被積函數(shù)中含有根式Carx,Canr,、:XTa的形式被開(kāi)方式為線性二次函數(shù)解題思路：“去根號(hào)”；解題方法：(1)含有*,a=的形式：令X=asint,有dx=aCostdt；(2)含有、a+X2的形式：令x=atant,有dx=asec2tdt；(3)含有《XT￡的形式：令x=asect,有dx=asecttantdt；代換原則：由左至右、依次代換、一次完成；例題：P例2325PB2(3)-(5),P3(15)(16)；177 180 197P例5PA1(6),P1(8),6(1)(2)；226 229 252注：不定積分與積分變量有關(guān)；而定積分與積分變量無(wú)關(guān);十三、不定積分、定積分的分部積分法1、不定積分的分部積分公式：JUdv=uv_JVdu；定積分的分部積分公式：J…uVb_Jbvdu;a aa2、湊成公式中的vG)的“優(yōu)先次序”：1指數(shù)函數(shù)：=Ideax；a2三角函數(shù)：Sinaxdx=--dCoSaxCoSaxdx=—dSinax；aa3冪函數(shù)：xμdx=--—dxμ+ι;μ+1例題：P例1-5,10,11;PA1,B2-3;；182 186P例9-12、PA,2;;227 229十四、定積分的性質(zhì)關(guān)于被積函數(shù)的性質(zhì)：Jbdx=b-a；aJbkf(x)±…±左f^χj?dχ-k?bf(X)去±…土左Jbf(X)去;

111 "幾」 Il ππa關(guān)于積分區(qū)間的性質(zhì)：Jadx=0；aJbf(x)dx=-Jaf(x)dx；abJbf(x)dx=Jcf(x)dx+Jbf(x)dx;aac關(guān)于對(duì)稱區(qū)間上的性質(zhì)：關(guān)于不等式的性質(zhì)：(1)若在區(qū)間［a,b］上，f(x)≥0,則Jbf(x)dx≥0；a(2)若在區(qū)間［〃,b］上，f(Q≤g(Q,則1bfG)dx≤∫bg(χ)dχ；aa(3)設(shè)M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間Lb］上的最大值及最小值,則m(b一a)≤∫bf(x)dx≤M(b一a);a積分中值定理：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，則在［a,b］上至少存在一點(diǎn)ξ,使得∫bf(x)dx=f(ξ)(b一a);a例1、利用定積分的幾何意義計(jì)算定積分的值：PB:2⑴一(2)；212例2、利用定積分的性質(zhì)比較定積分的大?。篜A,6;；212例3、利用定積分的性質(zhì)、單調(diào)性與函數(shù)的最大小值估算定積分的值：PA,5;；212例4、利用對(duì)稱區(qū)間上的定積分的性質(zhì)計(jì)算定積分的值：P例、PA:3；226 229十五、變限求導(dǎo)變上限函數(shù)有求導(dǎo)：定理及解法：d∫xf(t)dt=f(x)；dxa例題：P例1一例4;PA,1-2；P單元訓(xùn)練五1(1)⑵(4)(6),2(2)；216 222 204含有變上限定積分的極限：解法：洛必達(dá)法則+微積分基本定理例題： 例5,PA,3;P1(3)；217 2 252十六、定積分應(yīng)用：面積、體積；解題步驟:(1)畫(huà)出草圖；(2)建立聯(lián)立方程組,解出兩條曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)；(3)畫(huà)出“穿透射線”，確定積分方向與積分區(qū)間選擇與旋轉(zhuǎn)體相同的積分方向；(4)解出平面圖形的面積：或A=∫"["出口曲線"―"入口曲線"]dyc與繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積：或V=∫d兀[(出口曲線?-(入口曲線)21dy；

y Cl- 」例題：P例12323P例、PA1,2,5,6；226-237 244十七、無(wú)窮區(qū)間上的廣義積分概念及解法:∫+wf(x)dx=lim∫bf(x)dx；a b—?+8a∫bf(x)dx=lim∫bf(x)dx；-∞a———8 a∫+^f(x)dx=∫Cf(X)dx+∫+^f(