北京市豐臺區(qū)第十二中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一上期末綜合測試模擬試題含解析

北京市豐臺區(qū)第十二中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一上期末綜合測試模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知函數(shù)，若方程有8個相異實(shí)根，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為（）A. B.C. D.2．已知函數(shù)則函數(shù)值域是（）A. B.C. D.3．已知函數(shù)，函數(shù)有三個零點(diǎn)，則取值范圍是A. B.C. D.4．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的外心（三邊中垂線的交點(diǎn)）、重心（三邊中線的交點(diǎn)）、垂心（三邊高的交點(diǎn)）依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線．已知的頂點(diǎn)為，，，則該三角形的歐拉線方程為（）．注：重心坐標(biāo)公式為橫坐標(biāo)：；縱坐標(biāo)：A. B.C. D.5．已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，函數(shù)是奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則（）A. B.6C. D.76．已知命題p：，，則（）A.， B.，C.， D.，7．已知實(shí)數(shù)a、b，滿足，，則關(guān)于a、b下列判斷正確的是（）A.a＜b＜2 B.b＜a＜2C.2＜a＜b D.2＜b＜a8．使不等式成立的充分不必要條件是（）A. B.C. D.9．下列說法正確的是（）A.若，，則 B.若a，，則C.若，，則 D.若，則10．設(shè)，則的值為（）A.0 B.1C.2 D.3二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F是分別是棱A1B1、A1D1的中點(diǎn)，則A1B與EF所成角的大小為______12．當(dāng)曲線與直線有兩個相異交點(diǎn)時，實(shí)數(shù)的取值范圍是________13．已知函數(shù)在區(qū)間是單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______14．已知函數(shù)，則的值為_________.15．已知，則用表示______________；16．若，則____三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知全集，求：（1）；（2）.18．某家庭進(jìn)行理財(cái)投資，根據(jù)長期收益率市場預(yù)測，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正比，投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品的收益與投資額的算術(shù)平方根成正比，已知投資1萬元時兩類產(chǎn)品的收益分別為萬元和萬元（如圖）.（1）分別寫出兩種產(chǎn)品的收益和投資的函數(shù)關(guān)系；（2）該家庭現(xiàn)有20萬元資金，全部用于理財(cái)投資，問：怎樣分配資金能使投資獲得最大的收益，其最大收益為多少萬元？19．已知向量，不共線，，（1）若，求k的值，并判斷，是否同向；（2）若，與夾角為，當(dāng)為何值時，20．已知向量=（3，4），=（1，2），=（－2，－2）（1）求||，||的值；（2）若=m+n，求實(shí)數(shù)m，n的值；（3）若（+）∥（－+k），求實(shí)數(shù)k的值21．計(jì)算求解（1）（2）已知，，求的值

