第1章作業(yè)題解

第一章一、習(xí)題詳解：1.1寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間：某籃球運(yùn)動(dòng)員投籃時(shí),連續(xù)5次都命中,觀察其投籃次數(shù);解：連續(xù)5次都命中，至少要投5次以上，故；擲一顆勻稱的骰子兩次,觀察前后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和;解：；觀察某醫(yī)院一天內(nèi)前來就診的人數(shù);解：醫(yī)院一天內(nèi)前來就診的人數(shù)理論上可以從0到無窮，所以；從編號(hào)為1，2，3，4，5的5件產(chǎn)品中任意取出兩件,觀察取出哪兩件產(chǎn)品;解：屬于不放回抽樣，故兩件產(chǎn)品不會(huì)相同，編號(hào)必是一大一小，故：檢查兩件產(chǎn)品是否合格;解：用0表示合格,1表示不合格，則；觀察某地一天內(nèi)的最高氣溫和最低氣溫(假設(shè)最低氣溫不低于T1,最高氣溫不高于T2);解：用表示最低氣溫,表示最高氣溫;考慮到這是一個(gè)二維的樣本空間，故：；在單位圓內(nèi)任取兩點(diǎn),觀察這兩點(diǎn)的距離;解：；在長(zhǎng)為的線段上任取一點(diǎn),該點(diǎn)將線段分成兩段,觀察兩線段的長(zhǎng)度.解：；1.2設(shè)A，B，C為三事件,用A;B;C的運(yùn)算關(guān)系表示下列各事件：A與B都發(fā)生,但C不發(fā)生;；A發(fā)生,且B與C至少有一個(gè)發(fā)生;；A,B,C中至少有一個(gè)發(fā)生;；A,B,C中恰有一個(gè)發(fā)生;；A,B,C中至少有兩個(gè)發(fā)生;；(6)A,B,C中至多有一個(gè)發(fā)生;；(7)A;B;C中至多有兩個(gè)發(fā)生;；(8)A,B,C中恰有兩個(gè)發(fā)生.；注意：此類題目答案一般不唯一，有不同的表示方式。1.3設(shè)樣本空間,事件=,具體寫出下列各事件：;(2);(3);(4)；(2)=；(3)=;(4)=1.4用作圖法說明下列各命題成立：略1.5用作圖法說明下列各命題成立：略1.6按從小到大次序排列,并說明理由.解：由于故，而由加法公式，有：1.7若W表示昆蟲出現(xiàn)殘翅,E表示有退化性眼睛,且P(W)=0.125;P(E)=0.075,P(WE)=0.025,求下列事件的概率：(1)昆蟲出現(xiàn)殘翅或退化性眼睛;(2)昆蟲出現(xiàn)殘翅,但沒有退化性眼睛;(3)昆蟲未出現(xiàn)殘翅,也無退化性眼睛.解：(1)昆蟲出現(xiàn)殘翅或退化性眼睛對(duì)應(yīng)事件概率為：由于事件可以分解為互斥事件，昆蟲出現(xiàn)殘翅,但沒有退化性眼睛對(duì)應(yīng)事件概率為：(3)昆蟲未出現(xiàn)殘翅,也無退化性眼睛的概率為：.1.8設(shè)A與B是兩個(gè)事件,P(A)=0.6;P(B)=0.8。試問：(1)在什么條件下P(AB)取到最大值?最大值是多少?不放回地任意抽取三次,每次只取一件,求下列事件的概率：(1)在第一、第二次取到正品的條件下,第三次取到次品;(2)第三次才取到次品;(3)第三次取到次品.解：用表示事件“第次取到的是正品”（），則表示事件“第次取到的是次品”（）。事件“在第一、第二次取到正品的條件下,第三次取到次品”的概率為：。(2)事件“第三次才取到次品”的概率為：事件“第三次取到次品”的概率為：此題要注意區(qū)分事件（1）、(2）的區(qū)別，一個(gè)是求條件概率，一個(gè)是一般的概率。再例如，設(shè)有兩個(gè)產(chǎn)品，一個(gè)為正品，一個(gè)為次品。用表示事件“第次取到的是正品”（），則事件“在第一次取到正品的條件下,第二次取到次品”的概率為：；而事件“第二次才取到次品”的概率為：。區(qū)別是顯然的。1.18有兩批相同的產(chǎn)品,第一批產(chǎn)品共14件,其中有兩件為次品,裝在第一個(gè)箱中;第二批有10件,其中有一件是次品,裝在第二個(gè)箱中。今在第一箱中任意取出兩件混入到第二箱中,然后再?gòu)牡诙渲腥稳∫患?求從第二箱中取到的是次品的概率。解：用表示事件“在第一箱中取出兩件產(chǎn)品的次品數(shù)”。用表示事件“從第二箱中取到的是次品”。則，，，根據(jù)全概率公式，有：1.19一等小麥種子中混有5%的二等種子和3%的三等種子。已知一、二、三等種子將來長(zhǎng)出的穗有50顆以上麥粒的概率分別為50%,15%和10%。