2021高考數(shù)學(xué)模擬卷與訓(xùn)練卷十（解析版）（新高考卷）

2021高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)訓(xùn)練卷十(解析版)

第I卷(選擇題)

一、單選題

1.集合論是德國數(shù)學(xué)家康托爾(G.Cantor)于19世紀(jì)末創(chuàng)立的.在他的集合理論中，用card(A)表示有限

集合中元素的個(gè)數(shù)，例如：A={a,b,c},則?打(1(4)=3.若對(duì)于任意兩個(gè)有限集合4,3,有

card(Au8)=card(A)+card(3)-card(AcB).某校舉辦運(yùn)動(dòng)會(huì)，高一(1)班參加田賽的學(xué)生有14人,

參加徑賽的學(xué)生有9人，兩項(xiàng)都參加的有5人，那么高一(1)班參加本次運(yùn)動(dòng)會(huì)的人數(shù)共有()

Q

康托爾(1845-1918)

A.28B.23C.18D.16

【答案】C

【分析】

設(shè)參加田賽、徑賽的同學(xué)組成集合，再由集合論即可得解.

【詳解】

設(shè)參加田賽的學(xué)生組成集合4貝！|card(A)=14,

參加徑賽的學(xué)生組成集合B,則card(B)=9,

由題意得card(AcB)=5,

所以card(AuB)=card(A)+card(B)-card(Ac5)=14+9—5=18,

所以高一(1)班參加本次運(yùn)動(dòng)會(huì)的人數(shù)共有18.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了數(shù)學(xué)文化與集合運(yùn)算的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于基礎(chǔ)題.

2.設(shè)6eR,貝!l"sin?！匆病笔?0＜。＜工”的()

24

A,充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】

解正弦不等式結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

當(dāng)sinOcYZ時(shí)，

2

JI、(3兀

貝?。菹Α闕kn.—+IknIuI+2k7T,2^,+2kTT,keZ,

當(dāng)0<e<2時(shí)，0<sin。(立，

42

即"sin。<—"是"0<0<~"的必要而不充分條件

24

故選：B

3.已知匕絲>0(i為虛數(shù)單位)，則實(shí)數(shù)”等于()

A.-1B.0C.1D.±1

【答案】C

【分析】

先由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡匕竺，然后生絲>0,則實(shí)部為正，虛部為0,可得答案.

a+ia+i

【詳解】

,\+ai_(l+a/)(a-z)_2a+^a2-l^i_2aa2-1.

由7—"z.\/—2i-"""27"I27(>。

Q+l(Q+Z)(Q—IjQ~+1礦+I+1

所以一^>0且中■=()

2

/+1a+l

解得a=\

故選：C

4.點(diǎn)P在直線/：x-y-l=0上運(yùn)動(dòng)，A(4,l),5(2,0),貝！||削+|冏的最小值是

A.V5B.V6C.3D.4

【答案】C

【詳解】

團(tuán)設(shè)A（4,1）關(guān)于直線x-y-1=0的對(duì)稱點(diǎn)為A，（2,3）,

回|PA|+|PB|=|PA，|+|PB|,

當(dāng)P、A\B三點(diǎn)共線時(shí)，

|PA|+1PB|取得最小值|A，B|=J（2-2）2+（3-0）2=3.

故選C.

5.已知。為AABC內(nèi)一點(diǎn)，若分別滿足9|礪|=|。@=|反|；?OAOB=OBOC=OCOAi③

bA+OB+OC^6i④“礪+。而+C雙=6（其中a，），c為AABC中，角A8,C所對(duì)的邊卜則。依次

是AABC的

A.內(nèi)心、重心、垂心、外心B.外心、垂心、重心、內(nèi)心

C.外心、內(nèi)心、重心、垂心D.內(nèi)心、垂心、外心、重心

【答案】B

【分析】

對(duì)①，易得點(diǎn)O到點(diǎn)A,8,C的距離相等即可判斷.

對(duì)②，根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算可求得礪_Lm，OALBC＞反，通即可判斷.

