七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專(zhuān)題4.28 《幾何圖形初步》全章復(fù)習(xí)與鞏固（知識(shí)講解）-2022-2023學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專(zhuān)項(xiàng)講練（人教版）

/專(zhuān)題4.28《幾何圖形初步》全章復(fù)習(xí)與鞏固（知識(shí)講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．認(rèn)識(shí)一些簡(jiǎn)單的幾何體的平面展開(kāi)圖及三視圖，初步培養(yǎng)空間觀念和幾何直觀；2．掌握直線、射線、線段、角這些基本圖形的概念、性質(zhì)、表示方法和畫(huà)法；3．初步學(xué)會(huì)應(yīng)用圖形與幾何的知識(shí)解釋生活中的現(xiàn)象及解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；4．逐步掌握學(xué)過(guò)的幾何圖形的表示方法，能根據(jù)語(yǔ)句畫(huà)出相應(yīng)的圖形，會(huì)用語(yǔ)句描述簡(jiǎn)單的圖形．【知識(shí)要點(diǎn)】要點(diǎn)一、多姿多彩的圖形幾何圖形的分類(lèi)特別說(shuō)明：在給幾何體分類(lèi)時(shí)，不同的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)有不同的分類(lèi)結(jié)果.2．立體圖形與平面圖形的相互轉(zhuǎn)化（1）立體圖形的平面展開(kāi)圖：把立體圖形按一定的方式展開(kāi)就會(huì)得到平面圖形，把平面圖形按一定的途徑進(jìn)行折疊就會(huì)得到相應(yīng)的立體圖形，通過(guò)展開(kāi)與折疊能把立體圖形和平面圖形有機(jī)地結(jié)合起來(lái)．特別說(shuō)明：①對(duì)一些常見(jiàn)立體圖形的展開(kāi)圖要非常熟悉，例如正方體的11種展開(kāi)圖，三棱柱，圓柱等的展開(kāi)圖；②不同的幾何體展成不同的平面圖形，同一幾何體沿不同的棱剪開(kāi)，可得到不同的平面圖形，那么排除障礙的方法就是：聯(lián)系實(shí)物，展開(kāi)想象，建立“模型”，整體構(gòu)想，動(dòng)手實(shí)踐.（2）從不同方向看：主（正）視圖從正面看幾何體的三視圖左視圖從左（右）邊看俯視圖從上面看特別說(shuō)明：①會(huì)判斷簡(jiǎn)單物體（直棱柱、圓柱、圓錐、球）的三視圖.②能根據(jù)三視圖描述基本幾何體或?qū)嵨镌?（3）幾何體的構(gòu)成元素及關(guān)系幾何體是由點(diǎn)、線、面構(gòu)成的.點(diǎn)動(dòng)成線，線與線相交成點(diǎn)；線動(dòng)成面，面與面相交成線；面動(dòng)成體，體是由面組成.要點(diǎn)二、直線、射線、線段直線，射線與線段的區(qū)別與聯(lián)系2.基本性質(zhì)(1)直線的性質(zhì):兩點(diǎn)確定一條直線．(2)線段的性質(zhì):兩點(diǎn)之間，線段最短．特別說(shuō)明：①本知識(shí)點(diǎn)可用來(lái)解釋很多生活中的現(xiàn)象.如：要在墻上固定一個(gè)木條，只要兩個(gè)釘子就可以了，因?yàn)槿绻涯緱l看作一條直線，那么兩點(diǎn)可確定一條直線.②連接兩點(diǎn)間的線段的長(zhǎng)度，叫做兩點(diǎn)間的距離.3.畫(huà)一條線段等于已知線段（1）度量法：可用直尺先量出線段的長(zhǎng)度,再畫(huà)一條等于這個(gè)長(zhǎng)度的線段.（2）用尺規(guī)作圖法：用圓規(guī)在射線AC上截取AB=ａ，如下圖：4．線段的比較與運(yùn)算（1）線段的比較：比較兩條線段的長(zhǎng)短，常用兩種方法，一種是度量法；一種是疊合法.（2）線段的和與差：如下圖，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。（3）線段的中點(diǎn)：把一條線段分成兩條相等線段的點(diǎn)，叫做線段的中點(diǎn)．如下圖，有：特別說(shuō)明：①線段中點(diǎn)的等價(jià)表述：如上圖，點(diǎn)M在線段上，且有，則點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn).②除線段的中點(diǎn)（即二等分點(diǎn)）外，類(lèi)似的還有線段的三等分點(diǎn)、四等分點(diǎn)等.如下圖，點(diǎn)M,N,P均為線段AB的四等分點(diǎn).要點(diǎn)三、角1．角的度量（1）角的定義：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊；此外，角也可以看作由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形.(2)角的表示方法：角通常有三種表示方法：一是用三個(gè)大寫(xiě)英文字母表示，二是用角的頂點(diǎn)的一個(gè)大寫(xiě)英文字母表示，三是用一個(gè)小寫(xiě)希臘字母或一個(gè)數(shù)字表示.例如下圖：特別說(shuō)明：①角的兩種定義是從不同角度對(duì)角進(jìn)行的定義；②當(dāng)一個(gè)角的頂點(diǎn)有多個(gè)角的時(shí)候，不能用頂點(diǎn)的一個(gè)大寫(xiě)字母來(lái)表示.（3）角度制及角度的換算1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制.