2022年北京第二十七中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

2022年北京第二十七中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)全集,集合A={-1，1，2},B={-1,1},則A.{1}

B.{2}

C.{1，2}

D.{-1，1}參考答案：B略2.“平面α內(nèi)的兩條直線與平面β都平行”是“平面α與平面β平行”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：B【考點】2L：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】根據(jù)面面平行的判定定理結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【解答】解：若平面α與平面β平行，則平面α內(nèi)的兩條直線與平面β都平行，即必要性成立，若平面α內(nèi)的兩條直線與平面β都平行，若兩條直線不相交，則平面α與平面β平行不一定成立，即充分性不成立，故“平面α內(nèi)的兩條直線與平面β都平行”是“平面α與平面β平行”的必要不充分條件，故選：B．3.設(shè)為實數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且是偶函數(shù)，則曲線在原點處的切線方程為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略4.已知等邊△ABC中，D、E分別是CA、CB的中點，以A、B為焦點且過D、E的橢圓和雙曲線的離心率分別為、，則下列關(guān)于、的關(guān)系式不正確的是()A．

B．

C．

D.參考答案：A5.若對于定義在R上的函數(shù)f（x），其圖象是連續(xù)不斷的，且存在常數(shù)λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0對任意實數(shù)x都成立，則稱f（x）是一個“λ～特征函數(shù)”．下列結(jié)論中正確的個數(shù)為（）①f（x）=0是常數(shù)函數(shù)中唯一的“λ～特征函數(shù)”；②f（x）=2x+1不是“λ～特征函數(shù)”；③“λ～特征函數(shù)”至少有一個零點；④f（x）=ex是一個“λ～特征函數(shù)”．A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：C考點：命題的真假判斷與應(yīng)用．專題：簡易邏輯．分析：利用新定義“λ～特征函數(shù)”，對A、B、C、D四個選項逐個判斷即可得到答案解答：解：對于①，設(shè)f（x）=C是一個“λ～特征函數(shù)”，則（1+λ）C=0，當(dāng)λ=﹣1時，可以取遍實數(shù)集，因此f（x）=0不是唯一一個常值“λ～特征函數(shù)”，故①不正確；對于②，∵f（x）=2x+1，∴f（x+λ）+λf（x）=2（x+λ）+1+λ（2x+1）=0，即2（λ+1）x=﹣2λ﹣λ，∴當(dāng)λ=﹣1時，f（x+λ）+λf（x）=﹣2≠0；λ≠﹣1時，f（x+λ）+λf（x）=0有唯一解，∴不存在常數(shù)λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0對任意實數(shù)x都成立，∴f（x）=2x+1不是“λ～特征函數(shù)”，故②正確；對于③，令x=0，得f（）+f（0）=0，所以f（）=﹣f（0），若f（0）=0，顯然f（x）=0有實數(shù)根；若f（0）≠0，f（）?f（0）=﹣[f（0）]2＜0．又因為f（x）的函數(shù)圖象是連續(xù)不斷，所以f（x）在（0，）上必有實數(shù)根．因此任意的“λ～特征函數(shù)”必有根，即任意“λ～特征函數(shù)”至少有一個零點，故③正確．對于④，假設(shè)f（x）=ex是一個“λ～特征函數(shù)”，則ex+λ+λex=0對任意實數(shù)x成立，則有eλ+λ=0，而此式有解，所以f（x）=ex是“λ～特征函數(shù)”，故④正確故結(jié)論正確的是②③④，故選：C點評：本題考查函數(shù)的概念及構(gòu)成要素，考查函數(shù)的零點，正確理解λ～特征函數(shù)的概念是關(guān)鍵，屬于中檔題6.的外接圓半徑為1，圓心為，且，則的值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：【知識點】向量在幾何中的應(yīng)用．F2F3A

解析：因為3+4+5=，所以，所以，因為A，B，C在圓上，所以．代入原式得，所以==．故選：A．【思路點撥】先將一個向量用其余兩個向量表示出來，然后借助于平方使其出現(xiàn)向量模的平方，則才好用上外接圓半徑，然后進(jìn)一步分析結(jié)論，容易化簡出要求的結(jié)果．7.若集合，，則集合不可能是A．B．