對(duì)③，根據(jù)重心的性質(zhì)與數(shù)量積的運(yùn)算判斷即可.

對(duì)④，根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算可得而=—^^

「同J，進(jìn)而可知。在AABC三個(gè)角的角平

分線上即可證明.

【詳解】

對(duì)于①，因?yàn)棰倬W(wǎng)=|麗卜因,

所以點(diǎn)o到點(diǎn)A區(qū)。的距離相等，

即點(diǎn)。為的外心；

對(duì)于②，因?yàn)槲鳌Ｔ?0反反，

所以夠畫一困=（）,

所以萬0=0，

即方_LC5，同理況_L冊(cè)，說，麗,

即點(diǎn)。為AAbC的垂心；

對(duì)于③，因?yàn)閰?而+。心=6，

所以方=_(而+能)，

設(shè)D為8C的中點(diǎn)，則。4=-20萬，

即點(diǎn)。為AAbC的重心；

對(duì)于④，因?yàn)閍礪+〃礪+c。心=6，

^,aOA+b(OA+AB)+c(OA+AC)^6,整理得(a+b+c)礪+b通+c恁=6.

"ABAC]

又說+衣=|狗?而+網(wǎng)?/=］西?同憫+同

beABACABAC

所以屈5=,因?yàn)橥謩e為而，〃方向的單位向量，故A。與N84C的

a+b+c憫*同

角平分線共線.同理BO與ZABC的角平分線共線，CO與ZACB的角平分線共線.故點(diǎn)O為△A6C的內(nèi)心.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了根據(jù)根據(jù)平面向量的關(guān)系分析三角形四心的問題，需要根據(jù)題意結(jié)合四心的性質(zhì)，利用平

面向量的運(yùn)算以及性質(zhì)求證.屬于中檔題.

6.某人于2017年7月1日去銀行存款。元，存的是一年定期儲(chǔ)蓄，2018年7月1日將到期存款的本息一

起取出再加。元之后還存一年定期儲(chǔ)蓄，此后每年的7月1日他都按照同樣的方法在銀行取款和存款.設(shè)銀

行一年定期儲(chǔ)蓄的年利率「不變，則到2022年7月1日他將所有的本息全部取出時(shí)，取出的錢共有()

A.a(l+r)4元

B.a(l+r丁元

C.a(l+r1元

D./［（l+r）6-（1+川元

【答案】D

【分析】

記2（）17年存入銀行存款為為元，貝12022年存入銀行存款為％元，可知取出的錢為4-%結(jié)合等比數(shù)列

求和公式可求得色一”，即為所求結(jié)果.

【詳解】

設(shè)2017年存入銀行的存款為q元，2018年存入銀行的存款為電元，以此類推，則2022年存入銀行的存

款為4元，那么2022年從銀行取出的錢有（恁-。）元?

2

at=a,a2=a(l+r)+a,a3=a(l+r)+a(l+r)+a,

%=a(l+r)s+a(l+r)4+a(l+r)3+a(l+r)~+a(l+r)+a，

256

a6-a=?|-(1+r)+(1+r)+???+(1+r)-a------)[(、'--=-^(1+r)-(1+r)^|.

故選：D.

7.若一個(gè)正三棱柱存在外接球與內(nèi)切球，則它的外接球與內(nèi)切球表面積之比為

A.3:1B.4:1C.5:1D.6:1

【答案】C

【詳解】

它的外接球與內(nèi)切球表面積之比為（乎a）2:（骼a）2,即5:1.

8.把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度為4。，空氣的溫度是％。c,那么，分鐘后物體的溫

度。（單位。C）可由公式：求得，其中攵是一個(gè)隨著物體與空氣的接觸狀況而定的

正常數(shù).現(xiàn)有100例的物體，放在20。的空氣中冷卻，4分鐘后物體的溫度是60C，則再經(jīng)過（）分

鐘，物體的溫度是40c（假設(shè)空氣的溫度保持不變）.

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【分析】

根據(jù)題意將數(shù)據(jù)a=20",%=10(y,6=60、。=4代入6=4+(4-4"*,可得eY=(gj，再

將夕=40。代入即可得r=8,即可得答案.