特別說(shuō)明：①度、分、秒的換算是60進(jìn)制，與時(shí)間中的小時(shí)分鐘秒的換算相同.②度分秒之間的轉(zhuǎn)化方法：由度化為度分秒的形式(即從高級(jí)單位向低級(jí)單位轉(zhuǎn)化)時(shí)用乘法逐級(jí)進(jìn)行；由度分秒的形式化成度(即低級(jí)單位向高級(jí)單位轉(zhuǎn)化)時(shí)用除法逐級(jí)進(jìn)行.③同種形式相加減：度加（減）度，分加（減）分，秒加（減）秒；超60進(jìn)一，減一成60.（4）角的分類(lèi)∠β銳角直角鈍角平角周角范圍0＜∠β＜90°∠β=90°90°＜∠β＜180°∠β=180°∠β=360°（5）畫(huà)一個(gè)角等于已知角（1）借助三角尺能畫(huà)出15°的倍數(shù)的角，在0～180°之間共能畫(huà)出11個(gè)角.（2）借助量角器能畫(huà)出給定度數(shù)的角.（3）用尺規(guī)作圖法.2．角的比較與運(yùn)算（1）角的比較方法:①度量法；②疊合法.（2）角的平分線：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線，例如：如下圖，因?yàn)镺C是∠AOB的平分線，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.類(lèi)似地，還有角的三等分線等.3．角的互余互補(bǔ)關(guān)系余角補(bǔ)角（1）若∠1+∠2=90°，則∠1與∠2互為余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.（2）若∠1+∠2=180°，則∠1與∠2互為補(bǔ)角.其中∠1是∠2的補(bǔ)角，∠2是∠1的補(bǔ)角.（3）結(jié)論:同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的補(bǔ)角相等.特別說(shuō)明：①余角(或補(bǔ)角)是兩個(gè)角的關(guān)系，是成對(duì)出現(xiàn)的，單獨(dú)一個(gè)角不能稱(chēng)其為余角(或補(bǔ)角).②一個(gè)角的余角(或補(bǔ)角)可以不止一個(gè)，但是它們的度數(shù)是相同的.③只考慮數(shù)量關(guān)系，與位置無(wú)關(guān)．④“等角是相等的幾個(gè)角”，而“同角是同一個(gè)角”.4．方位角以正北、正南方向?yàn)榛鶞?zhǔn)，描述物體運(yùn)動(dòng)的方向，這種表示方向的角叫做方位角.特別說(shuō)明：（1）方位角還可以看成是將正北或正南的射線旋轉(zhuǎn)一定角度而形成的.所以在應(yīng)用中一要確定其始邊是正北還是正南.二要確定其旋轉(zhuǎn)方向是向東還是向西，三要確定旋轉(zhuǎn)角度的大小.（2）北偏東45°通常叫做東北方向，北偏西45°通常叫做西北方向，南偏東45°通常叫做東南方向，南偏西45°通常叫做西南方向.（3）方位角在航行、測(cè)繪等實(shí)際生活中的應(yīng)用十分廣泛.【典型例題】類(lèi)型一、概念或性質(zhì)的理解1.下列幾何圖形與相應(yīng)語(yǔ)言描述相符的是（

）A．如圖1所示，延長(zhǎng)線段到點(diǎn)B．如圖2所示，射線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．如圖3所示，直線和直線相交于點(diǎn)D．如圖4所示，射線和線段沒(méi)有交點(diǎn)【答案】C【分析】直接利用延長(zhǎng)線段以及直線或射線相交和過(guò)一點(diǎn)畫(huà)直線的作法分別分析得出答案．解：A、如圖1所示，延長(zhǎng)線段到點(diǎn)C，幾何圖形與相應(yīng)語(yǔ)言描述不相符；B、如圖2所示，應(yīng)該為射線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，幾何圖形與相應(yīng)語(yǔ)言描述不相符；C、如圖3所示，直線a和直線b相交于點(diǎn)A，幾何圖形與相應(yīng)語(yǔ)言描述相符；D、如圖4所示，因?yàn)樯渚€可以延伸，會(huì)有交點(diǎn)，幾何圖形與相應(yīng)語(yǔ)言描述不相符；故選：C．【點(diǎn)撥】此題主要考查了直線、射線、線段，正確把握相關(guān)圖形畫(huà)法是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，觀察圖形，下列說(shuō)法正確的有（

）個(gè)①直線和直線是同一條直線，②射線和射線是同一條射線，③，④三條直線兩兩相交時(shí)一定有三個(gè)交點(diǎn)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)直線的表示方法對(duì)①進(jìn)行判斷；根據(jù)射線的表示方法對(duì)②進(jìn)行判斷；根據(jù)線段的性質(zhì)對(duì)③進(jìn)行判斷；通過(guò)分類(lèi)討論對(duì)④進(jìn)行判斷．解：①直線和直線是同一條直線，直線沒(méi)有端點(diǎn)，此說(shuō)法正確；②射線和射線是同一條射線，都是以A為端點(diǎn)，同一方向的射線，正確；③，三角形兩邊之和大于第三邊，所以此說(shuō)法正確；④三條直線兩兩相交時(shí)，一定有三個(gè)交點(diǎn)，錯(cuò)誤，可能有1個(gè)交點(diǎn)的情況．所以共有3個(gè)正確．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了直線、射線、線段相關(guān)知識(shí)，掌握線段、射線、直線的表示方法是解題的關(guān)鍵．【變式2】下列說(shuō)法中，正確的是（

