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文檔簡介

*2.3垂徑定理

如圖，在⊙O中，AB是任意一條弦，CD是⊙O的直徑，CD⊥AB于E。試問：BADCEO動腦筋

AE與BE，與，與分別相等嗎？因為圓是軸對稱圖形，將⊙O沿直徑CD對折，點A與點B重合，AE與BE重合，與重合，與

重合.

=，=.即

AE

=BE，12下面我們來證明這個結(jié)論：如圖，連接OA，OB。∵OA=OB，∴△OAB是等腰三角形。又∵OE⊥AB，∴AE=BE，∠AOD=∠BOD.從而∠AOC=∠BOC.所以=，=.BADCEO由此得到垂徑定理：

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.解連接OA.設(shè)OA=rcm，則OE=(r－2)(cm).∵OE⊥AB，∴AE=BE=4cm.在Rt△AEO中，OA2=OE2＋AE2

，BADCEO例1

如圖，弦AB=8cm，CD是⊙O的直徑，CD⊥AB于E.DE=2cm，求⊙O的直徑CD的長.即r2=(r

－2)2＋42

，解得r=5.∴CD=2r=10cm.例2證明：圓的兩條平行弦所夾弧相等．EF證明：作直徑EF⊥弦AB，∴EF⊥CD.

已知：如圖，在⊙O中，弦AB與弦CD平行。又∵AB∥CD，EF⊥AB，ABCDO∴=.∴=.求證:=.因此－=－.

即=.（1）垂直于弦的直線平分弦，并且平分弦所對的弧?！?)（2）弦所對的兩弧中點的連線，垂直于弦，并且經(jīng)過圓心。……()（3）圓的不與直徑垂直的弦必不被這條直徑平分?！?)（4）平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧?！?)（5）圓內(nèi)兩條非直徑的弦不能互相平分。（）×√××√判斷正誤練習(xí)如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，AC=8cm，AB=10cm，OD⊥BC于D，求BD的長.解：∴BC2

=AB2

－AC2，∵

OD⊥BC，∴∠C=900.ODCAB∵AB是⊙O的直徑，=102

－82=36.∴BC=6cm.∴BD=CD=3cm.練習(xí).AOBECD

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