【詳解】

由題意知：4=20",4=100,3=60＞，=4

代入。=6;)+(4-4》力得：60=20+(100-20”“，

所以當(dāng)6=40。時(shí),40=20+(100—20)目，

**■似十舒

所以f=8,

所以再經(jīng)過4分鐘物體的溫度是40。。，

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了指數(shù)函數(shù)的綜合題，關(guān)鍵是弄清楚每個(gè)字母的含義，屬于中檔題.

二、多選題

9.(多選題)某校進(jìn)行了一次創(chuàng)新作文大賽，共有100名同學(xué)參賽，經(jīng)過評(píng)判，這100名參賽者的得分都在

[40,90]之間，其得分的頻率分布直方圖如圖所示，則下列結(jié)論正確的是()

A.得分在［40,60）之間的共有40人

B.從這100名參賽者中隨機(jī)選取1人，其得分在［60,80）的概率為0.5

C.估計(jì)得分的眾數(shù)為55

D.這100名參賽者得分的中位數(shù)為65

【答案】ABC

【分析】

根據(jù)圖中數(shù)據(jù)首先求出。，然后逐一判斷即可.

【詳解】

根據(jù)頻率和為1,由（a+0.035+0.030+0.020+0.010）xl0=l,解得a=0.005,

得分在［40,60）的頻率是0.40,估計(jì)得分在［40,60）的有100x0.40=40（人），A正確；

得分在［60,80）的頻率為0.5,可得從這100名參賽者中隨機(jī)選取一人，

得分在［60,80）的概率為0.5,B正確；

根據(jù)頻率分布直方圖知，最高的小矩形對(duì)應(yīng)的底邊中點(diǎn)為里署=55,即估計(jì)得分的眾數(shù)為55,C正確;

05-04

由0.05+0.35=0.4<0.5,知中位數(shù)位于［60,70）內(nèi)，所以中位數(shù)的估計(jì)值為60+a63.3

故選：ABC

10.已知函數(shù)/（x）=sin（Q）x+0）?>O）在三,"上是單調(diào)函數(shù)，且/（0）=/（乃則①的

可能取值為（）

21

A.-B.2C.-D.1

33

【答案】AB

【分析】

分別把選項(xiàng)中的值代入函數(shù)表達(dá)式,驗(yàn)證函數(shù)的性質(zhì)是否滿足，即可判斷.

【詳解】

2

對(duì)于A,（y=—,若/（0）=/（?）=>

..（In］.（n1.*出

sin（p=sm+（p\--sin-yH卜°J=>sm9=^-cos*-/Sinentan(p=-

一e兀

可取夕=—

6

則/（x）=sin（2x+J）,在「工，如上單減，故A正確.

362

n

對(duì)于B,8=2,若/(0)=/(乃)=—/(—5),

sin°=sin(2"+0)=一sin(一萬+0)nsin°=sino=sin0,

TTIT

此時(shí)可以取。=],使得函數(shù)在，劃單減，故B正確.

171

對(duì)于c,a)=-,若于(0)=/(乃)=一/(一萬),

..TC,7C7T

即sincp-sin(——卜哈=-sin(----F(p)-cos(——\-(p),

363

sin^^cos^jsin^

tan^9=V3,^>sin4-^91,故C錯(cuò)誤.

對(duì)于D,<y=l,若/(0)=/(萬)=一/(——)，sin°=sin(;r+e)=-sin(----\-(p)~coscp,

sine=-sin°=sine=OHcose,故D錯(cuò)誤.

故選：AB.