）A．直線的一半是射線 B．畫(huà)射線AB＝3cmC．線段AB的長(zhǎng)度就是A，B兩點(diǎn)間的距離 D．如果AB＝BC＝CD，那么AD＝3AB【答案】C【分析】根據(jù)直線與射線是不可測(cè)量長(zhǎng)度的，可判斷A，B，根據(jù)線段的長(zhǎng)度定義可判斷C，根據(jù)線段的性質(zhì)可以判斷D選項(xiàng)，即可求解．解：A.射線、直線都是不可測(cè)量長(zhǎng)度的，不能說(shuō)射線是直線的一半，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；B.畫(huà)線段AB＝3cm才正確，射線不可測(cè)量，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；C.線段AB的長(zhǎng)度就是A，B兩點(diǎn)間的距離，故該選項(xiàng)正確，符合題意；D.如果共線，且AB＝BC＝CD，那么AD＝3AB，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意．故選C．【點(diǎn)撥】本題考查了直線，射線，線段的定義，掌握直線，射線，線段的定義是解題的關(guān)鍵．類(lèi)型二、立體圖形與平面圖形的相互轉(zhuǎn)化2．已知一個(gè)由幾個(gè)小正方體搭成的幾何體，從上面看這個(gè)幾何體的形狀如圖所示，小正方形中的數(shù)字表示在該位置上小正方體的個(gè)數(shù)，請(qǐng)畫(huà)出從正面和左面看到的這個(gè)幾何體的形狀圖．【答案】見(jiàn)分析【分析】根據(jù)簡(jiǎn)單組合體的三視圖畫(huà)出相應(yīng)的圖形即可．解：如圖所示：【點(diǎn)撥】本題考查簡(jiǎn)單組合體的三視圖，理解“長(zhǎng)對(duì)正，寬相等，高平齊”畫(huà)三視圖的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，是由若干個(gè)完全相同的小正方體組成的一個(gè)幾何體，請(qǐng)?jiān)诜礁窦堉杏脤?shí)線畫(huà)出這個(gè)幾何體的從正面看，從左面看和從上面看的平面圖形．【答案】見(jiàn)分析【分析】從正面看有3列，從左往右每列小正方數(shù)形數(shù)目分別為1，3，2，從左面看有2列，從左往右每列小正方形數(shù)目分別為3，1．從上面看有3列，從左往右每列小正方形的個(gè)數(shù)分別為1，2，1，據(jù)此可畫(huà)出圖形．解：如圖所示，【點(diǎn)撥】本題考查了從不同方向看幾何體，以及學(xué)生的空間想象能力，具有良好的空間想象能是解答本題的關(guān)鍵．【變式2】（1）如圖（1）所示的正方體表面分別標(biāo)有字母A，B，C，D，E，F(xiàn)，從三個(gè)不同方向看到的情形如圖所示．則字母A，B，C對(duì)面的字母分別是______，______，______．（2）一個(gè)幾何體由一些大小相同的小正方塊兒搭建，如圖（2）是從上面看到的這個(gè)幾何體的形狀如圖，小正方形的數(shù)字表示在該位置的小正方塊兒的個(gè)數(shù)，請(qǐng)?jiān)谙旅娴木W(wǎng)格中畫(huà)出從正面和左面看到的幾何體的形狀圖．（3）如圖（3）所示的是一個(gè)正方體的展開(kāi)圖，折成正方體后，字母x，y與其相對(duì)面上的數(shù)字相等，求的值．【答案】（1）E，D，F(xiàn)；（2）見(jiàn)分析；（3）【分析】（1）根據(jù)與E相鄰的四個(gè)面上的數(shù)字確定即可；（2）根據(jù)題意得：從正面看從左往右依次有2，3，4塊小正方形；從左面看從左往右依次有2，4塊小正方形，即可求解；（3）根據(jù)題意得：x與相對(duì)，y與3相對(duì)，可得，即可求解．解：（1）根據(jù)題意得：A相鄰的字母有B，C，D，F(xiàn)，所以A的對(duì)面的字母是E，所以與B相鄰的字母有C，E，A，所以B的對(duì)面的字母是D，所以C的對(duì)面的字母是F；故答案為：E，D，F(xiàn)（2）如圖，（3）根據(jù)題意得：x與相對(duì)，y與3相對(duì)，∵字母x，y與其相對(duì)面上的數(shù)字相等，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了正方體相對(duì)兩個(gè)面上的文字，簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，仔細(xì)觀察圖形從相鄰面考慮求解是解題的關(guān)鍵．3.如圖所示，圖1為一個(gè)棱長(zhǎng)為6的正方體，圖2為圖1的表面展開(kāi)圖（數(shù)字和字母寫(xiě)在外表面上，字母也可以表示數(shù)），請(qǐng)根據(jù)要求回答問(wèn)題：如果正方體相對(duì)面上的兩個(gè)數(shù)字之和相等，則x=___________，y=___________；如果面“2”是左面，面“4”在后面，則上面是___________（填6或10或x或y）；圖1中，點(diǎn)M為所在棱的中點(diǎn)，在圖2中找到點(diǎn)M的位置，直接寫(xiě)出圖2中的面積___________.【答案】(1)12，8(2)y(3)9或45【分析】(1)根據(jù)兩個(gè)面相隔一個(gè)面是對(duì)面，對(duì)面的和是14，列式可得答案；(2)根據(jù)臨面，對(duì)面的關(guān)系，可得答案；(3)根據(jù)展開(kāi)圖面與面的關(guān)系，可得M的位置，根據(jù)三角形的面積公式，可得答案．