2022-2023學年山東省濰坊市曹家莊子弟中學高二數(shù)學文月考試卷含解析

2022-2023學年山東省濰坊市曹家莊子弟中學高二數(shù)學文月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知正四棱柱中,則與平面所成角的正弦值等于 A． B． C． D．參考答案：A2.如果方程x2+ky2=2表示焦點在y軸上的橢圓，那么實數(shù)k的取值范圍是（）A．(0,+∞) B．(0,2) C．(0,1) D．(1,+∞)參考答案：C3.如圖，一豎立在地面上的圓錐形物體的母線長為4，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點P出發(fā)，繞圓錐爬行一周后回到點P處，若該小蟲爬行的最短路程為，則這個圓錐的體積為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積．【分析】作出該圓錐的側(cè)面展開圖，該小蟲爬行的最短路程為PP'，由余弦定理求出∠P′OP=．求出底面圓的半徑r，從而求出這個圓錐的高，由此能求出這個圓錐的體積．【解答】解：作出該圓錐的側(cè)面展開圖，如圖所示：該小蟲爬行的最短路程為PP′，由余弦定理可得cos∠P′OP==﹣，∴．設(shè)底面圓的半徑為r，則有，解得r=．∴這個圓錐的高為h==，這個圓錐的體積為V====．故選：C．4.已知等差數(shù)列｛an｝的公差為2，若a1，a3，a4成等比數(shù)列，則a2等于（

）A.－6

B.－8

C.－10

D.－12參考答案：A5.在正方體

A

B

C

D參考答案：D略6.如圖，在正方形ABCD中，AB＝2，E為線段CD上一動點，現(xiàn)將△AED沿AE折起，使點D在面ABC上的射影K在直線AE上，當E從D運動到C，則點K形成軌跡的長度為

.

A．

B．2

C．

D．參考答案：D將沿折起，使平面，在平面內(nèi)過點作，為垂足是在平面上的射影，由翻折的特征知，連接，則，故點的軌跡是以為直徑的圓上的一段弧，根據(jù)長方形知圓的半徑是1，如圖，當E與C重合時，AK=，取為的中點，得到是直角三角形，故，，故其所對的弧長為．7.一個圓的圓心為橢圓的右焦點，且該圓過橢圓的中心交橢圓于P,直線PF1（為橢圓的左焦點）是該圓的切線，則橢圓的離心率為 （

）A． B． C． D． 參考答案：C8.已知點P在直徑為2的球面上，過點P作球的兩兩相互垂直的三條弦PA，PB，PC，若，則的最大值為A. B.4 C. D.3參考答案：A【分析】由題意得出，設(shè)，，利用三角函數(shù)輔助角公式可得出的最大值.【詳解】由于、、是直徑為的球的三條兩兩相互垂直的弦，則，所以，設(shè)，，，其中為銳角且，所以，的最大值為，故選：A.【點睛】本題考查多面體的外接球，考查棱長之和的最值，在直棱柱或直棱錐的外接球中，若其底面外接圓直徑為，高為，其外接球的直徑為，則，充分利用這個模型去解題，可簡化計算，另外在求最值時，可以利用基本不等式、柯西不等式以及三角換元的思想來求解。9.若a∈R，則“a＜﹣1”是“|a|＞1”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【解答】解：由|a|＞1得a＞1或a＜﹣1，即“a＜﹣1”是“|a|＞1”的充分不必要條件，故選：A．10.用反證法證明命題：“，若ab可被5整除，那么a，b中至少有一個能被5整除．”時，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)該是A.a，b都能被5整除 B.a，b都不能被5整除C.a，b不都能被5整除 D.a能被5整除參考答案：B試題分析：由于反證法是命題的否定的一個運用，故用反證法證明命題時，可以設(shè)其否定成立進行推證．命題“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1個能被5整除．”的否定是“a，b都不能被5整除”．考點：反證法

