2024屆福建省安溪六中數(shù)學(xué)高一上期末綜合測(cè)試試題含解析

2024屆福建省安溪六中數(shù)學(xué)高一上期末綜合測(cè)試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．表面積為24的正方體的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的表面積是A. B.C. D.2．已知三個(gè)變量隨變量變化數(shù)據(jù)如下表：則反映隨變化情況擬合較好的一組函數(shù)模型是A. B.C. D.3．已知函數(shù)f(x)=若f（f（0））=4a，則實(shí)數(shù)a等于A. B.C.2 D.94．已知角α的始邊與x軸的正半軸重合，頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，角α終邊上的一點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離為，若α=，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A.(1，) B.(，1)C.() D.(1，1)5．設(shè)p：關(guān)于x的方程有解；q：函數(shù)在區(qū)間上恒為正值，則p是q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6．已知函數(shù)滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有成立，則的取值范圍是（）A B.C. D.7．下列函數(shù)中既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的是（）A B.C. D.8．若-3和1是函數(shù)y=loga（mx2+nx-2）的兩個(gè)零點(diǎn)，則y=logn|x|的圖象大致是（）A. B.C. D.9．函數(shù)的最小值為（）A. B.C.0 D.10．已知，則“”是“”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則_______________.12．已知函數(shù)的圖象經(jīng)過定點(diǎn)，若為正整數(shù)，那么使得不等式在區(qū)間上有解的的最大值是__________.13．若直線：與直線：互相垂直，則實(shí)數(shù)的值為__________14．已知函數(shù)，將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，再將得到的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的解析式______15．如圖，在三棱錐中，已知，，，，則三棱錐的體積的最大值是________.16．一條光線從A處射到點(diǎn)B(0，1)后被軸反射，則反射光線所在直線的一般式方程為_____________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．定義：若對(duì)定義域內(nèi)任意x，都有（a為正常數(shù)），則稱函數(shù)為“a距”增函數(shù)（1）若，(0，)，試判斷是否為“1距”增函數(shù)，并說明理由；（2）若，R是“a距”增函數(shù)，求a的取值范圍；（3）若，(﹣1，)，其中kR，且為“2距”增函數(shù)，求的最小值18．如圖所示，某市政府決定在以政府大樓O為中心，正北方向和正東方向的馬路為邊界的扇形地域內(nèi)建造一個(gè)圖書館.為了充分利用這塊土地，并考慮與周邊環(huán)境協(xié)調(diào)，設(shè)計(jì)要求該圖書館底面矩形的四個(gè)頂點(diǎn)都要在邊界上，圖書館的正面要朝市政府大樓.設(shè)扇形的半徑OM＝R，∠MOP＝45°，OB與OM之間的夾角為θ.（1）將圖書館底面矩形ABCD的面積S表示成θ的函數(shù).（2）若R＝45m，求當(dāng)θ為何值時(shí)，矩形ABCD的面積S最大？最大面積是多少？(?。?.414)19．設(shè)函數(shù)（1）若不等式的解集是，求不等式的解集；（2）當(dāng)時(shí)，在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍20．已知函數(shù)，圖象上兩相鄰對(duì)稱軸之間的距離為；_______________；（Ⅰ）在①的一條對(duì)稱軸；②的一個(gè)對(duì)稱中心；③的圖象經(jīng)過點(diǎn)這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面空白橫線中，然后確定函數(shù)的解析式；（Ⅱ）若動(dòng)直線與和的圖象分別交于、兩點(diǎn)，求線段長(zhǎng)度的最大值及此時(shí)的值.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.21．已知，，求，實(shí)數(shù)a的取值范圍