（1）解：如果長(zhǎng)方體相對(duì)面上的兩個(gè)數(shù)字之和相等，則x+2=y+6=10+4，解得：x=12，y=8；故答案為：12，8；（2）解：如果面“2”是左面，面“4”在后面，則上面是y．故答案為：y；（3）解：如圖：，或，故的面積為9或45，故答案為：9或45．【點(diǎn)撥】本題主要考查了正方體展開(kāi)圖面與面之間的關(guān)系，熟悉并熟練掌握展開(kāi)圖面與面之間的關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如果將正方體的表面分別標(biāo)上數(shù)字1，2，3，4，5，6，使它的任意兩個(gè)相對(duì)面的數(shù)字之和為7，將它沿某些棱剪開(kāi)，能展開(kāi)成下列的平面圖形嗎？【答案】（1）能；（2）不能；（3）不能【分析】先判斷各平面圖形是不是正方體的展開(kāi)圖，再尋找正方體的相對(duì)面，確定相對(duì)面上的數(shù)字之和是否等于7，從而可得答案.解：如圖，正方體的表面展開(kāi)圖1-4-1型有6種，如圖（1）是其中的一種，且相對(duì)面上的數(shù)字和為7，所以把正方體沿某些棱剪開(kāi)，能展開(kāi)成如圖（1）平面圖形，正方體的展開(kāi)圖中沒(méi)有4-1-1型，所以把正方體沿某些棱剪開(kāi)，不能展開(kāi)成如圖（2）平面圖形，如圖，正方體的表面展開(kāi)圖1-3-2型有3種，如圖（3）是正方體的展開(kāi)圖1-3-2型中的一種，但是相對(duì)面上的數(shù)字和為：不滿(mǎn)足：它的任意兩個(gè)相對(duì)面的數(shù)字之和為7，所以把正方體沿某些棱剪開(kāi)，不能展開(kāi)成如圖（3）平面圖形，【點(diǎn)撥】本題考查的是正方體的展開(kāi)圖，掌握正方體的展開(kāi)圖與展開(kāi)圖的相對(duì)面的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.【變式2】如圖是一顆骰子的三種不同的放置方法．（1）根據(jù)圖中三種放置方法，推出“？”處的點(diǎn)數(shù)．（2）求這三個(gè)骰子下底面上點(diǎn)數(shù)和．【答案】（1）2；（2）11【分析】（1）由左側(cè)兩個(gè)圖形可得，與2相鄰的面為3，4，5，6，由第一個(gè)和第三個(gè)圖可得，與6相鄰的面為2，4，5，據(jù)此可得結(jié)論；（2）由第一個(gè)圖可知，4的對(duì)面是5，即可得到第二個(gè)圖和第三個(gè)圖的下底面都為5，進(jìn)而得出這三個(gè)骰子下底面上點(diǎn)數(shù)和．解：（1）由左側(cè)兩個(gè)圖形可得，與2相鄰的面為3，4，5，6，故2的對(duì)面是1，即第一個(gè)圖的下底面為1，又由第一個(gè)和第三個(gè)圖可得，與6相鄰的面為2，4，5，故第一個(gè)圖的左面是4，后面為3，故結(jié)合第一個(gè)和第三個(gè)圖可得“？”處的點(diǎn)數(shù)為2；（2）由第一個(gè)圖可知，4的對(duì)面是5，故第二個(gè)圖和第三個(gè)圖的下底面都為5，故這三個(gè)骰子下底面上點(diǎn)數(shù)和為5＋5＋1＝11．【點(diǎn)撥】本題主要考查學(xué)生的空間想象能力和推理能力，注意正方體的空間圖形并從相對(duì)面入手是解題的關(guān)鍵．類(lèi)型三、互余互補(bǔ)的有關(guān)計(jì)算4.將一副三角板中的兩塊直角三角板按如圖方式疊放在一起，直角頂點(diǎn)重合．若時(shí)，求的度數(shù)；當(dāng)平分時(shí)，求的度數(shù)；猜想并寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)；(3)，理由見(jiàn)分析．【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等解答即可；（2）根據(jù)角平分線的定義解答即可；（3）根據(jù)∠ACE＝90°?∠DCE以及∠ACB＝∠ACE＋90°，進(jìn)行計(jì)算即可得出結(jié)論．（1）解：根據(jù)題意有：，∵，，∴，∴，故答案為：65°；（2）∵平分，，∴，∴，即答案為：135°；（3）猜想：．理由如下：∵，，∴，即．【點(diǎn)撥】本題題主要考查了互補(bǔ)、互余的定義等知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是理解重疊的部分實(shí)質(zhì)是兩個(gè)角的重疊．舉一反三：【變式1】如圖，BD是∠ABC的平分線，∠ABE+∠BCF＝180°若∠ABC＝80°，求∠BCF的度數(shù)：若CB是∠ACF的平分線，∠ADB＝k∠ABD，求k的值．【答案】(1)40°(2)k=2【分析】（1）根據(jù)角平分線和互余的關(guān)系確定∠DBC=∠BCF即可．（2）根據(jù)角平分線和互余的關(guān)系確定∠DBC=∠BCF，再通過(guò)互補(bǔ)的關(guān)系求角度等量關(guān)系即可．（1）解：∵∠ABE+∠BCF＝180°，∠ABE+∠ABD＝180°，∴∠ABD＝∠BCF，∵BD是∠ABC的平分線，∠ABC＝80°，∴∠ABD＝∠CBD＝40°，∴∠BCF＝40°．（2）解：∵∠ABE+∠BCF＝180°，∠ABE+∠ABD＝180°，∴∠ABD＝∠BCF，∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD＝∠CBD＝∠BCF，∵CB是∠ACF的平分線，∴∠ABD＝∠CBD＝∠BCF＝∠BCD，∵∠ADB＝∠CBD+∠BCD，∴∠ADB＝2∠ABD，∴k=2．