11.發(fā)現(xiàn)土星衛(wèi)星的天文學(xué)家喬凡尼卡西尼對(duì)把卵形線描繪成軌道有興趣.像笛卡爾卵形線一樣，笛卡爾

卵形線的作法也是基于對(duì)橢圓的針線作法作修改，從而產(chǎn)生更多的卵形曲線.卡西尼卵形線是由下列條件所

定義的：曲線上所有點(diǎn)到兩定點(diǎn)（焦點(diǎn)）的距離之積為常數(shù).已知：曲線C是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)0）和

F2（l,0）的距離的積等于常數(shù)/（a〉1）的點(diǎn)的軌跡，則下列命題中正確的是（）

A.曲線C過坐標(biāo)原點(diǎn)

B.曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱

C.曲線C關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱

D.若點(diǎn)在曲線C上，則AEP鳥的面積不大于g/

【答案】BCD

【分析】

動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為（X,y）,根據(jù)題意可得曲線C的方程為［（x+i『+y2｝［（x—i）2+y2］=a4,對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一

驗(yàn)證，即可得出結(jié)論.

【詳解】

由題意設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(蒼y)，

2

貝！IJ(x+1)2+;/.J(x-1)2+/=a,

gp［(x+1)2+/］［(%-I)2+/］=a4,

若曲線C過坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0),將點(diǎn)(0,0)代入曲線C的方程中可得/=1與已知〃＞1矛盾，

故曲線C不過坐標(biāo)原點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；

把方程中的x被-x代換，y被一丫代換，方程不變，

故曲線C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，故B正確；

因?yàn)榘逊匠讨械膞被-x代換，方程不變，故此曲線關(guān)于y軸對(duì)稱，

把方程中的y被一＞‘代換，方程不變，故此曲線關(guān)于x軸對(duì)稱，

故曲線C關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，故C正確；

若點(diǎn)P在曲線C上，則歸耳|歸國=落

S*%=；|P"||P用sinN《P居wg/,當(dāng)且僅當(dāng)/1/＞瑪=90。時(shí)等號(hào)成立，

故△片「鳥的面積不大于故D正確.

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查圓錐曲線新定義，軌跡方程的求法，關(guān)鍵是讀懂題意，并能正確運(yùn)用新定義是解題

的關(guān)鍵，屬于中檔題型.

12.若函數(shù)/(x)是連續(xù)的平滑曲線，且在加上恒非負(fù)，則其圖象與直線x==軸圍成的封閉圖

形面積稱為/(x)在［a,加上的“圍面積”.根據(jù)牛頓-萊布尼茲公式，計(jì)算圍面積時(shí)，若存在函數(shù)/(x)滿足

F(x)=/(%),則F僅)-網(wǎng)。)的值為/(x)在［a,例上的圍面積.下列圍面積計(jì)算正確的有()

A.函數(shù)/(x)=V在［0,1］上的圍面積為:

B.函數(shù)/(x)=2'在［0,2］上的圍面積為菽

C.函數(shù)〃x)=cos2x在0,4上的圍面積為工+工

448

D.函數(shù)/(x)=lnx在［e,e］上的圍面積為e?

【答案】ACD

【分析】

按照新定義，分別判斷是連續(xù)的非負(fù)函數(shù)，判斷存在函數(shù)尸(X)滿足9(x)=/(x),若均滿足代入

"⑶一打。)計(jì)算即可.

【詳解】

對(duì)于A,函數(shù)V在［0,1］上是連續(xù)的非負(fù)函數(shù)，且存在=滿足/(%)=/(無)，所以函數(shù)

/(x)=%3在［0,1］上的圍面積為尸(1)一廠(0)=5,故A對(duì)；

對(duì)于B,函數(shù)/(x)=2-'在［0,2］上是連續(xù)的非負(fù)函數(shù)，且存在尸")=二滿足尸(X)=/(%),所以函數(shù)

3

/(X)=2'在［0,2］上的圍面積為F(2)-F(0)=—,故B錯(cuò);

In2In2In2

nYj

對(duì)于C,函數(shù)/(x)=cos2x在0,-上是連續(xù)的非負(fù)函數(shù)，且存在尸(x)=5+1Sin2x滿足尸(x)=/(x),

所以函數(shù)〃x)=cos2x在0,?上的圍面積為尸((卜尸(0)=：+?,故C對(duì)；

對(duì)于D,函數(shù)/(x)=lnx在［el］上是連續(xù)的非負(fù)函數(shù)，且存在E(x)=xlnx—x滿足產(chǎn)(尤)=/(幻，所

以函數(shù)/(x)=Inx在［e］］上的圍面積為F(e2)-F(e)=^,故D對(duì).

