勾股定理基礎(chǔ)知識

一、 復(fù)習(xí)內(nèi)容1、勾股定理的內(nèi)容。2、 在RtAABC中，/ACB=90°，已知A=2,B=3，則c=；當(dāng)c=13,a=5，則b=3、實數(shù)包括和。4、數(shù)軸上點和是一一對應(yīng)的。5、 在數(shù)軸上畫出表示下列各數(shù)的點：0,2,3，-2,-1.5 ：二、 知識點梳理一、勾股定理：1、勾股定理定義：如果直角三角形的兩直角邊長分別為。，b，斜邊長為c，那么。2+薩=。2.即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方勾：直角三角形較短的直角邊股：直角三角形較長的直角邊弦：斜邊勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c有下面關(guān)系：a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形。勾股數(shù)：滿足a2+b2=c2的三個正整數(shù)叫做勾股數(shù)（注意：若a，b，c、為勾股數(shù)，那么ka，kb，kc同樣也是勾股數(shù)組。）*附：常見勾股數(shù):3,4,5；6,8,10；9,12,15；5,12,13判斷直角三角形：如果三角形的三邊長a、b、c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形。（經(jīng)典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一個角為90°的三角形是直角三角形。（2）有兩個角互余的三角形是直角三角形。用它判斷三角形是否為直角三角形的一般步驟是：（1） 確定最大邊（不妨設(shè)為c）；（2） 若c2=a2+b2，則△ABC是以/C為直角的三角形；若a2+b2<c2，則此三角形為鈍角三角形（其中c為最大邊）；若a2+b2>c2，則此三角形為銳角三角形（其中c為最大邊）注意：（1）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半（2） 在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。（3） 在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角等于30°。勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊。

（2） 已知直角三角形的一邊，求另兩邊的關(guān)系。（3） 用于證明線段平方關(guān)系的問題。（4） 利用勾股定理，作出長為＜7的線段勾股定理：直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。即：a2+b2=c2。常見勾股數(shù)：3、4、5；6、8、10；5、12、13；8、15、17；7、24、25。這個一定要牢記于心。三、典例精講考點一：勾股定理的直接應(yīng)用例1.正方形的面積是2,它的對角線長為（ ）A、1B、2 C、?'2 D、蘭2例2.例2.如圖，由RtAABC的三邊向外作正方形，若最大正方形的邊長為8cm，則正方形M與正方形N的面積之和為cm2考點二：求第三條邊的長例1.若RtABC中，/C=90。且c=37,a=12，則b=（ ）A、50BA、50B、35C、34D、26例2.已知兩線段的長為6cm和8cm，當(dāng)?shù)谌龡l線段時，這三條線段能組成一個直角三角形。（提示：所給的兩條邊長不一定都為直角邊。）例3.若一個直角三角形的三邊分別為a、b、c,a2=144,b2=25，則c2=（ ）A、169 B、119C、169或119D、13或25考點三：與高、面積有關(guān)例1.兩個直角邊分別是3和4的直角三角形斜邊上的高例2.等腰三角形的底邊為10cm，周長為36cm，則它的面積是cm2?勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a、b、c滿足a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形。判斷步驟：（1）比較a、b、c大小，找最長邊；（2）計算兩條短邊的平方和，看是否與最長邊的平方相等。例1.木工師傅要做一個長方形桌面，做好后量得長為80cm，寬為60cm，對角線為100cm，則這個桌面 。（填“合格”或“不合格”）例2.試判斷：三邊長分別是a2-b2,a2+b2,2ab（a>b）的三角形是不是直角三角形？經(jīng)典例題精析類型一：勾股定理及其逆定理的基本用法 "必1、若直角三角形兩直角邊的比是3：4,斜邊長是20，求此直角三角形的面積。思路點撥：在直角三角形中知道兩邊的比值和第三邊的長度，求面積，可以先通過比值設(shè)未知數(shù)，再根據(jù)勾股定理列出方程，求出未知數(shù)的值進而求面積。解析總結(jié)升華：直角三角形邊的有關(guān)計算中，常常要設(shè)未知數(shù)，然后用勾股定理列方程（組）求解。舉一反三【變式1】等邊三角形的邊長為2,求它的面積?！咀兪?】直角三角形周長為12cm，斜邊長為5cm，求直角三角形的面積。