【點(diǎn)撥】本題主要考查角平分線的性質(zhì)在求角度時(shí)的應(yīng)用，熟練運(yùn)用角平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式2】如圖1所示，已知∠AOC＝90°，∠AOB＝38°，OD平分∠BOC，請(qǐng)判斷∠AOD和∠BOD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；已知：如圖2，點(diǎn)O在直線AD上，射線OC平分∠BOD．求證：∠AOC與∠BOC互補(bǔ)；已知∠EPQ和∠FPQ互余，射線PM平分∠EPQ，射線PN平分∠FPQ．若∠EPQ＝β（0°＜β＜90°），直接寫(xiě)出銳角∠MPN的度數(shù)是．【答案】(1)∠AOD+∠BOD＝90°，理由見(jiàn)分析(2)見(jiàn)分析(3)45°或|β﹣45°|【分析】（1）根據(jù)角的計(jì)算，可求解∠BOC的度數(shù)，結(jié)合角平分線的定義求解∠BOD的度數(shù)，即可求解∠AOD的度數(shù)，進(jìn)而可求解∠AOD+∠BOD的度數(shù)；（2）由角平分線的定義可得∠BOC＝∠COD，利用補(bǔ)角的定義可證明結(jié)論；（3）先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，分兩種情況，由考角平分線的定義可得∠MPN＝∠EPF，利用∠EPQ和∠FPQ互余可求解．解：（1）∠AOD+∠BOD＝90°，理由如下：∵∠AOC＝90°，∠AOB＝38°，∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝90°﹣38°＝52°，∵OD平分∠BOC，∴∠BOD＝∠BOC＝26°，∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝38°+26°＝64°，∴∠AOD+∠BOD＝64°+26°＝90°．（2）∵OC平分∠BOD，∴∠BOC＝∠COD，∵∠AOC+∠COD＝180°，∴∠AOC+∠BOC＝180°，即∠AOC與∠BOC互補(bǔ)；（3）如圖，∵PM平分∠EPQ，PN平分∠FPQ，∴∠MPQ＝∠EPQ，∠NPQ＝∠FPQ，∵∠MPN＝∠MPQ+∠NPQ＝∠EPQ+∠FPQ＝∠EPF，∵∠EPQ和∠FPQ互余，∴∠EPQ+∠FPQ＝90°，即∠EPF＝90°，∴∠MPN＝45°；如圖：∵PM平分∠EPQ，PN平分∠FPQ，∴∠MPQ＝∠EPQ，∠NPQ＝∠FPQ，∵∠MPN＝|∠MPQ﹣∠NPQ|＝|∠EPQ﹣∠FPQ|，∵∠EPQ和∠FPQ互余，∠EPQ＝β，∴∠FPQ＝90°﹣β，∴∠MPN＝|β﹣∠（90°﹣β）|＝|β﹣45°|，故答案為：45°或|β﹣45°|．【點(diǎn)撥】本題主要考查角平分線的定義，余角和補(bǔ)角，靈活運(yùn)用角平分線的定義求解角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．類(lèi)型四、方位角5.某部隊(duì)在大西北戈壁灘上進(jìn)行軍事演習(xí)，部隊(duì)司令部把部隊(duì)分為“藍(lán)軍”、“紅軍”兩方．藍(lán)軍的指揮所在A地，紅軍的指揮所地B地，A地在B地的正西邊（如圖）．部隊(duì)司令部在C地．C在A的北偏東方向上、在B的北偏東方向上．______°；演習(xí)前，司令部要藍(lán)軍、紅軍派人到C地匯報(bào)各自的準(zhǔn)備情況．紅軍一輛吉普車(chē)從地出發(fā)、藍(lán)軍一部越野車(chē)在吉普車(chē)出發(fā)3分鐘后從A地出發(fā)，它們同時(shí)到達(dá)C地．已知吉普車(chē)行駛了18分鐘．A到C的距離是B到C的距離的1.7倍．越野車(chē)速度比吉普車(chē)速度的2倍多4千米．求越野車(chē)、吉普車(chē)的速度及B地到C地的距離（速度單位用：千米/時(shí)）．【答案】(1)30(2)越野車(chē)為204千米/時(shí)、吉普車(chē)的速度為100千米/時(shí)，B地到C地的距離為30千米【分析】（1）；（2）設(shè)吉普車(chē)的速度為x千米/時(shí)，越野車(chē)的速度為（2x+4）千米/時(shí)，B到C距離為千米，A到C的距離為千米，根據(jù)題意列出方程并計(jì)算即可．（1）解：，故答案為：30（2）解：設(shè)吉普車(chē)的速度為x千米/時(shí)，則越野車(chē)的速度為（2x+4）千米/時(shí)，B到C距離為千米，A到C的距離為千米，由題意，得，解得x=100，則2x+4=204，，答：越野車(chē)為204千米/時(shí)、吉普車(chē)的速度為100千米/時(shí)，B地到C地的距離為30千米．【點(diǎn)撥】本題考查了方位角和一次方程的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)出合適未知數(shù)，找到等量關(guān)系列出方程是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算如圖，在一條數(shù)軸上，點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C表示的數(shù)分別是，，．求AC的長(zhǎng)；（用含m的代數(shù)式表示）若，求BC的長(zhǎng)；如圖所示，射線OA的方向是北偏東15.8°，射線OB的方向是北偏西，若，則射線OC的方向是北偏東多少度？【答案】(1)BC=2(2)北偏東62°6′【分析】（1）先由兩點(diǎn)間的距離公式表示AC，AB，根據(jù)AB=5列方程可得m的值，代入求值可得BC的長(zhǎng)．