基于小波變換的頻譜分析方法

基于小波變換的頻譜分析方法

一、采樣頻率選取頻帶分析通常采用快速傅立葉變換（fft）方法，但高速傅立葉變換信號頻率的計算精度由采樣頻率和采樣點決定。假設(shè)采樣頻率為fs,采樣點數(shù)為N,則頻率分辨率為Δf=fs/N。對于待檢測信號如果采樣頻率選取過高,將產(chǎn)生過飽和現(xiàn)象;如果采樣頻率選取過低,將產(chǎn)生欠采樣現(xiàn)象。這兩種情況就使得采樣頻率的選取受到限制。實際應(yīng)用中,采用增加采樣點數(shù)來提高頻率分辨率,其缺點在于增加運(yùn)算量,使實時性降低;此外,有些實際信號的變化比較快,而增加采樣點數(shù)必然增加采樣時間,這樣就導(dǎo)致頻譜檢測跟蹤不上信號的變化,從而限制了使用增加采樣點數(shù)來提高頻率分辨率的應(yīng)用場合。本文提出了基于小波變換的頻譜分析方法,通過小波變換方法來提高頻率分辨率,對短數(shù)據(jù)仍然具有較高的頻率分辨率,從而滿足信號頻譜檢測準(zhǔn)確度需求。二、小波變換方法用于提高光譜分辨率1.基于尺度的頻譜檢測小波變換的實質(zhì)是使信號通過一組帶通濾波器,這些濾波器的通帶特性決定著信號頻譜檢測的精度。對于不同的信號希望有一個適合該信號的帶通濾波器。根據(jù)小波變換的理論,小波濾波器的中心頻率和通帶帶寬與尺度α成反比,這樣就可以通過選擇變換尺度α的值來選擇濾波器的特性完成最佳的頻譜檢測。從而實現(xiàn)較短數(shù)據(jù)下的高分辨率的頻譜檢測,使用Morlet小波,其基本小波函數(shù)為Ψ(t)=e-t/Teuω0t(1)其對應(yīng)不同尺度的頻率特性為Ψ(αω)=π/T????√?e[?(αω?ω0)2/(4/T)](2)Ψ(αω)=π/Τ?e[-(αω-ω0)2/(4/Τ)](2)式(1)和式(2)中,ω0是最大譜估計頻率,為采樣頻率fs的一半;α是尺度因子;T為采樣時間間隔。由式(1)和式(2)可以得出,濾波器的中心頻率為ω0/α=fs/2α,其帶寬隨中心頻率變化而變化。中心頻率高,帶寬寬;中心頻率低,帶寬窄。但帶寬和中心頻率的比值不變,這是常數(shù)Q濾波器。緩慢改變尺度就會使得濾波器的中心頻率緩慢變化,兩個鄰近的濾波器的通帶有共同的部分,信號通過這共同部分時,都可以得到正確的頻譜檢測結(jié)果。通過改變尺度α的值就可以精確控制濾波器特性,從而提高信號頻譜檢測的精度。實際中,只需要在感興趣的頻率段改變尺度就可以了。假設(shè)單一正弦信號通過連續(xù)的一組濾波器,這些濾波器的通帶覆蓋著0～fs/2的頻率段,相鄰的濾波器之間具有共同的通帶頻率段。尺度α的變化控制這些濾波器的特性,如果尺度α=1,則頻率分辨率僅僅決定于采樣點數(shù)和采樣頻率,這就和經(jīng)典的FFT有同樣的頻率分辨率;如果使用尺度α=0.5,在同樣采樣點數(shù)下,則頻率分辨率提高一倍,從而得到精確的頻譜檢測。使用尺度α為一個變化的量就可以實現(xiàn)不同頻率段具有不同的頻率分辨率。實際情況下,我們通過改變尺度α設(shè)置濾波器的帶寬為濾波器中心頻率的十分之一,每一個尺度對應(yīng)一個濾波器,采樣后的信號每經(jīng)過一個濾波器都會得到一個檢測結(jié)果,信號經(jīng)過其中一個或兩個相鄰的濾波器后完全通過,從而得到正確的頻譜檢測結(jié)果。大部分濾波器將濾掉信號,只得到噪聲。這通過比較數(shù)據(jù)可以判斷出哪一組濾波器得到信號。對于信號幅度大于噪聲幅度的信號檢測,通過簡單的比較數(shù)據(jù)大小就可以得到正確的結(jié)果;對于信號幅度小于噪聲幅度的信號檢測,只有通過多次檢測才能判斷出信號所在的頻率段,此種情況,不在本論文考慮之中。2.調(diào)整采樣頻率在信號頻譜檢測中,總是希望信號頻率正好落在帶通濾波器通帶的中心處。這樣,信號幾乎完全通過,而噪聲達(dá)到最大限度的抑制。在實際信號頻譜檢測中,僅僅改變尺度的值不能保證信號頻率正好落在帶通濾波器通帶的中心處,從而很難達(dá)到對檢測精度要求很高的信號頻譜檢測,文獻(xiàn)中達(dá)到10‰左右的檢測精度。為了達(dá)到1‰的檢測準(zhǔn)確度,必須將信號盡可能的通過濾波器的中心處,也就是信號頻率盡可能的接近濾波器通帶的中心頻率。我們采取調(diào)整采樣頻率來確保信號通過濾波器通帶的中心處。這樣,需要進(jìn)行4～5次左右的采樣頻率的調(diào)整,一般情況下三次就滿足要求。