假設(shè)一、二、三等種子的發(fā)芽率相同,求用上述的小麥種子播種后,這批種子所結(jié)的穗有50顆以上麥粒的概率.解：設(shè)表示事件“所用小麥種子為等種子”，表示事件“種子所結(jié)的穗有50顆以上麥?！薄t，，，根據(jù)全概率公式，有：1.20設(shè)男女兩性人口之比為51:49,男性中的5%是色盲患者,女性中的2.5%是色盲患者.今從人群中隨機(jī)地抽取一人,恰好是色盲患者,求此人為男性的概率。解：用表示色盲，表示男性，則表示女性，由已知條件，顯然有：因此：根據(jù)貝葉斯公式，所求概率為：1.21根據(jù)以往的臨床記錄,知道癌癥患者對(duì)某種試驗(yàn)呈陽性反應(yīng)的概率為0.95,非癌癥患者因?qū)@試驗(yàn)呈陽性反應(yīng)的概率為0.01,被試驗(yàn)者患有癌癥的概率為0.005。若某人對(duì)試驗(yàn)呈陽性反應(yīng),求此人患有癌癥的概率解：用表示對(duì)試驗(yàn)呈陽性反應(yīng)，表示癌癥患者，則表示非癌癥患者，顯然有：因此根據(jù)貝葉斯公式，所求概率為：1.22倉(cāng)庫(kù)中有10箱同一規(guī)格的產(chǎn)品,其中2箱由甲廠生產(chǎn),3箱由乙廠生產(chǎn),5箱由丙廠生產(chǎn),三廠產(chǎn)品的合格率分別為95%;90%和96%.(1)求該批產(chǎn)品的合格率;(2)從該10箱中任取一箱,再?gòu)倪@箱中任取一件,若此件產(chǎn)品為合格品,問此件產(chǎn)品由甲、乙、丙三廠生產(chǎn)的概率各是多少?解：設(shè)，，則根據(jù)全概率公式，，該批產(chǎn)品的合格率為0.94.根據(jù)貝葉斯公式，同理可以求得，因此，從該10箱中任取一箱,再?gòu)倪@箱中任取一件,若此件產(chǎn)品為合格品,此件產(chǎn)品由甲、乙、丙三廠生產(chǎn)的概率分別為：。1.23甲、乙、丙三人獨(dú)立地向同一目標(biāo)各射擊一次,他們擊中目標(biāo)的概率分別為0.7，0.8和0.9，求目標(biāo)被擊中的概率。解：記={目標(biāo)被擊中}，則1.24在四次獨(dú)立試驗(yàn)中,事件A至少發(fā)生一次的概率為0.5904,求在三次獨(dú)立試驗(yàn)中,事件A發(fā)生一次的概率.解：記={四次獨(dú)立試驗(yàn)，事件A至少發(fā)生一次}，={四次獨(dú)立試驗(yàn)，事件A一次也不發(fā)生}。而，因此。所以三次獨(dú)立試驗(yàn)中,事件A發(fā)生一次的概率為：。二、第一章定義、定理、公式、公理小結(jié)及補(bǔ)充：（1）排列組合公式從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行排列的可能數(shù)。從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行組合的可能數(shù)。（2）加法和乘法原理加法原理（兩種方法均能完成此事）：m+n某件事由兩種方法來完成，第一種方法可由m種方法完成，第二種方法可由n種方法來完成，則這件事可由m+n種方法來完成。乘法原理（兩個(gè)步驟分別不能完成這件事）：m×n某件事由兩個(gè)步驟來完成，第一個(gè)步驟可由m種方法完成，第二個(gè)步驟可由n種方法來完成，則這件事可由m×n種方法來完成。（3）一些常見排列重復(fù)排列和非重復(fù)排列（有序）對(duì)立事件（至少有一個(gè)）順序問題（4）隨機(jī)試驗(yàn)和隨機(jī)事件如果一個(gè)試驗(yàn)在相同條件下可以重復(fù)進(jìn)行，而每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，但在進(jìn)行一次試驗(yàn)之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果，則稱這種試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)。試驗(yàn)的可能結(jié)果稱為隨機(jī)事件。（5）基本事件、樣本空間和事件在一個(gè)試驗(yàn)下，不管事件有多少個(gè)，總可以從其中找出這樣一組事件，它具有如下性質(zhì)：①每進(jìn)行一次試驗(yàn)，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個(gè)事件；②任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。這樣一組事件中的每一個(gè)事件稱為基本事件，用來表示?