（2）利用給出的位置關(guān)系，列出代數(shù)式，代入已知數(shù)量值進(jìn)行求解，問(wèn)題即可解決．（1）解：根據(jù)題意知：AC=（m+1）（94m）=m+19+4m=5m8，AB=（m+1）（2m）=m+12+m=2m1，當(dāng)AB=5時(shí)，即2m1=5，解得m=3，∴BC=（2m）（94m）=2m9+4m=3m7=3×37=2，即BC=2．（2）解：∵∠BOD=40°30′，∠AOD=15.8°=15°48′，∴∠AOB=∠BOD+AOD=40°30′+15°48′=45°78′=46°18′，∵∠AOC=∠AOB，∴∠COD=∠AOC+∠AOD=46°18′+15°48′=61°66′=62°6′．則射線OC的方向是北偏東62°6′．【點(diǎn)撥】本題主要考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離和解一元一次方程，求代數(shù)式的值，角的計(jì)算、度分秒的換算以及方向角，解題的關(guān)鍵是掌握兩點(diǎn)間的距離公式，以及度分秒的換算關(guān)系．【變式2】如圖，處在處南偏西方向，處在處南偏東方向，處在處的北偏東方向，求的度數(shù)．【答案】82°【分析】根據(jù)題意和圖形，正確畫(huà)出方向角，根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．解：由題意得，∠EAB=39°，∠EAC=20°，則∠BAC=59°，∵BD∥AE，∴∠DBA=∠EAB=39°，又∵∠DBC=78°，∴∠ABC=39°，∴∠ACB=180°-59°-39°=82°．【點(diǎn)撥】此題考查方向角，正確畫(huà)出方向角是解題的關(guān)鍵，畫(huà)方位角時(shí)，以正南或正北方向作方位角的始邊，另一邊則表示對(duì)象所處的方向的射線．類(lèi)型五、鐘表上的角6.（1）如圖，分別確定四個(gè)城市相應(yīng)鐘表上時(shí)針與分針?biāo)山堑亩葦?shù)．（2）每經(jīng)過(guò)，時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)多少度？每經(jīng)過(guò)，分針轉(zhuǎn)過(guò)多少度？（3）當(dāng)時(shí)鐘指向上午，時(shí)針與分針的夾角是多少度？（4）請(qǐng)你的同伴任意報(bào)一個(gè)時(shí)間（精確到分），你來(lái)確定時(shí)針與分針的夾角．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）答案不唯一，見(jiàn)分析．【分析】（1）時(shí)針的12個(gè)小時(shí)把360°分解成12份，每份30°，按照這個(gè)度數(shù)關(guān)系對(duì)每個(gè)時(shí)鐘表進(jìn)行計(jì)算即可．（2）時(shí)針1小時(shí)走總度數(shù)的，分針60分鐘把360°分解成60份，每份6°，分針一分鐘走一格，故是6°．（3）先求出此時(shí)時(shí)針與10點(diǎn)整時(shí)時(shí)針的夾角，再用30°減去這個(gè)夾角，再加上3個(gè)30°即可．（4）方法與（3）相同，任選一個(gè)時(shí)間進(jìn)行計(jì)算即可．解：（1）巴黎時(shí)間：12到1夾角為360°的，是30°倫敦時(shí)間：夾角為0°北京時(shí)間：4個(gè)30°，故為120°東京時(shí)間：3個(gè)30°，故為90°（2）時(shí)針每經(jīng)過(guò)1小時(shí)，轉(zhuǎn)過(guò)360°÷12=30°，分針每分鐘轉(zhuǎn)過(guò)360°÷60=6°（3）此時(shí)分針走過(guò)了360°的，所以時(shí)針移動(dòng)的角度占30°的，是5°，所以剩余25°，故夾角為：25°+30°+30°+30°=115°（4）9:20時(shí)此時(shí)時(shí)針與分針夾角是多少？解：此時(shí)分針走過(guò)了360°的，時(shí)針移動(dòng)的角度占30°的，是10°，20°+30°+30°+30+30°+30°+30°=200°故夾角為：360°-200°=160°.【點(diǎn)撥】本題考查時(shí)針?lè)轴樤谵D(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中的夾角的求解，熟練掌握時(shí)針每小時(shí)走30°，分針每分鐘走6°是本題關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】晚飯后，小明準(zhǔn)備外出散步，出發(fā)時(shí)看了一下時(shí)鐘，時(shí)間是18時(shí)多，時(shí)針與分針成角，散步完回家，小明又看了一下鐘，還不到19時(shí)，而時(shí)針與分針又恰好成角，小明外出了多少分鐘？【答案】小明外出時(shí)間為分【分析】方法1：以18時(shí)為標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)，分針比時(shí)針落后30小格（30分鐘）．設(shè)出發(fā)的時(shí)間為6時(shí)x分，由于分針每分鐘走1小格，時(shí)針每分鐘走小格，因此分針走了x小格，時(shí)針走了小格．依題意，若時(shí)針與分針初次形成角，則分針比時(shí)針落后15小格．方法2：將該問(wèn)題看作是鐘面上分針追及時(shí)針的問(wèn)題．