調(diào)整采樣頻率的過程如下:首先,選擇一個適應(yīng)范圍較廣的采樣頻率(例如,1kHz采樣可以適用于100Hz～500Hz信號頻率)得到一次精度較差的檢測結(jié)果(為了提高檢測時間,可以將尺度設(shè)置為1,和FFT有同樣的頻率分辨率,也可以直接使用FFT做第一次的頻率檢測);再緊接著以上一次的估計結(jié)果調(diào)整采樣頻率;一般選擇采樣頻率為上一次檢測結(jié)果的16倍,重復(fù)這個過程,直到最后兩次頻譜估計結(jié)果一樣或很接近,完成頻率檢測,得到準(zhǔn)確度較高的檢測結(jié)果。這樣調(diào)整采樣頻率的優(yōu)點有三點,第一,保證了信號頻譜檢測的準(zhǔn)確度;第二,初始化的采樣頻率選擇范圍廣,只需要滿足采樣定理,減少了采樣頻率初始化過程;第三,只要檢測到信號檢測,就可以跟蹤上信號頻率的漸變過程,對于突變或者跳變的信號需要重新初始化,重新搜索信號頻率。三、高頻采樣頻率仿真考察如下信號的頻譜檢測結(jié)果y(t)=10sin(2πf0t+φ0)+4sin(2πf1t+φ1)+sin(2πfl,h)+dis(3)式中,f0是信號的主頻率,也就是待估計的頻率;f1是諧波干擾頻率;φ0和φ1是相應(yīng)的初始相位,φ0=φ1=0.2π,fl,h表示高頻和低頻干擾;dis是在0～1之間隨機(jī)抽取的數(shù)據(jù),均值為0.5。分別對輸出信號頻率在低頻f0=40.5Hz處以及高頻f0=600.5Hz進(jìn)行仿真。這里,確定采樣點數(shù)為64點。圖1是低頻情況下的頻率檢測結(jié)果,f0=40.5Hz,f1=50Hz,采樣頻率為200Hz,圖中,曲線最大值對應(yīng)的頻率為40.56Hz,檢測準(zhǔn)確度為1.48‰。圖2是高頻情況下的頻率檢測結(jié)果,f0=600.5Hz,f1=580Hz,采樣頻率為3000Hz,圖中,曲線最大值對應(yīng)的頻率為601.41Hz,檢測準(zhǔn)確度為1.52‰。圖1和圖2中的曲線可以隨著采樣點數(shù)的增加逼近到0Hz,在實際中沒有必要檢測很低頻率段。表1是對應(yīng)不同初始化采樣頻率對信號主頻f0的檢測結(jié)果,表中頻率單位為Hz,精度單位為‰。仿真結(jié)果表明,對于一定的信號頻率,只要采樣頻率設(shè)置的合適就可以很精確的測量到信號頻率,可以使最大誤差小于1‰。隨機(jī)噪聲、諧波以及高低頻率處的干擾對信號主頻率頻譜的檢測影響不大。即使初始化采樣頻率設(shè)置的不正確,依然可以根據(jù)測量結(jié)果逐步逼近最佳采樣頻率。理論上,只要檢測的次數(shù)足夠多,總可以逼近最佳采樣頻率;實際上,考慮到實時性的要求,一般設(shè)置初始化采樣頻率在信號頻率到十倍信號頻率之間。這樣,只需要通過四次調(diào)整就可以接近最佳采樣頻率。一旦采樣頻率接近最佳采樣頻率,每一次的測量值基本上很接近,通過比較兩次或更多次的測量結(jié)果就可以確定采樣頻率為最佳采樣頻率,從而結(jié)束對采樣頻率的調(diào)整。四、仿真率估計方法仿真使用式(3)提供的信號進(jìn)行其他頻率估計方法的仿真,設(shè)置信號采樣點數(shù)和小波分析方法一樣,均為64個采樣點,設(shè)置f0=64Hz,f1=50Hz。1.fft算法與非整周期采樣經(jīng)典周期圖法使用FFT變換,然后求取FFT變換后數(shù)據(jù)的模,從而得出信號的功率譜圖。對于式(3)的信號,根據(jù)采樣定理其采樣頻率最低為128Hz,此時周期圖法的頻率分辨率為128/64=2Hz,這也是在64點采樣數(shù)據(jù)下能夠達(dá)到的最小頻率分辨率。對式(3)的信號進(jìn)行仿真,選擇同樣的采樣點數(shù),FFT算法的檢測準(zhǔn)確度在4‰以上。實際中,采樣頻率一般設(shè)置都比信號頻率的2倍大一點,所以,周期圖法的實際頻率分辨率還要大。從而導(dǎo)致檢測的精度進(jìn)一步降低。此外,非整周期采樣對周期圖的檢測結(jié)果有一定的影響,實際應(yīng)用中很難實現(xiàn)整周期采樣。圖3是FFT算法的譜估計圖。2.bg算法仿真Burg算法是建立在數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上的AR系數(shù)求解的有效算法,其特點是根據(jù)線性預(yù)測原理,令前后向預(yù)測誤差功率之和最小。但信號中加入白噪聲后Burg算法對譜估計會出現(xiàn)譜線分裂現(xiàn)象。利用Burg算法進(jìn)行頻率估計,建立5階模型,對式(3)的信號進(jìn)行仿真,選擇同樣的采樣點數(shù),Burg算法的檢測準(zhǔn)確度在3‰以上,同時,在仿真時我們發(fā)現(xiàn)諧波干擾對Burg算法的影響是很大的,在有諧波干擾時如果采樣頻率選擇得不好,Burg算法會得到錯誤的檢測結(jié)果。圖4是Burg算法的譜估計圖。五