2024屆北京市朝陽區(qū)第八十中學(xué)數(shù)學(xué)高一上期末聯(lián)考試題含解析

2024屆北京市朝陽區(qū)第八十中學(xué)數(shù)學(xué)高一上期末聯(lián)考試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．同時擲兩枚骰子，所得點數(shù)之和為的概率為A. B.C. D.2．已知集合A∪B={0,1,2,3,4}，B={1,2,4}，那么集合A可能是（）A.{1,2,3} B.{0,1,4}C.{0,1,3} D.{1,3,4}3．用長度為24米的材料圍成一矩形場地，中間加兩道隔墻（如圖），要使矩形的面積最大，則隔墻的長度為A.3米 B.4米C.6米 D.12米4．點到直線的距離等于（）A. B.C.2 D.5．的值是A. B.C. D.6．已知，則（）A.-4 B.4C. D.7．已知點，向量，若，則點的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.8．如圖，在中，為邊上的中線，，設(shè)，若，則的值為A. B.C. D.9．命題“對，都有”的否定為（）A.對，都有 B.對，都有C.，使得 D.，使得10．已知定義域為R的函數(shù)在單調(diào)遞增，且為偶函數(shù)，若，則不等式的解集為（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，，，則有最大值為__________12．二次函數(shù)的部分對應(yīng)值如下表：342112505則關(guān)于x不等式的解集為__________13．_____.14．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，則________，________.15．給出下列五個論斷：①；②；③；④；⑤.以其中的兩個論斷作為條件，一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題：___________.16．如果，且，則的化簡為_____.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知，若在上的最大值為，最小值為，令.（1）求的函數(shù)表達(dá)式；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求出的最小值.18．已知函數(shù)f(x)=（1）若f(x)有兩個零點x1、x2，且x1（2）若命題“?x∈R，fx≤-719．如圖,在圓錐中,已知,圓的直徑,是弧的中點,為的中點.（1）求異面直線和所成的角的正切值；（2）求直線和平面所成角的正弦值.20．已知函數(shù)，.（1）對任意的，恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；（2）設(shè)，證明：有且只有一個零點，且.21．已知函數(shù)（1）求最小正周期；（2）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（3）當(dāng)時，求的最小值及取得最小值時的值

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解題分析】本題是一個古典概型，試驗發(fā)生包含的事件是同時擲兩枚骰子，共有6×6種結(jié)果，而滿足條件的事件是兩個點數(shù)之和是5，列舉出有4種結(jié)果，根據(jù)概率公式得到結(jié)果.【題目詳解】由題意知，本題是一個古典概型，試驗發(fā)生包含的事件是同時擲兩枚骰子，共有6×6=36種結(jié)果，而滿足條件的事件是兩個點數(shù)之和是5，列舉出有（1，4）（2，3）（3，2）（4，1），共有4種結(jié)果，根據(jù)古典概型概率公式得到P=.【題目點撥】古典概型要求能夠列舉出所有事件和滿足條件的事件發(fā)生的個數(shù)，本題可以列舉出所有事件，概率問題同其他的知識點結(jié)合在一起，實際上是以概率問題為載體2、C【解題分析】根據(jù)并集的定義可得集合A中一定包含的元素，再對選項進(jìn)行排除，可得答案.【題目詳解】∵集合A∪B={0,1,2,3,4}，B={1,2,4}；∴集合A中一定有元素0和3，故可排除A,B,D;故選：C.3、A【解題分析】主要考查二次函數(shù)模型的應(yīng)用解：設(shè)隔墻長度為，則矩形另一邊長為=12－2，矩形面積為=（12－2）=，0<<6，所以=3時，矩形面積最大，故選A4、C【解題分析】由點到直線的距離公式求解即可.【題目詳解】解：由點到直線的距離公式得，點到直線的距離等于.故選：C【題目點撥】本題考查了點到直線的距離公式，屬基礎(chǔ)題.5、B【解題分析】由余弦函數(shù)的二倍角公式把等價轉(zhuǎn)化為，再由誘導(dǎo)公式進(jìn)一步簡化為，由此能求出結(jié)果詳解】，故選B【題目點撥】本題考查余弦函數(shù)的二倍角公式的應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意誘導(dǎo)公式的靈活運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解題分析】已知，可得，根據(jù)兩角差的正切公式計算即可得出結(jié)果.【題目詳解】已知，則，.故選：C.7、B【解題分析】設(shè)點坐標(biāo)為，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算建立方程組，解之可得選項.【題目詳解】設(shè)點坐標(biāo)為，，A，所以，又，，所以.解得，解得點坐標(biāo)為.故選：B.8、C【解題分析】分析：求出，，利用向量平行的性質(zhì)可得結(jié)果.詳解：因為所以，因為，則，有，，由可知，解得．故選點睛：本題主要考查平面向量的運(yùn)算，屬于中檔題．