時(shí)針每小時(shí)旋轉(zhuǎn)，即每分鐘旋轉(zhuǎn)；分針每小時(shí)旋轉(zhuǎn)，即每分鐘旋轉(zhuǎn)．由于分針旋轉(zhuǎn)速度比時(shí)針快，依題可得，前一個(gè)時(shí)針與分針的夾角可看成分針滯后時(shí)針，后一個(gè)時(shí)針與分針的夾角可看成分針超前時(shí)針．解：【方法1】設(shè)出發(fā)的時(shí)間為6時(shí)x分．根據(jù)題意，可列出方程：解得．即出發(fā)的時(shí)間為6時(shí)分．設(shè)回家的時(shí)間為6時(shí)y分，此時(shí)時(shí)針與分針再次成角，分針比時(shí)針超前15小格，即重疊后再加角．根據(jù)題意，可列出方程：．解得即回家的時(shí)間為6時(shí)分．所以小明外出的時(shí)間為（分）．答：小明外出時(shí)間為分．【方法2】設(shè)小明外出時(shí)間為x分鐘，則在這一過(guò)程中，時(shí)針旋轉(zhuǎn)，分針旋轉(zhuǎn)．根據(jù)題意，可列出方程：解得答：小明外出時(shí)間為分．【點(diǎn)撥】本題考查了表針成角度問(wèn)題，可以先考慮前一個(gè)夾角成的時(shí)刻（此時(shí)時(shí)針超前于分針），再求出后一個(gè)成夾角的時(shí)刻（此時(shí)時(shí)針滯后于分針）；也可以將這一過(guò)程看作在圓面上分針追時(shí)針的過(guò)程，利用“速度差×追及時(shí)間＝追及路程”可列方程求解．【變式2】鐘面上的角的問(wèn)題．(1)3點(diǎn)45分時(shí)，時(shí)針與分針的夾角是多少度？(2)在9點(diǎn)與10點(diǎn)之間，什么時(shí)間時(shí)針與分針成100°的角？【答案】（1）157.5°；（2）9點(diǎn)分或9點(diǎn)分時(shí)，時(shí)針與分針成100°的角【分析】（1）由圖知，由3點(diǎn)到3點(diǎn)45分，分針轉(zhuǎn)了，時(shí)針轉(zhuǎn)了，減去時(shí)針轉(zhuǎn)的度數(shù)，即為夾角；（2）設(shè)分針轉(zhuǎn)的度數(shù)為，則時(shí)針轉(zhuǎn)的度數(shù)為，可根據(jù)關(guān)系式，①，②，求得值，根據(jù)分針走1分，其轉(zhuǎn)動(dòng)，可得到時(shí)間.解：如圖，由3點(diǎn)到3點(diǎn)45分，分針轉(zhuǎn)了，時(shí)針轉(zhuǎn)了，時(shí)針與分針的夾角是：；（2）設(shè)分針轉(zhuǎn)的度數(shù)為，則時(shí)針轉(zhuǎn)的度數(shù)為，得①，解得，，（分）；②，解得，，（分）；9點(diǎn)分或9點(diǎn)分鐘時(shí)，時(shí)針與分針成的角.【點(diǎn)撥】本題考查了鐘表分針?biāo)D(zhuǎn)過(guò)的角度計(jì)算.在鐘表問(wèn)題中，常利用時(shí)針與分針轉(zhuǎn)動(dòng)的度數(shù)關(guān)系：分針每轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，并且利用起點(diǎn)時(shí)間時(shí)針和分針的位置關(guān)系建立角的圖形.類(lèi)型六、利用數(shù)學(xué)思想方法解決有關(guān)線段或角的計(jì)算1.方程的思想方法7.如圖，，C是的中點(diǎn)，D是線段上一點(diǎn)，且．求線段的長(zhǎng)度；請(qǐng)用尺規(guī)在線段上作點(diǎn)E，使，并求線段的長(zhǎng)度（保留痕跡，不寫(xiě)作法）．【答案】(1)12cm(2)圖見(jiàn)分析，BE=4cm【分析】(1)首先根據(jù)C是AB中點(diǎn)，可求得AC=BC=10，設(shè)CD＝x，則AD＝4x，可得4x＋x＝5x＝10，可求得x=2，據(jù)此即可求得；(2)以點(diǎn)D為圓心，以AD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)E即為所求的點(diǎn)；首先可求得AD=DE=8，再由BE=BD-DE即可求得．（1）解：AB＝20，C是AB中點(diǎn)，AC＝BC＝AB＝10，設(shè)CD＝x，AD：DC＝4：1，AD＝4x，AC＝AD＋CD＝4x＋x＝5x＝10，解得，x＝2．BD＝BC＋CD＝10＋2＝12（cm）．（2）解：以點(diǎn)D為圓心，以AD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)E即為所求的點(diǎn)，如圖．AD＝4x＝4×2＝8，DE＝AD＝8．BE=BD-DE=12－8=4（cm）．【點(diǎn)撥】本題考查了線段的和差，線段中點(diǎn)的性質(zhì)，結(jié)合題意和圖形求得相關(guān)線段的和差是解決本題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】已知線段上有兩點(diǎn)C、D，使得，M是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段上的點(diǎn)，且滿(mǎn)足，，求的長(zhǎng)．【答案】7或【分析】設(shè)，則，，根據(jù)題意得，計(jì)算得，即可得，，，，根據(jù)點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)得，根據(jù)，得，分以下兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)N在線段上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)N在線段上時(shí)，進(jìn)行計(jì)算即可得．