2022-2023學(xué)年江西省南昌市高二年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江西省南昌市高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)集合的運(yùn)算結(jié)果建立不等式求解.【詳解】由知，，即，解得，故選：B2．已知，為實(shí)數(shù)，則使得“”成立的一個(gè)充分不必要條件為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)“充分必要條件”的定義逐項(xiàng)分析.【詳解】對(duì)于A，如果，例如，則，不能推出，如果，則必定有，既不是充分條件也不是必要條件，錯(cuò)誤；對(duì)于B，如果，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，但不能推出，例如，不是充分條件，如果，則，是必要條件，即是的必要不充分條件，錯(cuò)誤；對(duì)于C，如果，因?yàn)槭菃握{(diào)遞增的函數(shù)，所以，不能推出，例如，如果，則必有，是必要不充分條件，錯(cuò)誤；對(duì)于D，如果，則必有，是充分條件，如果，例如，則不能推出，所以是充分不必有條件，正確.故選：D.3．下列函數(shù)中為偶函數(shù),且在上單調(diào)遞減的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)奇偶性定義判斷各函數(shù)奇偶性，結(jié)合指對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷單調(diào)性.【詳解】定義域?yàn)镽且既不是偶函數(shù)又不是奇函數(shù)，A不滿足條件；定義域?yàn)榍沂桥己瘮?shù)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，B不滿足條件；定義域?yàn)镽且是奇函數(shù)，C不滿足條件；定義域?yàn)镽且為偶函數(shù)且在上遞減，D滿足條件.故選：D4．函數(shù)的圖象如圖所示，則（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】A【分析】由圖象分析函數(shù)奇偶性，特殊位置，及函數(shù)定義域即可.【詳解】由圖象觀察可得函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，即函數(shù)為偶函數(shù)，所以得：，故C錯(cuò)誤；由圖象可知，故D錯(cuò)誤；因?yàn)槎x域不連續(xù)，所以有兩個(gè)根可得，即異號(hào)，，即B錯(cuò)誤，A正確.故選：A5．已知函數(shù)，若（其中），則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則以及基本不等式求解.【詳解】，由，，即，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：.6．我們比較熟悉的網(wǎng)絡(luò)新詞，有“yyds”、“內(nèi)卷”、“躺平”等，定義方程的實(shí)數(shù)根x叫做函數(shù)的“躺平點(diǎn)”．若函數(shù)，，的“躺平點(diǎn)”分別為a，b，c，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)“躺平點(diǎn)”新定義，可解得,，利用零點(diǎn)存在定理可得,即可得出結(jié)論.【詳解】根據(jù)“躺平點(diǎn)”定義可得，又；所以，解得；同理，即；令，則，即為上的單調(diào)遞增函數(shù)，又，所以在有唯一零點(diǎn)，即；易知，即，解得；因此可得.故選：B7．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足為奇函數(shù)且，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C．0 D．10【答案】D【分析】根據(jù)題意推得，得到函數(shù)的周期為，利用函數(shù)的周期性和對(duì)稱，結(jié)合，代入即可求解.【詳解】由為奇函數(shù)，可得函數(shù)的對(duì)稱中心為，即又由，則的對(duì)稱軸為，即，所以，即，又由，所以，即函數(shù)的周期為，則.故選：D.8．已知函數(shù)，．若，，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為的值域是的值域的子集，然后分與討論，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)函數(shù)在上的值域?yàn)?，函?shù)在上的值域?yàn)?，因?yàn)槿簦?，使得成立，所以，因?yàn)?，，所以在上的值域?yàn)椋驗(yàn)?，?dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以在上的值域?yàn)?，因?yàn)?，所以，解得，又，所以此時(shí)不符合題意，當(dāng)時(shí)，圖像是將下方的圖像翻折到軸上方，令得，即，①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在，上單調(diào)遞減，，，所以的值域，又，所以，解得，②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，或，所以的值域或，又，所以或，當(dāng)時(shí)，解得或，又，所以，當(dāng)時(shí)，解得或，又，所以，所以的取值范圍．③當(dāng)時(shí)，時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，，所以在上的值域，又，所以，解得，綜上所述，的取值范圍為.故選：C二、多選題9．德國(guó)著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一，以其命名的函數(shù)，稱為狄利克雷函數(shù)，則關(guān)于下列說法正確的是（

）A．的值城為 B．，.C．為偶函數(shù) D．為周期函數(shù)【答案】BCD【分析】根據(jù)函數(shù)，可判斷其值域，判斷A；討論x為有理數(shù)或無(wú)理數(shù)，求得，判斷B;根據(jù)奇偶性定義可判斷C；根據(jù)周期函數(shù)定義判斷D.【詳解】由題意函數(shù)，則其值域?yàn)?，A錯(cuò)誤；當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，，則，當(dāng)x為無(wú)理數(shù)時(shí)，，則，故，，B正確；當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，為有理數(shù)，則，當(dāng)x為無(wú)理數(shù)時(shí)，為無(wú)理數(shù)，則，故為偶函數(shù)，C正確；對(duì)于任何一個(gè)非零有理數(shù),若x為有理數(shù)，則也為有理數(shù)，則，若x為無(wú)理數(shù)，則也為無(wú)理數(shù)，則，即任何一個(gè)非零有理數(shù)都是函數(shù)的周期，即為周期函數(shù)，D正確，故選：10．已知，為正實(shí)數(shù)，且，則（