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解題分析】畫出的圖象，根據(jù)方程有個相異的實(shí)根列不等式，由此求得的取值范圍.【題目詳解】畫出函數(shù)的圖象如圖所示，由題意知，當(dāng)時，；當(dāng)時，.令，則原方程化為.∵方程有8個相異實(shí)根，∴關(guān)于t的方程在上有兩個不等實(shí)根.令，，∴，解得.故選：B2、B【解題分析】結(jié)合分段函數(shù)的單調(diào)性來求得的值域.【題目詳解】當(dāng)吋，單調(diào)遞增，值域?yàn)?；?dāng)時，單調(diào)遞增，值域?yàn)?，故函?shù)值域?yàn)?故選：B3、D【解題分析】根據(jù)題意做出函數(shù)在定義域內(nèi)的圖像，將函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化成函數(shù)與函數(shù)圖像交點(diǎn)問題，結(jié)合圖形即可求解.【題目詳解】解：根據(jù)題意畫出函數(shù)的圖象，如圖所示：函數(shù)有三個零點(diǎn)，等價于函數(shù)與函數(shù)有三個交點(diǎn)，當(dāng)直線位于直線與直線之間時，符合題意，由圖象可知：，，所以，故選：D.【題目點(diǎn)撥】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)有三種常用方法：（1）直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.4、D【解題分析】由重心坐標(biāo)公式得重心的坐標(biāo)，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)設(shè)出外心的坐標(biāo)為，再由求出，然后求出歐拉線的斜率，點(diǎn)斜式就可求得其方程.【題目詳解】設(shè)的重點(diǎn)為，外心為，則由重心坐標(biāo)公式得，并設(shè)的坐標(biāo)為，解得，即歐拉方程為：，即：故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查直線方程，兩點(diǎn)之間的距離公式，三角形的重心、垂心、外心的性質(zhì)，考查了理解辨析能力及運(yùn)算能力.5、D【解題分析】先求出，再求出即得解.【題目詳解】由已知，函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，則由題設(shè)，當(dāng)時，，則因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以.故選：D6、A【解題分析】直接利用全稱命題的否定即可得到結(jié)論【題目詳解】因?yàn)槊}p：，，所以：，.故選：A.7、D【解題分析】先根據(jù)判斷a接近2，進(jìn)一步對a進(jìn)行放縮，，進(jìn)而通過對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)和基本不等式可以判斷a>2；根據(jù)b的結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)，得出函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)，進(jìn)而得到a,b的大小關(guān)系，最后再判斷b和2的大小關(guān)系，最終得到答案.【題目詳解】.構(gòu)造函數(shù)：，易知函數(shù)是R上的減函數(shù)，且，由，可知：，又，∴，則a>b.又∵，∴a>b>2故選：D.【題目點(diǎn)撥】對數(shù)函數(shù)式比較大小通常借助中間量，除了0和1之外，其它的中間量需要根據(jù)題目進(jìn)行分析，中間會用到指對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和放縮法；另外，構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小是比較常用的一種方法，需要我們對式子的結(jié)構(gòu)進(jìn)行仔細(xì)分析，平常注意歸納總結(jié).8、A【解題分析】解一元二次不等式，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義結(jié)合集合間的關(guān)系直接判斷作答.【題目詳解】解不等式得：，對于A，因，即是成立的充分不必要條件，A正確；對于B，是成立的充要條件，B不正確；對于C，因，且，則是成立的不充分不必要條件，C不正確；對于D，因，則是成立必要不充分條件，D不正確.故選：A9、C【解題分析】結(jié)合特殊值、差比較法確定正確選項(xiàng).【題目詳解】A：令，；，，則，，不滿足，故A錯誤；B：a，b異號時，不等式不成立，故B錯誤；C：，，，，即，故C正確；D：令，，不成立，故D錯誤.故選：C10、C【解題分析】根據(jù)分段函數(shù)，結(jié)合指數(shù)，對數(shù)運(yùn)算計(jì)算即可得答案.【題目詳解】解：由于,所以.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查對數(shù)運(yùn)算，指數(shù)運(yùn)算，分段函數(shù)求函數(shù)值，考查運(yùn)算能力，是基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】解：如圖，將EF平移到A1B1，再平移到AC，則∠B1AC為異面直線AB1與EF所成的角三角形B1AC為等邊三角形，故異面直線AB1與EF所成的角60°，12、【解題分析】由解析式可知曲線為半圓，直線恒過；畫出半圓的圖象，找到直線與半圓有兩個交點(diǎn)的臨界狀態(tài)，利用圓的切線的求解方法和兩點(diǎn)連線斜率公式求得斜率的取值范圍.【題目詳解】為恒過的直線則曲線圖象如下圖所示：由圖象可知，當(dāng)直線斜率時，曲線與直線有兩個相異交點(diǎn)與半圓相切，可得：解得：又本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查利用曲線與直線的交點(diǎn)個數(shù)求解參數(shù)范圍的問題，關(guān)鍵是能夠通過數(shù)形結(jié)合的方式找到臨界狀態(tài)，易錯點(diǎn)是忽略曲線的范圍，誤認(rèn)為曲線為圓.13、【解題分析】求出二次函數(shù)的對稱軸，即可得的單增區(qū)間，即可求解.【題目詳解】函數(shù)的對稱軸是，開口向上，若函數(shù)在區(qū)間是單調(diào)遞增函數(shù)，則，故答案為：14、【解題分析】，填.15、【解題分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，對已知條件和目標(biāo)問題進(jìn)行化簡，即可求解.【題目詳解】因?yàn)?，故可得，解?.故答案：.【題目點(diǎn)撥】本題考查對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.16、##0.25【解題分析】運(yùn)用同角三角函數(shù)商數(shù)關(guān)系式，把弦化切代入即可求解.【題目詳解】，故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）或.【解題分析】（1）求出集合，再根據(jù)集合間的基本運(yùn)算即可求解；（2）求出，再根據(jù)集合間的基本運(yùn)算即可求解.【題目詳解】解：（1）由，解得：，故，又，；（2）由（1）知：，或，或.18、（1）投資債券，投資股票；（2）投資債券類產(chǎn)品萬元，股票類投資為4萬元，收益最大值為萬元.【解題分析】（1）設(shè)函數(shù)解析式，，代入即可求出的值，即可得函數(shù)解析式；（2）設(shè)投資債券類產(chǎn)品萬元，則股票類投資為萬元，年收益為萬元，則，代入解析式，換元求最值即可.【題目詳解】（1）設(shè).由題意可得：，，所以，，（2）設(shè)投資債券類產(chǎn)品萬元，則股票類投資為萬元，年收益為萬元依題意得即.令則，則所以當(dāng)即時，收益最大為萬元，所以投資債券類產(chǎn)品萬元，股票類投資為4萬元，收益最大值為萬元.19、（1）k=-1,反向；（2）k=1【解題分析】由題得由此能求出，，與反向．由，得，由數(shù)量積運(yùn)算求出【題目詳解】，，，，即又向量，不共線，，解得，，即，故與反向，與夾角為，

，又故，即解得故時，【題目點(diǎn)撥】本題考查向量平行、向量垂直的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，熟記共線定理，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題20、（1）||=5；；（2）；（3）.【解題分析】（1）利用向量的模長的坐標(biāo)公式即得；（2）利用向量的線性坐標(biāo)表示即得；（3）利用向量平行的坐標(biāo)表示即求.【小問1詳解】∵向量=（3，4），=（1，2），∴||=5，；【小問2詳解】∵=（3，4），=（1，2），=（－2