解：設(shè)，則，，∵，∴，解得，∴，，，，∵點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，∴，∵，，∴，分以下兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)N在線段上時(shí)，，②當(dāng)點(diǎn)N在線段上時(shí)，，綜上所述，線段的長(zhǎng)度為7或．【點(diǎn)撥】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，兩點(diǎn)間的距離的計(jì)算，線段的中點(diǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握線段中點(diǎn)的性質(zhì)，分類(lèi)討論．【變式2】如圖，將直角三角板OMN的直角頂點(diǎn)O放在直線AB上，射線OC平分．當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；若，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)鄰補(bǔ)角得出，再由角平分線得出，結(jié)合圖形求解即可；（2）設(shè)，結(jié)合圖形利用角平分線及一元一次方程求解即可．（1）解：∵，∴，∵平分，∴，∵，∴；（2）設(shè)，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，解得，∴．【點(diǎn)撥】題目主要考查角平分線的計(jì)算，鄰補(bǔ)角的計(jì)算及一元一次方程的應(yīng)用，理解題意，找準(zhǔn)各角之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．2.分類(lèi)的思想方法8.如圖，直線相交于點(diǎn)O。已知，在內(nèi)部引一條射線，且，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：度數(shù)是___________；度數(shù)是___________；將射線繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到①如圖2，當(dāng)平分時(shí)，說(shuō)明平分；②當(dāng)時(shí)，請(qǐng)求出α的度數(shù)【答案】(1)；(2)①見(jiàn)分析；②當(dāng)時(shí)，α的度數(shù)為或者【分析】（1）根據(jù)，，即可得出答案；（2）①求出與的度數(shù)，進(jìn)行比較即可證得結(jié)論；②考慮到有兩種情況即可，即為在如圖所示位置與在上方位置．（1）解：∵，，∴；∵，∴；故答案為：；；（2）解：①當(dāng)平分時(shí)，∵，又∵∴，∴平分．∴當(dāng)平分時(shí)是平分．②當(dāng)時(shí)，且OF在下方時(shí)，∵，∴，當(dāng)時(shí)，且在上方時(shí)，相當(dāng)于比在下方時(shí)多旋轉(zhuǎn)了，∴．綜上所述：當(dāng)時(shí)，α的度數(shù)為或者．【點(diǎn)撥】本題考查了幾何圖形中角的計(jì)算，角平分線的定義，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，，，，分別是，的平分線．如圖1，當(dāng)在左側(cè)，且時(shí)，的度數(shù)是_________；當(dāng)?shù)奈恢貌淮_定時(shí)，請(qǐng)利用備用圖，畫(huà)出相關(guān)圖形，探究的大小與的數(shù)量關(guān)系；當(dāng)?shù)亩葦?shù)為時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)．【答案】(1)(2)或或(3)或【分析】（1）利用角平分線的定義和角的和差關(guān)系求解；（2）分OC在OB左側(cè)，OC在內(nèi)部，OC在OA下方三種情況，利用角的和差關(guān)系分別計(jì)算即可求解；（3）將代入（2）中結(jié)論即可求解．（1）解：由題意得，，，∵，分別是，∴，，∴，即的度數(shù)是；（2）解：分三種情況討論，當(dāng)OC在OB左側(cè)時(shí)，如下圖所示：；當(dāng)OC在內(nèi)部時(shí)，如下圖所示：；當(dāng)OC在OA下方時(shí)，如下圖所示：；綜上可知，或或．（3）解：由（2）可知，時(shí)，，或，或解得，或，或（舍去），即的度數(shù)為或．【點(diǎn)撥】本題考查角平分線的定義和角的和差關(guān)系，需要注意OC的位置有多種可能，掌握分類(lèi)討論思想是解題的關(guān)鍵．【變式2】已知，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)、分別是線段、的中點(diǎn)．如圖1，點(diǎn)在線段上一點(diǎn)，，求的長(zhǎng)；如圖2，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，，求長(zhǎng)．【答案】(1)(2)3或10【分析】（1）根據(jù)中點(diǎn)的定義可得，，進(jìn)而可得；（2）先計(jì)算出，再分點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)和點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)兩種情況，利用線段和差關(guān)系分別計(jì)算即可．（1）解：∵是中