C．

D．參考答案：D略8.拋物線的焦點為，已知點為拋物線上的兩個動點，且滿足.過弦的中點作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則的最大值為（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：A9.某四棱錐的三視圖如圖所示，如果方格紙上小正方形的邊長為1，那么該幾何體的最長棱的棱長為（

）A.3 B. C. D.參考答案：D【分析】根據(jù)幾何體的三視圖可得，該幾何體是四棱錐，再計算各條棱的長度，即可得答案；【詳解】根據(jù)幾何體的三視圖可得，該幾何體是四棱錐

，，，，，，該幾何體的最長棱的棱長為，故選：D.【點睛】本題考查利用三視圖還原幾何體的直觀圖、棱長的計算，考查空間想象能力、運算求解能力，求解時注意準(zhǔn)確還原幾何體的直觀圖是關(guān)鍵.10.曲線在x=1處切線的傾斜角為（A）1

B.

（C）

（D）參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，則A的大小為

．參考答案：75°由，根據(jù)正弦定理得，即，，又，，故答案為75°.

12.（5分）已知數(shù)列{an}中，a1=3，an+1=+1，則a2014=．參考答案：【考點】：數(shù)列遞推式．【專題】：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法．【分析】：由題意可知{an﹣1}為周期數(shù)列且周期為2，a1﹣1=2，即可求出答案解：∵，∴{an﹣1}為周期數(shù)列且周期為2，a1﹣1=2，∴a2014﹣1=a2﹣1=，∴．故答案為：．【點評】：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項，考查學(xué)生的計算能力，比較基礎(chǔ)．13.已知正數(shù)x，y滿足：x+4y=xy，則x+y的最小值為

．參考答案：9

考點：基本不等式.14.定義：如果函數(shù)在定義域內(nèi)給定區(qū)間上存在，滿足，則稱函數(shù)是上的“平均值函數(shù)”，是它的一個均值點，如是上的平均值函數(shù)，0就是它的均值點．現(xiàn)有函數(shù)是上的平均值函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是

．參考答案：（0,2）15.已知拋物線C：y2=2px的焦點坐標(biāo)為F（2，0），則p=

；若已知點A（6，3），且點M在拋物線C上，則|MA|+|MF|的最小值為

．參考答案：4；

8．【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】利用拋物線的焦點坐標(biāo)，真假求解P即可；判斷A的位置，利用拋物線的性質(zhì)求解|MA|+|MF|的最小值．【解答】解：拋物線C：y2=2px的焦點坐標(biāo)為F（2，0），則p=4；已知點A（6，3），且點M在拋物線C：y2=8x上，可知A的拋物線內(nèi)部，則|MA|+|MF|的最小值為M到拋物線的準(zhǔn)線的距離；拋物線的準(zhǔn)線方程為：x=﹣2，則|MA|+|MF|的最小值為：8．故答案為：4；

8．16.設(shè)等比數(shù)列的前項和為，若則

參考答案：3略17.若函數(shù)為奇函數(shù)，則

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，四棱錐中，是正三角形，四邊形是矩形，且平面平面，，．（1）若點是的中點，求證：平面（2）若是線段的中點，求三棱錐的體積.

參考答案：（1）詳見解析;（2）1試題分析：（1）設(shè)相交于點，連接.由中位線可得根據(jù)線面平行的判定定理即可得證平面.（2）由面面垂直的性質(zhì)定理可得平面,則可將棱錐的頂點轉(zhuǎn)化為以點.由勾股定理可得.根據(jù)棱錐體積公式即可求其體積.試題解析：解：（1）證明：設(shè)，連接，由三角形的中位線定理可得：,

3分∵平面，平面，∴平面．

6分（2）∵平面平面，∴平面，∴,∴

8分又∵是的中點，是正三角形，∴，∴，

10分又平面平面，，∴平面，∴

-12分考點：1線面平行;2面面垂直;3棱錐的體積.19.（本小題滿分12分），

已知函數(shù)的定義域為不等式的解集，且咋定義域內(nèi)單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍。參考答案：20.(本題滿分15分）已知拋物線，為拋物線的焦點，為拋物線上的動點，過作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為．（1）若點與點的連線恰好過點，且，求拋物線方程；（2）設(shè)點在軸上，若要使總為銳角，求的取值范圍．參考答案：解（1）由題意知：，，為的中點，