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解題分析】根據(jù)正方體的表面積，可求得正方體的棱長(zhǎng)，進(jìn)而求得體對(duì)角線的長(zhǎng)度；由體對(duì)角線為外接球的直徑，即可求得外接球的表面積【題目詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a因?yàn)楸砻娣e為24，即得a=2正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)度為所以正方體的外接球半徑為所以球的表面積為所以選A【題目點(diǎn)撥】本題考查了立體幾何中空間結(jié)構(gòu)體的外接球表面積求法，屬于基礎(chǔ)題2、B【解題分析】根據(jù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)速度的不同可得結(jié)果.【題目詳解】從題表格可以看出，三個(gè)變量都是越來越大，但是增長(zhǎng)速度不同，其中變量的增長(zhǎng)速度最快，呈指數(shù)函數(shù)變化，變量的增長(zhǎng)速度最慢，對(duì)數(shù)型函數(shù)變化，故選B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用，意在考查綜合利用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力，屬于簡(jiǎn)單題.3、C【解題分析】，選C.點(diǎn)睛：(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.(2)求某條件下自變量的值，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記代入檢驗(yàn)，看所求的自變量的值是否滿足相應(yīng)段自變量的取值范圍.4、D【解題分析】設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)（x，y），利用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義結(jié)合的三角函數(shù)值求得x，y值得答案【題目詳解】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則由三角函數(shù)的定義得即故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，1).故選D【題目點(diǎn)撥】本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，是基礎(chǔ)的計(jì)算題5、B【解題分析】先化簡(jiǎn)p,q，再利用充分條件和必要條件的定義判斷.【題目詳解】因?yàn)榉匠逃薪?即方程有解，令，則，即；因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上恒為正值，所以在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，解得，所以p是q的必要不充分條件，故選：B6、C【解題分析】易知函數(shù)在R上遞增，由求解.【題目詳解】因?yàn)楹瘮?shù)滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有成立，所以函數(shù)在R上遞增，所以，解得，故選：C7、C【解題分析】根據(jù)常見函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，即可容易判斷選擇.【題目詳解】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，，奇函數(shù)，不符合題意；對(duì)于B，，為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，不符合題意；對(duì)于C，，既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞增，符合題意；對(duì)于D，為奇函數(shù)，不符合題意；故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查常見函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的判斷，屬簡(jiǎn)單題.8、C【解題分析】運(yùn)用零點(diǎn)的定義和一元二次方程的解法可得【題目詳解】根據(jù)題意得，解得，∵n=2＞1由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象得答案為C.故選C【題目點(diǎn)撥】本題考查零點(diǎn)的定義，一元二次方程的解法9、C【解題分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性得出函數(shù)在時(shí)取得最小值【題目詳解】，因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，因此當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，而時(shí)，，所以時(shí)，故選：C10、A【解題分析】“a＞1”?“”，“”?“a＞1或a＜0”，由此能求出結(jié)果【題目詳解】a∈R，則“a＞1”?“”，“”?“a＞1或a＜0”，∴“a＞1”是“”的充分非必要條件故選A【題目點(diǎn)撥】充分、必要條件的三種判斷方法

定義法：直接判斷“若則”、“若則”的真假．并注意和圖示相結(jié)合，例如“?”為真，則是的充分條件

等價(jià)法：利用?與非?非，?與非?非，?與非?非的等價(jià)關(guān)系，對(duì)于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法