）A．的最大值為2 B．的最小值為4C．的最小值為3 D．的最小值為【答案】ABD【分析】對(duì)條件進(jìn)行變形，利用不等式的基本性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)一一分析即可.【詳解】解：因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，解得，即，故的最大值為2，A正確；由得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值4，B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，C錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值，D正確．故選：ABD．11．已知冪函數(shù)，m，n互質(zhì)），下列關(guān)于的結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)m，n都是奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)是奇函數(shù)B．當(dāng)m是偶數(shù)，n是奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)是偶函數(shù)C．當(dāng)m是奇數(shù)，n是偶數(shù)時(shí)，冪函數(shù)是偶函數(shù)D．當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)在上是減函數(shù)【答案】AB【分析】對(duì)每一個(gè)選項(xiàng)，利用冪函數(shù)的奇偶性或單調(diào)性逐一分析判斷得解.【詳解】，當(dāng)m，n都是奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)是奇函數(shù)，故A中的結(jié)論正確；當(dāng)m是偶數(shù)，n是奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)是偶函數(shù)，故B中的結(jié)論正確；當(dāng)m是奇數(shù)，n是偶數(shù)時(shí)，冪函數(shù)在時(shí)無(wú)意義；故C中的結(jié)論錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)在上是增函數(shù)，故D中的結(jié)論錯(cuò)誤．故選AB．【點(diǎn)睛】本題主要考查冪函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.12．已知函數(shù)，若有四個(gè)不同的解且，則可能的取值為（）A． B． C． D．【答案】BC【分析】作出分段函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合確定以及，進(jìn)而可得，構(gòu)造函數(shù)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的圖象如下，

則由圖象可知，的圖象與有4個(gè)交點(diǎn)，分別為，因?yàn)橛兴膫€(gè)不同的解且，所以，且，且，，又因?yàn)樗约?，所以，所以，且，?gòu)造函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)在上都是減函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，所以.故選：BC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.三、填空題13．化簡(jiǎn)：．【答案】【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可化簡(jiǎn)求值.【詳解】．故答案為：14．已知函數(shù)（，）恒過定點(diǎn)，則函數(shù)的圖像不經(jīng)過第象限.【答案】二【分析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知恒過定點(diǎn)，再由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知不過第二象限.【詳解】由已知條件得當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)恒過點(diǎn)，即，此時(shí)，由于由向下平移五個(gè)單位得到，且過點(diǎn)，由此可知不過第二象限，故答案為：二.15．定義在上的函數(shù)滿足是偶函數(shù)，且，若，則【答案】/【分析】由已知結(jié)合函數(shù)的奇偶性及對(duì)稱性可求出函數(shù)的周期，然后結(jié)合周期，利用賦值法即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，所以的周期?，因?yàn)?，，所以，所以，所以，所以，故答案為?6．對(duì)于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為曲線的“拐點(diǎn)”，可以發(fā)現(xiàn)，任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”.設(shè)函數(shù)，則.【答案】－3033【分析】由題意對(duì)已知函數(shù)進(jìn)行二次求導(dǎo)，證明函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，即，由此可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，設(shè)，則，令，可得，又，所以，即，所以，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對(duì)新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬(wàn)變才是制勝法寶.四、解答題17．國(guó)家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)檢疫局發(fā)布的《車輛駕駛?cè)藛T血液、呼氣酒精含量閾值與檢驗(yàn)》新的國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定，車輛駕駛?cè)搜褐械木凭看笥诨虻扔?0毫克/百毫升、小于80毫克/百毫升的行為飲酒駕車，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升為醉酒駕車，經(jīng)過反復(fù)試驗(yàn)，喝一瓶啤酒后酒精在人體血液內(nèi)的變化規(guī)律“散點(diǎn)圖”如下：