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】

解題的難點(diǎn)在如何找到函數(shù)F(X)滿足尸(尤)=/(x),需要我們對(duì)求導(dǎo)公式及其逆用非常熟悉.

第II卷(非選擇題)

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三、填空題

13.設(shè)x,y,z為正實(shí)數(shù)，滿足x—y+2z=0,則上的最小值是

【答案】3

【解析】解：由題意可得：y=x+2z,貝］:

)'21X+2z1x4z/、Jx4z,八

一+—+422卜x——+4=8

XZXZZX\ZX

當(dāng)且僅當(dāng)x=2z時(shí)等號(hào)成立，即：工的最小值是8.

XZ

點(diǎn)睛：應(yīng)用基本不等式要有兩個(gè)防范意識(shí)：一是在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要把握不等式成立的三個(gè)條

件，就是“一正一一各項(xiàng)均為正；二定一一積或和為定值；三相等一一等號(hào)能否取得"，若忽略了某個(gè)條件，

就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.對(duì)于公式a+b22瘋，,要弄清它們的作用、使用條件及內(nèi)在聯(lián)系，兩個(gè)

公式也體現(xiàn)了ab和a+b的轉(zhuǎn)化關(guān)系.二是在利用不等式求最值時(shí)，一定要盡量避免多次使用基本不等式.若

必須多次使用，則一定要保證它們等號(hào)成立的條件一致.

14.現(xiàn)把楊輝三角中的數(shù)從上到下，從左到右依次排列，得數(shù)列：1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,

6,4,1,......記作數(shù)列｛4｝,若數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和為S”，則S8°=.

【答案】4108

【分析】

數(shù)列｛4｝中前78項(xiàng)在楊輝三角的從第一排到第12排，每排的和為二項(xiàng)式系數(shù)和，其和為:

20+2、2?+…+2”=212-1=4095，｛4｝中最后兩項(xiàng)是第13排的1和12,全部相加可得4108.

【詳解】

楊輝三角中前12行共有1+2+3+4+...+12=78個(gè)數(shù)，

其和為2°+。+2?+…+2"=*-1=4095,

第13行共有2個(gè)位數(shù)，它們是1,12,其和為13,

故§80=4095+13=4108,

故答案為：4108

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了楊輝三角，數(shù)列求和，屬于中檔題.

15.一個(gè)房間的地面是由12個(gè)正方形所組成，如圖所示.今想用長方形瓷磚鋪滿地面，已知每一塊長方形

瓷磚可以覆蓋兩塊相鄰的正方形，即或.，則用6塊瓷磚鋪滿房間地面的方法有

【答案】11

【分析】

將圖形中左側(cè)的兩列瓷磚的形狀先確定，再由此進(jìn)行分類，在每一類里面又分按兩種形狀的瓷磚的數(shù)量進(jìn)

行分類，在其中會(huì)有相同元素的排列問題，需用到“縮倍法”.采用分類計(jì)數(shù)原理，求得總的方法數(shù).

然后再貼剩下的部分，按如下分類:

5!

5個(gè)'=1

然后貼剩下的部分:

3'

二=1

3!

一,

1個(gè)，2個(gè)：2!=2,

綜上，一共有1+4+3+1+2=11（種）.

故答案為：11.

【點(diǎn)睛】

本題考查了分類計(jì)數(shù)原理，排列問題，其中涉及到相同元素的排列，用到了"縮倍法"的思想.屬于中檔題.

22

16.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線當(dāng)—==1（。>（）/〉（））的上支與焦點(diǎn)為廠的拋物線

a"b~

丁2=2力5>0）交于45兩點(diǎn).若同+忸產(chǎn)|=4|0耳，則該雙曲線的漸近線方程為一.