【變式3】若直角三角形的三邊長分別是n+1,n+2,n+3，求n?？偨Y(jié)升華：注意直角三角形中兩“直角邊”的平方和等于“斜邊”的平方，在題目沒有給出哪條是直角邊哪條是斜邊的情況下，首先要先確定斜邊，直角邊?！咀兪?】以下列各組數(shù)為邊長，能組成直角三角形的是（）A、【變式4】以下列各組數(shù)為邊長，能組成直角三角形的是（）A、8，15,17B、4，5，6C、5，8，10D、8，39，40【變式5】四邊形ABCD中，/B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積?！咀兪?】解：類型二：勾股定理的應(yīng)用2、如圖，公路MN和公路PQ在點P處交匯，且/QPN=30°，點A處有一所中學(xué)，AP=160m。假設(shè)拖拉機行駛時，周圍100m以內(nèi)會受到噪音的影響，那么拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時，學(xué)校是否會受到噪聲影響？請說明理由，如果受影響，已知拖拉機的速度為18km/h,那么學(xué)校受影響的時間為多少秒？思路點撥：（1）要判斷拖拉機的噪音是否影響學(xué)校A，實質(zhì)上是看A到公路的距離是否小于100m,小于100m則受影響，大于100m則不受影響，故作垂線段AB并計算其長度。（2）要求出學(xué)校受影響的時間，實質(zhì)是要求拖拉機對學(xué)校A的影響所行駛的路程。因此必須找到拖拉機行至哪一點開始影響學(xué)校，行至哪一點后結(jié)束影響學(xué)校。解析：總結(jié)升華:勾股定理是求線段的長度的很重要的方法,若圖形缺少直角條件，則可以通過作輔助垂線的方法，構(gòu)造直角三角形以便利用勾股定理。課內(nèi)練習(xí)與訓(xùn)練一、填空題（每題3分）三角形的三邊滿足a2=b2+C2，這個三角形是三角形，它的最大邊是.在直角三角形ABC中，ZC=900,，BC=12,CA=5,AB=.如果一個直角三角形的三邊為三個連續(xù)偶數(shù)，那么它的三邊長為.三角形的三邊長分別是15、36、39，這個三角形是三角形.已知△ABC中，AB=12，BC=9，那么當(dāng)AC2=或時，AABC是直角三角形.如果直角三角形的一條直角邊長為40，斜邊長為41，那么另一條直角邊的長為.在^ABC中，AB=AC，AD為BC邊上的中線，如果AB=17，BC=16，那么AD=.在^ABC中，ZC=900,，BC=60cm,CA=80cm,一只蝸牛從C點出發(fā)，以每分20cm的速度沿CA-AB-BC的路徑再回到C點，需要分的時間.甲、乙兩人從同一地點出發(fā)，甲往東走了28km，乙往南走了21km，這時，甲、乙兩人相距.如圖（1），四邊形ABCD是正方形，AE垂直于BE，且AE=3，BE=4，陰影部分的面積是.二、選擇題（每題4分）有五組數(shù)：①7，24，25；②12，16，20；③9，40，41；④4，6，8；⑤32,42,52，以各組數(shù)為邊長，能組成直角三角形的個數(shù)為（ ）.A.1 B.2 C.3 D.4下列結(jié)論錯誤的是（ ）.度數(shù)之比為1：2：3的三角形是直角三角形三個邊長之比為3：4：5的三角形是直角三角形三個邊長之比為8：16：17的三角形是直角三角形三個角度之比為1：1：2的三角形是直角三角形TOC\o"1-5"\h\z如果下列各組數(shù)是三角形的三邊，那么不能組成直角三角形的一組數(shù)是（ ）.A.7,24,25B.31,41,51C.3,4,5D.4,71,812 2 2 2 2如果把直角三角形的兩條直角邊同時擴大到原來的2倍，那么斜邊擴大到原來的（ ）.A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍

直角三角形一直角邊長為12，另兩條邊長均為自然數(shù)，則其周長為（）.a）A,30B.28C.56D,不能確定如圖（2），一圓柱高8cm，底面半徑2cm,一只螞蟻從點A爬到點8處吃食，要爬行的最短路程（取3）是（ ）.圖1圖2圖3A. 20cm B.10cmC.14cmD.無法確定圖1圖2圖3A.3B.4C.5D.6A.3B.4C.5D.6小麗和小芳二人同時從公園去圖書館，都是每分鐘走50米，小麗走直線用了10分鐘，小芳先去家拿了錢去圖書館，小芳到家用了6分，從家到圖書館用了8分，小芳從公園到圖書館拐了個（ ）.A.銳角B.直角C.鈍角D.不能確定如圖3，已知正方形的面積為25，且AC比AB大1，BC的長為（ ）.三、解答題如圖，要從電線桿離地面8m處向地面拉一條長10m的電纜，求地面電纜固定點A到電線桿底部B的距離.（6分）一個三角形三條邊的比為5：12：13，且周長為60cm，求它的面積.（7分）已知直角三角形的一邊以及另外兩邊的關(guān)系利用勾股定理求周長、面積等問題。（1）直角三角形兩直角邊長分別為5和12,則它斜邊上的高為。(2)已知RtAABC中，/C=90°(2)已知RtAABC中，/C=90°A、24cA、24cm2B、36cm2C、48cm2D、60cm2（3）（3）已知x、y為正數(shù)，且|x2-4|+（y2-3）2=0，如果以x、y的長為直角邊作一個直角三角形，那么以這個直角三角形的斜邊為邊長的正方形的面積為（ ）A、5B、25CA、5B、25C、7D、15如圖，點P是反比例函數(shù)y=k上任意一點，XS =2，貝Uk=難點：PA±x軸于點A，若如圖，點P是反比例函數(shù)y如圖，點P是反比例函數(shù)y=k上任意一點，XPA±x軸于點A，PB±y軸于點B，s=2，則k=;。m函數(shù)'x與】=弘-酬（洗正0）在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖像可能（）。已知一次函數(shù)'/I