；臼录娜w，稱為試驗(yàn)的樣本空間，用表示。一個(gè)事件就是由中的部分點(diǎn)（基本事件）組成的集合。通常用大寫字母A，B，C，…表示事件，它們是的子集。為必然事件，為不可能事件。不可能事件的概率為零，而概率為零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件Ω的概率為1，而概率為1的事件也不一定是必然事件。（6）事件的關(guān)系與運(yùn)算①關(guān)系：如果事件A的組成部分也是事件B的組成部分，（A發(fā)生必有事件B發(fā)生）：如果同時(shí)有，，則稱事件A與事件B等價(jià)，或稱A等于B。A、B中至少有一個(gè)發(fā)生的事件：AB，或者A+B。屬于A而不屬于B的部分所構(gòu)成的事件，稱為A與B的差，記為，也可表示為或者，它表示A發(fā)生而B不發(fā)生的事件。同時(shí)發(fā)生：，或者。，則表示A與B不可能同時(shí)發(fā)生，稱事件A與事件B互不相容或者互斥?；臼录腔ゲ幌嗳莸?。稱為事件A的逆事件，或稱A的對(duì)立事件，記為。它表示A不發(fā)生的事件?；コ馕幢貙?duì)立。②運(yùn)算：結(jié)合律：A(BC)=(AB)CA∪(B∪C)=(A∪B)∪C分配律：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C)(A∪B)∩C=(AC)∪(BC)對(duì)偶律：，（7）概率的公理化定義設(shè)為樣本空間，為事件，對(duì)每一個(gè)事件都有一個(gè)實(shí)數(shù)P(A)，若滿足下列三個(gè)條件：1°0≤P(A)≤1，2°P(Ω)=13°對(duì)于兩兩互不相容的事件，，…有常稱為可列（完全）可加性。則稱P(A)為事件的概率。（8）古典概型1°，2°。設(shè)任一事件，它是由組成的，則有P(A)==（9）幾何概型若隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果為無限不可數(shù)并且每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性均勻，同時(shí)樣本空間中的每一個(gè)基本事件可以使用一個(gè)有界區(qū)域來描述，則稱此隨機(jī)試驗(yàn)為幾何概型。對(duì)任一事件A，。其中L為幾何度量（長(zhǎng)度、面積、體積）。（10）加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)當(dāng)P(AB)＝0時(shí)，P(A+B)=P(A)+P(B)（11）減法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)當(dāng)BA時(shí)，P(A-B)=P(A)-P(B)當(dāng)A=Ω時(shí)，P()=1-P(B)（12）條件概率定義設(shè)A、B是兩個(gè)事件，且P(A)>0，則稱為事件A發(fā)生條件下，事件B發(fā)生的條件概率，記為。條件概率是概率的一種，所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。例如P(Ω/B)=1P(/A)=1-P(B/A)（13）乘法公式乘法公式：更一般地，對(duì)事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0，則有…………。（14）獨(dú)立性①兩個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)事件、滿足，則稱事件、是相互獨(dú)立的。若事件、相互獨(dú)立，且，則有若事件、相互獨(dú)立，則可得到與、與、與也都相互獨(dú)立。必然事件和不可能事件?與任何事件都相互獨(dú)立。與任何事件都互斥。②多個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)ABC是三個(gè)事件，如果滿足兩兩獨(dú)立的條件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同時(shí)滿足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互獨(dú)立。對(duì)于n個(gè)事件類似。（15）全概公式設(shè)事件滿足1°兩兩互不相容，，2°，則有。（16）貝葉斯公式設(shè)事件，，…，及滿足1°，，…，兩兩互不相容，，i=1，2，…，，2°，則，i=1，2，…n。此公式即為