集合法：若?，則是的充分條件或是的必要條件；若＝，則是的充要條件二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】首先確定函數(shù)的解析式，然后求解的值即可.【題目詳解】由題意可得：，當(dāng)時(shí)，，令可得：，據(jù)此有：.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】已知f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分圖象求其解析式時(shí)，A比較容易看圖得出，困難的是求待定系數(shù)ω和φ，常用如下兩種方法：(1)由ω＝即可求出ω；確定φ時(shí)，若能求出離原點(diǎn)最近的右側(cè)圖象上升(或下降)的“零點(diǎn)”橫坐標(biāo)x0，則令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入點(diǎn)的坐標(biāo)，利用一些已知點(diǎn)(最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或“零點(diǎn)”)坐標(biāo)代入解析式，再結(jié)合圖形解出ω和φ，若對(duì)A，ω的符號(hào)或?qū)Ζ盏姆秶幸?，則可用誘導(dǎo)公式變換使其符合要求.12、【解題分析】由可得出，由已知不等式結(jié)合參變量分離法可得出，令，求出函數(shù)在上的最大值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍，即可得解.【題目詳解】由已知可得，則，解得，故，由得，因?yàn)?，則，可得，令，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，，.因此，正整數(shù)的最大值為.故答案：.13、-2【解題分析】由于兩條直線垂直，故.14、【解題分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換可得答案.【題目詳解】將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，得，再將得到的圖象向右平移個(gè)單位得故答案為：15、【解題分析】過作垂直于的平面，交于點(diǎn)，，作，通過三棱錐體積公式可得到，可分析出當(dāng)最大時(shí)所求體積最大，利用橢圓定義可確定最大值，由此求得結(jié)果.【題目詳解】過作垂直于的平面，交于點(diǎn)，作，垂足為，，當(dāng)取最大值時(shí)，三棱錐體積取得最大值，由可知：當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)最大，則當(dāng)取最大值時(shí)，三棱錐體積取得最大值.又，在以為焦點(diǎn)的橢圓上，此時(shí)，，，，三棱錐體積最大值為.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查三棱錐體積最值的求解問題，解題關(guān)鍵是能夠?qū)⑺篌w積的最值轉(zhuǎn)化為線段長(zhǎng)度最值的求解問題，通過確定線段最值得到結(jié)果.16、【解題分析】根據(jù)反射光線的性質(zhì)，確定反射光線上的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，最后確定直線的一般式方程.【題目詳解】因?yàn)橐粭l光線從A處射到點(diǎn)B(0，1)后被軸反射，所以點(diǎn)A關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為，根據(jù)對(duì)稱性可知，反射光線所在直線過點(diǎn)，又因?yàn)榉瓷涔饩€所在直線又過點(diǎn)，所以反射光線所在直線斜率為，所以反射光線所在直線方程為，化成一般式得：，故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）；（3）.【解題分析】（1）利用“1距”增函數(shù)的定義證明即可；（2）由“a距”增函數(shù)的定義得到在上恒成立，求出a的取值范圍即可；（3）由為“2距”增函數(shù)可得到在恒成立，從而得到恒成立，分類討論可得到的取值范圍，再由，可討論出的最小值【題目詳解】（1）任意,,因?yàn)?,所以，所以，即是“1距”增函數(shù)（2）.因?yàn)槭恰熬唷痹龊瘮?shù)，所以恒成立，因?yàn)?所以在上恒成立，所以，解得，因?yàn)?所以.（3）因?yàn)?，，且為?距”增函數(shù)，所以時(shí)，恒成立，即時(shí)，恒成立，所以，當(dāng)時(shí)，，即恒成立，所以,得;當(dāng)時(shí)，，得恒成立，所以,得,綜上所述，得.又，因?yàn)?所以，當(dāng)時(shí)，若，取最小值為；當(dāng)時(shí)，若，取最小值.因?yàn)樵赗上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)，的最小值為；當(dāng)時(shí)的最小值為，即.【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)的綜合知識(shí)，考查了函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查了恒成立問題，考查了分類討論思想的運(yùn)用，屬于中檔題18、（1）S＝R2sin－R2，θ∈；（2）當(dāng)θ＝時(shí)，矩形ABCD面積S最大，最大面積為838.35m2.【解題分析】（1）設(shè)OM與BC的交點(diǎn)為F，用表示出，，，從而可得面積的表達(dá)式；（2）結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求得最大值【題目詳解】解：（1）由題意，可知點(diǎn)M為PQ的中點(diǎn)，所以O(shè)M⊥AD.設(shè)OM與BC的交點(diǎn)為F，則BC＝2Rsinθ，OF＝Rcosθ，所以AB＝OF－AD＝Rcosθ－Rsinθ.所以S＝AB·BC＝2Rsinθ(Rcosθ－Rsinθ)＝R2(2sinθcosθ－2sin2θ)＝R2(sin2θ－1＋cos2θ)＝R2sin－R2，θ∈.（2）因?yàn)棣取?，所?θ＋∈，所以當(dāng)2θ＋，即θ＝時(shí)，S有最大值.Smax＝(－1)R2＝(－1)×452＝0.414×2025＝838.35(m2).故當(dāng)θ＝時(shí)，矩形ABCD的面積S最大，最大面積為838.35m2.【題目點(diǎn)撥】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是利用表示出矩形的邊長(zhǎng)，從而得矩形面積．利用三角函數(shù)恒等變換公式化函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，然后結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求得最大值19、（1）或（2）【解題分析】（1）由題意，是方程的解，利用韋達(dá)定理求解，代入，結(jié)合一元二次函數(shù)、方程、不等式的關(guān)系求解即可；（2），代入轉(zhuǎn)化不等式為，換元法求解的最大值即可【小問1詳解】因?yàn)椴坏仁降慕饧?，所以是方程的解由韋達(dá)定理解得故不等式為，即解得或故不等式得其解集為或【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以令，則令，則，由于均為的減函數(shù)故在上為減函數(shù)所以當(dāng)時(shí)，取最大值，且最大值為3所以所以所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.20、（Ⅰ）選①或②或③，；（Ⅱ）當(dāng)或時(shí)，線段的長(zhǎng)取到最大值.【解題分析】（Ⅰ）先根據(jù)題中信息求出函數(shù)的最小正周期，進(jìn)而得出.選①，根據(jù)題意得出，結(jié)合的取值范圍可求出的值，進(jìn)而得出函數(shù)的解析式；選②，根據(jù)題意得出，結(jié)合的取值范圍可求出的值，進(jìn)而得出函數(shù)的解析式；選③，根據(jù)題意得出，結(jié)合的取值范圍可求出的值，進(jìn)而得出函數(shù)的解析式；（Ⅱ）令，利用三角恒等變換思想化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，利用正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)求出在上的最大值和最小值，由此可求得線段長(zhǎng)度的最大值及此時(shí)的值.【題目詳解】（Ⅰ）由于函數(shù)圖象上兩相鄰對(duì)稱軸之間的距離為，則該函