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.將三位老師分配到4所學校實施精準幫扶，若每位老師只去一所學校，每所學校最多去2人，則不同的分配方法有_____________種（用數(shù)字作答）.參考答案：60【分析】分2種情況討論:三位老師去三所學校；兩位老師一所學校，另一位老師去一所學校，分別求出每一種情況的分配方法數(shù)目，由加法原理計算可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意,分2種情況討論：若三位老師去三所學校，則有種分配方法；若兩位老師一所學校，另一位老師去一所學校，則有種分配方法，所以共有種不同的分配方法，故答案為60.【點睛】本題主要考查分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理及排列組合的應(yīng)用，屬于中檔題.有關(guān)排列組合的綜合問題，往往是兩個原理及排列組合問題交叉應(yīng)用才能解決問題，解答這類問題理解題意很關(guān)鍵，一定多讀題才能挖掘出隱含條件.解題過程中要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”，在應(yīng)用分類計數(shù)加法原理討論時，既不能重復(fù)交叉討論又不能遺漏，這樣才能提高準確率.12.設(shè)隨機變量的分布列為P()=,(k=1,2,3),其中c為常數(shù)，則E

.參考答案：略13.已知函數(shù)的零點的個數(shù)是

個.參考答案：214.在我國明代數(shù)學家吳敬所著的《九章算術(shù)比類大全》中，有一道數(shù)學名題叫“寶塔裝燈”，內(nèi)容為“遠望巍巍塔七層，紅燈點點倍加增；共燈三百八十一，請問頂層幾盞燈？”（“倍加增”指燈的數(shù)量從塔的頂層到底層按公比為2的等比數(shù)列遞增）．根據(jù)此詩，可以得出塔的頂層和底層共有

盞燈．參考答案：195【考點】等比數(shù)列的前n項和．【分析】由題意可知燈的盞燈的數(shù)量從塔的頂層到底層構(gòu)成等比數(shù)列，且公比為2，然后由等比數(shù)列的前7項和等于381列式計算即可．【解答】解：由題意可知燈的盞燈的數(shù)量從塔的頂層到底層構(gòu)成等比數(shù)列，且公比為2，設(shè)塔的頂層燈的盞燈為x，則x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381，解得x=3，可以得出塔的頂層和底層共有x+64x=195盞燈．故答案為：195．15.橢圓x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的右頂點為A，上頂點為B，左焦點為F，若∠ABF是直角，則這個橢圓的離心率為_________。參考答案：16.已知函數(shù)在點處的切線為l，則直線l、曲線f(x)以及y軸所圍成的區(qū)域的面積為__________．參考答案：∵f（x）=1﹣2sin2x=cos（2x），f（）=0，∴切點坐標為了（，0）．又f′（x）=﹣2sin2x．∴f′（）=﹣2，切線的斜率k=﹣2，∵切線方程為：y=﹣2（x﹣），即y=﹣2x+，所以直線l、曲線f（x）以及y軸所圍成的區(qū)域的面積為：.

