勾股定理整章知識點+例題

1、 探索勾股定理基本知識點梳理知識點一勾股定理（1） 勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方。如果直角三角形的兩條直角邊長分別是b，斜邊長為c，那么a2+b2=C2。（2） 勾股定理公式a2+b2=C2的變形有：a=C2-b2，b=C2-a2及c=a?+b2。（3） 勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中。（4） 應(yīng)用勾股定理時，要注意確定哪條邊是直角三角形的最大邊也就是斜邊。在RTAABC中，斜邊未必是c，當(dāng)ZA=90°時，a是斜邊，a2=b2+c2；當(dāng)ZB=90°時，b是斜邊，b2=a2+c2。例1在^ABC中，/C=90°（1） 若a=5，c=13，則b=（2） 若a：b=3：4.且c=30，^ljb=知識點二勾股定理的驗證（1） 勾股定理的證明方法有很多種，如采用了拼圖的方法證明的。先利用拼圖的方法，然后再利用面積相等證明勾股定理。（2） 證明勾股定理時，用幾個全等的直角三角形拼成一個規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個小圖形的面積和化簡整理得到勾股定理如圖是美國總統(tǒng)Garfield于1896年給出的一種驗證勾股定理的辦法，你能利用它證明勾股定理嗎？請寫出你的證明過程.（提示：如圖三個三角形均是直角三角形）如圖，四個全等的直角三角形的拼圖，你能驗證勾股定理嗎？試試看.知識點三勾股定理的應(yīng)用例2、如圖9,在海上觀察所A,我邊防海警發(fā)現(xiàn)正北6km的B處有一可疑船只正在向東方向8km的C處行駛.我邊防海警即刻派船前往C處攔截.若可疑船只的行駛速度為40km/h,則我邊防海警船的速度為多少時，才能恰好在C處將可疑船只截??？8km C6kmA經(jīng)典例題全解一、勾股定理與面積的綜合運用在AABC中，/ACB=90°,AC=4,BC=3,求RTAABC斜邊上的高CD的長度如圖，小明的爸爸在魚池邊開了一塊四邊形土地種了一些蔬菜，爸爸讓小明計算一下土地的面積，以便計算一下產(chǎn)量.小明找了一卷米尺，測得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知ZB=90度.那么這塊土地的面積為多少平方米？如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A，B，C，D的邊長分別是3,5,2,3,則最大正方形E的面積是二、翻折問題1、 翻折變換（折疊問題）實質(zhì)上就是軸對稱變換。2、 折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等。3、 在解決實際問題時，對于折疊較為復(fù)雜的問題可以實際操作圖形的折疊，這樣便于找到圖形間的關(guān)系.首先清楚折疊和軸對稱能夠提供給我們隱含的并且可利用的條件。解題時，我們常常設(shè)要求的線段長為x，然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)用含的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運用勾股定理列出方程求出答案。我們運用方程解決時，應(yīng)認真審題，設(shè)出正確的未知數(shù)。如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm，BC=8cm，現(xiàn)將直角邊AC沿著直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD的長為如圖，長方形ABCD中，AB=4,BC=3,將其沿直線MN折疊，使點C與點A重合，則CN的長為多少？如圖，矩形ABCD中，AB=8cm,AD=10cm,E是CD上的一點，沿直線AE把^ADE折疊，點D恰好落在邊BC上一點F處，則DE的長度為多少？三、構(gòu)造直角三角形解決問題如圖，小明在廣場上先向東走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向東走70米.求小明到達的終止點與原出發(fā)點的距離.出發(fā)點1040、

20 、4070終止點如圖，一巡邏艇在A處，發(fā)現(xiàn)一走私船在A處的南偏東60°方向上距離A處12海里的B處，并以每小時20海里的速度沿南偏西30°方向行駛，若巡邏艇以每小時25海里的速度追趕走私船，則追上走私船所需時間是多少？2、能得到直角三角形嗎基本知識點梳理知識點一掌握判定直角三角形的條件，即勾股定理的逆定理(1)勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長b,c滿足a2+b2=C2，那么這個三角形就是直角三角形。(2)運用勾股定理的逆定理解決問題的實質(zhì)就是判斷一個角是不是直然后進一步結(jié)合其他已知條件來解決問題。注意：要判斷一個角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是。例判斷滿足下列條件的三角形是否是直角三角形在^ABC中，/A=15°，/B=75°在ABC中，AC=12，AB=20，BC=16知識點二知道勾股數(shù)的意義，能識別一組數(shù)是否是勾股數(shù)勾股數(shù)：滿足a2+b2=c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。說明：三個數(shù)必須是正整數(shù)，例如2.5、6、6.5滿足a2+b2=c2，但是它們不是正整數(shù)，所以它們不是夠勾股數(shù)。一組勾股數(shù)擴大相同的整數(shù)倍得到三個數(shù)仍是一組勾股數(shù)。記住常用的勾股數(shù)再做題可以提高速度。如3,4,5；6,8，10；5，12，13； 經(jīng)典例題全解一、直角三角形的判定例1、正方形網(wǎng)格中的^ABC，若小方格邊為1，則^ABC是二、直角三角形的判定方法的實際意義例2、有一塊空白地，/ADC=90°,CD=6米，AD=8米，AB=26米，BC=24米，現(xiàn)計劃在該空地上進行綠化，若平均每平方米投資100元，那么該空白地綠化需要多少投入？例3、在西部開發(fā)建設(shè)中，政府為了方便A、B兩個村莊，決定從A向B修筑一條筆直的公路，公路長為13km，而C地有一個半徑為4.8km的魚塘，并且A與C的距離為5km，B與C的距離為12km，請你用學(xué)過的知識幫助計算這條公路是否會穿過魚塘？螞蟻怎么走最近知識點一直角三角形的判斷條件的應(yīng)用例1、工人師傅將門砌到一定高度時，質(zhì)檢人員要測一下門上的四個角是否為直角，請幫質(zhì)檢人員想一個檢驗辦法，并說明理由。知識點二平面展開-最短路徑問題平面展開-最短路徑問題，先根據(jù)題意把立體圖形展開成平面圖形后，再確定兩點之間的最短路徑。一般情況是兩點之間，線段最短。在平面圖形上構(gòu)造直角三角形解決問題。關(guān)于數(shù)形結(jié)合的思想，勾股定理及其逆定理它們本身就是數(shù)和形的結(jié)合，所以我們在解決有關(guān)結(jié)合問題時的關(guān)鍵就是能從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型。1、求圓柱側(cè)面上兩點間的最短路線問題例2、如圖，有一個圓柱，它的高為15cm，底面半徑為湍cm，在A點的一只螞蟻想吃到B點的食物，爬行的最短路程為2、求長方體（或正方體）表面上兩點間的最短路線問題例3如圖，有一個長方體的長，寬，高分別是6,4,4,在底面A處有一只螞蟻，它想吃到長方體上面B處的食物，需要爬行的最短路程是多少？例4、如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別為20dm、3dm、2dm.A和B是這個臺階上兩個相對的端點，點A處有一只螞蟻，想到點B處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬行到點B的最