，且點在拋物線上，代入得

所以拋物線方程為．…………5分（2）設(shè)，，根據(jù)題意：為銳角且，

，

所以得對都成立令對都成立………………9分（1）若，即時，只要使成立，

整理得：，且，所以．……11分

（2）若，即，只要使成立，得

所以……13分由（1）（2）得的取值范圍是且．……15分21.有甲、乙兩個桔柚（球形水果）種植基地，已知所有采摘的桔柚的直徑都在[59,101]范圍內(nèi)（單位：毫米，以下同），按規(guī)定直徑在[71,89)內(nèi)為優(yōu)質(zhì)品，現(xiàn)從甲、乙兩基地所采摘的桔柚中各隨機抽取500個，測量這些桔柚的直徑，所得數(shù)據(jù)整理如下：直徑分組[59,65)[65,71)[71,77)[77,83)[83,89)[89,95)[95,101]甲基地頻數(shù)1030120175125355乙基地頻數(shù)5351151651106010

（1）根據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面2×2列聯(lián)表，并回答是否有95%以上的把握認(rèn)為“桔柚直徑與所在基地有關(guān)”？

甲基地乙基地合計優(yōu)質(zhì)品

非優(yōu)質(zhì)品

合計

（2）求優(yōu)質(zhì)品率較高的基地的500個桔柚直徑的樣本平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表)：（3）經(jīng)計算，甲基地的500個桔柚直徑的樣本方差，乙基地的500個桔柚直徑的樣本方差，，并且可認(rèn)為優(yōu)質(zhì)品率較高的基地采摘的桔柚直徑服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.由優(yōu)質(zhì)品率較高的種植基地的抽樣數(shù)據(jù)，估計該基地采摘的桔柚中，直徑不低于86.78亳米的桔柚在總體中所占的比例.附：，.P(K2≥k0)0.100.050.0100.0050.001k02.7063.8416.6357.87910.828

若，則.，.參考答案：（Ⅰ）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫2×2列聯(lián)表如下：

甲基地乙基地合計優(yōu)質(zhì)品420390810非優(yōu)質(zhì)品80110190合計5005001000

，所以,有95%的把握認(rèn)為：“兩個基地采摘的水果直徑有差異”．（Ⅱ）甲基地水果的優(yōu)質(zhì)品率為，甲基地水果的優(yōu)質(zhì)品率為，所以，甲基地水果的優(yōu)質(zhì)品率較高，甲基地的500個桔柚直

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，甲基地的桔柚直徑，所以，估計甲基地采摘的桔柚中，直徑不低于86.78毫米的桔柚在總體中所占的比例大約為.22.從2017年1月18日開始，支付寶用戶可以通過“AR掃‘福’字”和“參與螞蟻森林”兩種方式獲得?？ǎ◥蹏?、富強福、和諧福、友善福、敬業(yè)福），除夕夜22:18，每一位提前集齊五福的用戶都將獲得一份現(xiàn)金紅包.某高校一個社團在年后開學(xué)后隨機調(diào)查了80位該校在讀大學(xué)生，就除夕夜22:18之前是否集齊五福進(jìn)行了一次調(diào)查（若未參與集五福的活動，則也等同于未集齊五福），得到具體數(shù)據(jù)如下表：

是否合計男301040女35540合計651580（1）根據(jù)如上的列聯(lián)表，能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，認(rèn)為“集齊五福與性別有關(guān)”？（2）計算這80位大學(xué)生集齊五福的頻率，并據(jù)此估算該校10000名在讀大學(xué)生中集齊五福的人數(shù)；（3）為了解集齊五福的大學(xué)生明年是否愿意繼續(xù)參加集五?；顒?，該大學(xué)的學(xué)生會從集齊五福的學(xué)生中，選取2位男生和3位女生逐個進(jìn)行采訪，最后再隨機選取3次采訪記錄放到該大學(xué)的官方網(wǎng)站上，求最后被選取的3次采訪對象中至少有一位男生的概率.參考公式：.附表：0.500.4