17.函數(shù)y=f（x）圖象上不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2）處的切線的斜率分別是kA，kB，規(guī)定φ（A，B）=叫曲線y=f（x）在點A與點B之間的“彎曲度”，給出以下命題：（1）函數(shù)y=x3﹣x2+1圖象上兩點A、B的橫坐標分別為1，2，則φ（A，B）＞；（2）存在這樣的函數(shù)，圖象上任意兩點之間的“彎曲度”為常數(shù)；（3）設(shè)點A、B是拋物線，y=x2+1上不同的兩點，則φ（A，B）≤2；（4）設(shè)曲線y=ex上不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2），且x1﹣x2=1，若t?φ（A，B）＜1恒成立，則實數(shù)t的取值范圍是（﹣∞，1）；以上正確命題的序號為（寫出所有正確的）參考答案：（2）（3）【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】由新定義，利用導(dǎo)數(shù)逐一求出函數(shù)y=x3﹣x2+1、y=x2+1在點A與點B之間的“彎曲度”判斷（1）、（3）；舉例說明（2）正確；求出曲線y=ex上不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2）之間的“彎曲度”，然后結(jié)合t?φ（A，B）＜1得不等式，舉反例說明（4）錯誤．【解答】解：對于（1），由y=x3﹣x2+1，得y′=3x2﹣2x，則，，y1=1，y2=5，則，φ（A，B）=，（1）錯誤；對于（2），常數(shù)函數(shù)y=1滿足圖象上任意兩點之間的“彎曲度”為常數(shù)，（2）正確；對于（3），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），y′=2x，則kA﹣kB=2x1﹣2x2，==．∴φ（A，B）==，（3）正確；對于（4），由y=ex，得y′=ex，φ（A，B）==．t?φ（A，B）＜1恒成立，即恒成立，t=1時該式成立，∴（4）錯誤．故答案為：（2）（3）．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)；（I）若＞0，試判斷f（x）在定義域內(nèi)的單調(diào)性；（II）若f（x）在[1，e]上的最小值為，求的值；（III）若f（x）＜x2在（1，上恒成立，求a的取值范圍．參考答案：.解：（I）由題意f（x）的定義域為（0，+∞），且f'（x）=…（2分）∵a＞0，∴f'（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)…（4分）（II）由（I）可知，f′（x）=．（1）若a≥﹣1，則x+a≥0，即f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，此時f（x）在[1，e]上為增函數(shù)，∴[f（x）]min=f（1）=﹣a=，∴a=﹣（舍去）…（5分）（2）若a≤﹣e，則x+a≤0，即f′（x）≤0在[1，e]上恒成立，此時f（x）在[1，e]上為減函數(shù)，∴[f（x）]min=f（e）=1﹣（舍去）…（6分）（3）若﹣e＜a＜﹣1，令f'（x）=0得x=﹣a，當1＜x＜﹣a時，f'（x）＜0，∴f（x）在（1，﹣a）上為減函數(shù)，f（x）在（﹣a，e）上為增函數(shù)，∴[f（x）]min=f（﹣a）=ln（﹣a）+1=∴[f（x）]min=f（﹣a）=ln（﹣a）+1=∴a=﹣．…（8分）

略19.（本小題滿分8分）一次考試中，要求考生從試卷上的10個題目中任選3道題解答，其中6道甲類題，4道乙類題。（Ⅰ）求考生所選題目都是甲類題的概率；（Ⅱ）已知一考生所選的三道題目中有2道甲類題，1道乙類題，設(shè)該考生答對每道甲類題的概率都是，答對每道乙類題的概率都是，且各題答對與否相互獨立；用X表示該考生答對題的個數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望。參考答案：（1）設(shè)事件A＝“考生所選題目都是甲類題”。所以。 3分（2）X所有的可能取值為。；。所以X的分布列為：X0123P所以。 8分20.已知數(shù)列的前項和為，，滿足(1)計算、、、，并猜想的表達式；

（2）用數(shù)學歸納法證明你猜想的的表達式。（13分）參考答案：（1）

猜想（2）①當時，結(jié)論顯然成立

②假設(shè)時結(jié)論成立，即

由可知：

即當時結(jié)論也成立。

根據(jù)①②可知結(jié)論對任何都成立略21.某單位決定投資元建一倉庫（長方體狀），高度恒定，它的后墻利用舊墻不花錢，正面用鐵柵，每米造價元，兩側(cè)墻砌磚，每米造價元，頂部每平方米造價元，試問：（1）倉庫面積的最大允許值是多少？（2）為使達到最大，而實際投資又不超過預(yù)算，那么正面鐵柵應(yīng)設(shè)計為多長？參考答案：解：如圖，設(shè)鐵柵長為米，一堵磚墻長為米，則有，由題意得，應(yīng)用二元均值不等式，得 ∴，即，∵，∴，∴．因此，的最大允許值是平方米，取得此最大值的條件是，而，