向量的運(yùn)算有兩種方法，一是幾何運(yùn)算往往結(jié)合平面幾何知識和三角函數(shù)知識解答，運(yùn)算法則是：（１）平行四邊形法則（平行四邊形的對角線分別是兩向量的和與差）；（２）三角形法則（兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是和）；二是坐標(biāo)運(yùn)算：建立坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為解析幾何問題解答（求最值與范圍問題，往往利用坐標(biāo)運(yùn)算比較簡單）9、D【解題分析】全稱命題的否定是特稱命題，把任意改為存在，把結(jié)論否定.【題目詳解】，都有的否定是，使得.故選：D10、D【解題分析】根據(jù)題意，由函數(shù)為偶函數(shù)分析可得函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及特殊值分析可得，解可得的取值范圍，即可得答案【題目詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，又由函數(shù)在，單調(diào)遞增且f(3)，則，解可得：，即不等式的解集為；故選：D二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、4【解題分析】分析：直接利用基本不等式求xy的最大值.詳解：因為x+y=4,所以4≥，所以故答案為4.點睛：（1）本題主要考查基本不等式，意在考查學(xué)生對該基礎(chǔ)知識的掌握水平.(2)利用基本不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等”，三者缺一不可.12、【解題分析】根據(jù)所給數(shù)據(jù)得到二次函數(shù)的對稱軸，即可得到，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得解；【題目詳解】解：∵，∴對稱軸為，∴，又∵在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴的解集為故答案為：13、【解題分析】利用誘導(dǎo)公式變形，再由兩角和的余弦求解【題目詳解】解：，故答案為【題目點撥】本題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查兩角和的余弦，是基礎(chǔ)題14、①.1②.0【解題分析】根據(jù)函數(shù)的周期性和奇偶性，結(jié)合已知條件，代值計算即可.【題目詳解】因為滿足，且，且其為奇函數(shù)，故；又，故可得，又函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，故，又，故.故答案為：1；0.15、②③?⑤；③④?⑤；②④?⑤【解題分析】利用不等式的性質(zhì)和做差比較即可得到答案.【題目詳解】由②③?⑤，因為，，則.由③④?⑤，由于，，則，所以.由②④?⑤，由于，且，則，所以.故答案為：②③?⑤；③④?⑤；②④?⑤16、【解題分析】由，且，得到是第二象限角，由此能化簡【題目詳解】解：∵，且，∴是第二象限角，∴故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2)答案見解析.【解題分析】解：(1)函數(shù)的對稱軸為直線,而∴在上最小值為，①當(dāng)時，即時，②當(dāng)2時，即時，，(2)請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.18、（1）a=±1；（2）-2,2.【解題分析】（1）由已知條件可得Δ>0，結(jié)合韋達(dá)定理可求得實數(shù)a（2）由已知可知，命題“?x∈R，x2-2ax+8-a2>0【小問1詳解】解：由已知可得Δ=4a2-41-由韋達(dá)定理可得x1+x所以，x1-x2故a=±1.【小問2詳解】解：由題意可知，?x∈R，x則判別式Δ'=4a所以，實數(shù)a的取值范圍是-2,2.19、（1）2；（2）【解題分析】（1）由三角形中位線定理可得∥，則可得是異面直線和所成的角，然后在中求解即可，（2）直線與平面所成的角，應(yīng)先作出直線在平面內(nèi)的射影，則斜線與射影所成的角即為所求．過點O向平面PAC作垂線，則可證得即為直線與平面所成的角，進(jìn)而求出其正弦值【題目詳解】（1）因為分別是和的中點所以∥，所以異面直線和所成的角為，在中，,是弧的中點,為的中點，所以，因為平面，平面，所以，因為所以，（2）因為，為的中點，所以，因為平面，平面，所以，因為，所以平面因為平面，所以平面平面，在平面中，過作于，則平面，連結(jié)，則是在平面上的射影，所以是直線和平面所成的角在中，在中，20、（1）；（2）證明見解析.【解題分析】（1）利用的單調(diào)性以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求出的范圍（2）對進(jìn)行分類討論，分為：和，利用零點存在定理和數(shù)形結(jié)合進(jìn)行分析，即可求解【題目詳解】解：（1）因為是增函數(shù)，是減函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增.所以的最小值為，所以，解得，所以實數(shù)k的取值范圍是.（2）函數(shù)的圖象在上連續(xù)不斷.①當(dāng)時，因為與在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增.因為，，所以.根據(jù)函數(shù)零點存在定理，存在，使得.所以在上有且只有一個零點.②當(dāng)時，因為單調(diào)遞增，所以，因為.所以.所以在上沒有零點.綜上：有且只有一個零點.因為，即，所以，.因為在上單調(diào)遞減，所以，所以.【題目點撥】關(guān)鍵點睛：對進(jìn)行分類討論時，①當(dāng)時，因為與在上單調(diào)遞增，再結(jié)合零點存在定理，即可求解；②當(dāng)時，恒成立，所以，在上沒有零點；最后利用，得到，然后化簡可求解。本題考查函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的零點等知識；考查學(xué)生運(yùn)算求解，推理論證的能力；考查數(shù)形結(jié)合，分類與整合，函數(shù)與方程，化歸與轉(zhuǎn)