【答案】y=±yj2x

【分析】

22__22=]

先將雙曲線的方程和拋物線的方程聯(lián)立得J/h2,消元化簡得/》2一22〃彳+02〃=(),設(shè)

V=2px

A(x，x),6H，y,),則為+%=出二，再根據(jù)拋物線的定義得

a

IM+1叫=玉+《+々+與=玉+々+P，代入已知條件\AF\+\BF\=4|0月可得竺=1,從而可得雙

22a"

曲線的漸近線方程.

【詳解】

￡片7

22

由雙曲線的方程與—二=1(。>

。力>0)和拋物線的方程y2=2px聯(lián)立得/b2,消元化簡得

a2b2'

yz=2px

a2x2-2ph2x+a2h2=0,

設(shè)4a,乂),6(孫％)，則X[+九2=^^~，

a

由拋物線的定義得\AF\+\BF\=xi+-^+x2+-^=xl+x2+p,

又因?yàn)閨A目+|班1=4|。耳，所以玉+/+〃=4><4,所以之"+p=2p,化簡得竺=1,所以==2,

2aah

所以雙曲線的漸近線方程為y=±y[2x,

故答案為：y=±\[2x.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查雙曲線的漸近線方程的求解與拋物線的定義的運(yùn)用，關(guān)鍵在于聯(lián)立方程得出關(guān)于交點(diǎn)的橫坐

標(biāo)的韋達(dá)定理，再根據(jù)拋物線的定義轉(zhuǎn)化拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，屬于中檔題。

四、解答題

17.在①GsinC+cosC=^^,(5)sin2B+sin2C-sin2A=sin5sinC，③

a

2cosA(ccos8+6cosC)=a這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并作答.

問題：在AASC中，內(nèi)角A,B,。所對(duì)的邊分別為。，b,c,且________.

(1)求角A;

(2)若。是AABC內(nèi)一點(diǎn)，ZAOB=no°,ZAOC=15Q0,b=\,c=3,求tanNABO.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】(1)60°；(2)

9

【分析】

(1)選①，利用正弦定理將邊化角結(jié)合正弦和差公式計(jì)算即可；選②，由正弦定理將角化邊，再用余弦

定理計(jì)算即可；選③，將邊化角再結(jié)合正弦和差公式計(jì)算即可；

(2)在AABO和△ACO中，利用正弦定理結(jié)合和差公式即可得出tanNA6O值.

【詳解】

方案一：選條件①

(1)???GsinC+cosC="=sinB+sinC

asinA

百sinCsinA+cosCsinA=sin(A+C)+sinC

整理得(bsinA-cosA)sinC=sinC

二"sinA-cosA=l

sin(4-30。)=；

又0。<4<18()。

"=60°

(2)■,■ZOAC+ZOAB=60°,ZOAB+ZABO=180°-120°=60°

ZOAC=ZABO

在AABO中，———=---

sinZABOsin120°

AO=2GsinZABO

1AOAO

在中'sin150°一sinNACO-sin(30。一/480)

.?.AO=2sin(30。-Z4BO)

2sin(30°-ZABO)=2^sinZABO

整理得cosZABO=3百sinZABO

tanAABO=——

9

方案二：選條件②

（1）;sin28+sh?C—sir?A=sinBsinC

,-.b2+c2-a2-be

又0。<4<180。

.-.A=60°

(2)同方案一(2)

方案三：選條件③

(1),.-2008A(ccosB+bcosC)=a

2cosA(sinCeosB+sinBcosC)-sinA

2cosAsinA=sinA

“1

cosA=一

2

又0。<4<18()。

"=60°

(2)同方案一(2)

【點(diǎn)睛】

在處理三角形中的邊角關(guān)系時(shí)，一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系.題中若出現(xiàn)邊的一次式一

般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理.應(yīng)用正、余弦定理時(shí)，注意公式變式的應(yīng)用.解

決三角形問題時(shí)，注意角的限制范圍.

18.根據(jù)預(yù)測，疫情期間，某醫(yī)院第天口罩供應(yīng)量和消耗量分別為4和仇，(單位：個(gè))，其中

54?]5]3

a"=''+，〃〃+5,第〃天末的口罩保有量是前“天的累計(jì)供應(yīng)量與消耗量的差.