該函數(shù)模型.根據(jù)上述條件，回答以下問題：(1)前幾日，一同學(xué)在2023屆高考中考出726分的好成績(jī)，周老師聽聞后激動(dòng)的喝下一瓶啤酒.按照試驗(yàn)結(jié)果，試計(jì)算周老師喝1瓶啤酒后多少小時(shí)血液中的酒精含量達(dá)到最大值？最大值是多少？(2)中午12點(diǎn)周老師喝完1瓶啤酒后，突然想起來(lái)已經(jīng)跟兒子多多約定好，下午放學(xué)6點(diǎn)半準(zhǔn)時(shí)開車去接他回家，試計(jì)算周老師在喝完這1瓶啤酒后多少小時(shí)才可以駕車？他能完成跟多多之間的約定嗎？（時(shí)間以整小時(shí)計(jì)）（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)喝一瓶啤酒后1.5小時(shí)血液中的酒精達(dá)到最大值，最大值是44.42毫克/百毫升；(2)喝一瓶啤酒后6小時(shí)才可以駕車，所以周老師來(lái)得及接多多放學(xué).【分析】（1）由散點(diǎn)圖可知在的范圍內(nèi)能取到最大值，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出最值即可；（2）根據(jù)題意列出不等式求解即可.【詳解】（1）由圖可知，當(dāng)函數(shù)取得最大值時(shí)，.此時(shí)，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)取得最大值為，故喝一瓶啤酒后1.5小時(shí)血液中的酒精達(dá)到最大值，最大值是44.42毫克/百毫升，（2）由題意知當(dāng)車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精小于20毫克/100毫升可以駕車，此時(shí)，由，得，兩邊取自然對(duì)數(shù)得，即，∴，故喝一瓶啤酒后6小時(shí)才可以駕車.能夠完成約定.18．如圖，平面ABCD是圓柱OO?的軸截面，EF是圓柱的母線，AF∩DE=G，BF∩CE=H，∠ABE=60°，AB=AD=2．

(1)求證：GH∥平面ABCD；(2)求平面ABF與平面CDE夾角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由線面平行的判定定理可得平面，再由線面平行的性質(zhì)定理可得，最后由線面平行的判定定理證明平面即可；（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面、平面的一個(gè)法向量，再利用向量的夾角公式可得答案．【詳解】（1）由題意知，平面平面，所以平面，因?yàn)?，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以，又平面，平面，所以平面；?）以點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

在中，由，得，所以，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由，得，令，得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由，得，令，得，所以，所以平面與平面的夾角的正弦值為.19．在等比數(shù)列中，，且，，成等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求滿足的k的值．【答案】(1)；(2)40或37．【分析】（1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合等差中項(xiàng)的意義求出公比及首項(xiàng)作答.（2）由（1）的結(jié)論求出，再分奇偶求和作答.【詳解】（1）設(shè)的公比為q，由，得，解得，由，，成等差數(shù)列，得，即，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是．（2）由（1）知，，，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，，令，得；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，，令，得，所以或37.20．學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)APP從2021年起，開設(shè)了一個(gè)“四人賽”的答題模塊，規(guī)則如下：用戶進(jìn)入“四人賽”后共需答題兩局，每局開局時(shí)，系統(tǒng)會(huì)自動(dòng)匹配3人與用戶一起答題，每局答題結(jié)束時(shí)，根據(jù)答題情況四人分獲第一?二?三?四名.首局中的第一名積3分，第二?三名均積2分，第四名積1分；第二局中的第一名積2分，其余名次均積1分，兩局的得分之和為用戶在“四人賽”中的總得分.假設(shè)用戶在首局獲得第一?二?三?四名的可能性相同；若首局獲第一名，則第二局獲第一名的概率為，若首局沒獲第一名，則第二局獲第一名的概率為.(1)設(shè)用戶首局的得分為，求的分布列；(2)求用戶在“四人賽”中的總得分的期望值.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）按照求離散型隨機(jī)變量分布列的步驟求解即可（2）方法一，直接按照求離散型隨機(jī)變量分布列的步驟求解即可；方法二，總得分是第一局和第二局得分之和，所以總得分的期望是第一局得分期望和第二局得分期望之和【詳解】（1）的所有可能取值為，，，，，其分布列為（2）方法一：設(shè)總得分為，則的取值為，，，，則，，的分布列為Y5432P所以.方法二：.設(shè)第二局得分為，則的取值為，.則有，化簡(jiǎn)得Y的分布列為，四人賽總分期望為21．已知離心率為的橢圓C：過點(diǎn)，橢圓上有四個(gè)動(dòng)點(diǎn)，與交于點(diǎn).如圖所示.

(1)求曲線C的方程；(2)當(dāng)恰好分別為橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)時(shí)，試探究：直線與的斜率之積是否為定值？若為定值，請(qǐng)求出該定值；否則，請(qǐng)說明理由；(3)若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求直線的斜率.【答案】(1)(2)是定值，定值為(3)【分析】（1）根據(jù)離心率以及橢圓經(jīng)過的點(diǎn)即可聯(lián)立方程求解，（2）聯(lián)立直線與橢圓方程得韋達(dá)定理，進(jìn)而根據(jù)斜率公式化簡(jiǎn)即可求解，（3）根據(jù)向量共線滿足的坐標(biāo)運(yùn)算，代入橢圓方程中，即可化簡(jiǎn)求解.【詳解】（1）由題意可知，所以曲線C方程為（2）由題意知，，，所以，，所以，設(shè)直線CD的方程為，設(shè)，，聯(lián)立直線CD與橢圓的方程，整理得，由，解得，且，則，，所以，故直線AD與BC的斜率之積是定值，且定值為.（3）設(shè)，，，記（），得，所以.又A，D均在橢圓上，所以，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以，同理可得，即直線AB：，所以AB的斜率為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5