-10n+470,n>4

(1)求該醫(yī)院第4天末的口罩保有量;

(2)已知該醫(yī)院口罩倉庫在第〃天末的口罩容納量S.=T(〃-46)2+8800(單位：個(gè)).設(shè)在某天末，

口罩保有量達(dá)到最大，問該保有量是否超出了此時(shí)倉庫的口罩容納量？

【答案】(1)935；(2)第42天末，口罩保有量達(dá)到最大超過了.

【分析】

(1)分別將n=1,2,3,4代入凡和切算出前4個(gè)天的口罩供應(yīng)量和消耗量，差值即為保有量；

(2)當(dāng)供應(yīng)量大于消耗量時(shí)，口罩保有量增加，根據(jù)明和“列出不等式，求出〃的最大值，計(jì)算出最大

保有量和最大容納量比較即可得出結(jié)論.

【詳解】

(1)第4天末的口罩保有量是前4天口罩供應(yīng)量和消耗量之差，

將“=1,2,3,4代入a,和久得第4天末的口罩保有量為：

(q+?+%+4)—伍+4+2)=(20+95+420+430)—(6+7+8+9)=935,

所以該醫(yī)院第4天末的口罩保有量為935；

(2)當(dāng)時(shí)，保有量始終增加.

即一10〃+4702〃+5,〃為正整數(shù)，解得〃W42,

即第42天末的時(shí)候，保有量達(dá)到最大，

此時(shí)(4+Cl-,+q+???+。42)-(仿+4+4+.,，+32)

(420+50)x38(6+47)x42

=965+-------------------』——=8782,

22

而容納量為S42=T(42-46)2+8800=8736,

而8782>8736,所以保有量超過了容納量.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是讀懂題意當(dāng)供應(yīng)量大于消耗量時(shí)，口罩保有量增加，前4個(gè)天的口罩供應(yīng)量

和消耗量差值即為保有量；第二問當(dāng)/>/時(shí)，保有量始終增加，由—1(比+4702〃+5,〃為正整數(shù)，

解得〃W42,即第42天末的時(shí)候，保有量達(dá)到最大，計(jì)算出前42天保有量和第42天末的口罩容納量比較

即可.

19.在四棱錐A—BCDE中，底面BCDE為梯形,BCI/DE.設(shè)CD,BE,AE,A。的中點(diǎn)分別為M,N,P,Q.

(1)求證:M,N,P,Q四點(diǎn)共面；

⑵若ACJ,DE,且AC=,求異面直線DE與PN所成角的大小.

【答案】(1)見解析(2)60。.

【分析】

(1)由條件可知PQ//OE,M/V//O￡,可知?。//例N,可證明四點(diǎn)共面；

(2)由條件可知NABC(或其補(bǔ)角)即為異面直線OE與PN所成的角，再求解.

【詳解】

解析⑴證明:因?yàn)镃D,BE.AE,AO的中點(diǎn)分別為M,N,P,Q,

所以PQ為MDE的中位線,MN為梯形BCDE的中位線.

斫以PQ//DE,MN//DE,

所以PQ//MN,

所以M,N,P,Q四點(diǎn)共面.

(2)因?yàn)镻N為AABE的中位線，

所以PN//AB.

又6C//OE,所以NAfiC(或其補(bǔ)角)即為異面直線OE與PN所成的角.

又AC_LZ)E,所以AC_LBC.

在RtA中,tanZABC=—=G,所以NABC=60".

BCBC

所以異面直線DE與PN成的角為60。.

【點(diǎn)睛】

本題考查四點(diǎn)共面和異面直線所成的角，意在考查推理，證明能力，屬于基礎(chǔ)題型.

20.某研究所設(shè)計(jì)了一款智能機(jī)器人，為了檢驗(yàn)設(shè)計(jì)方案中機(jī)器人動(dòng)作完成情況，現(xiàn)委托某工廠生產(chǎn)500個(gè)

機(jī)器人模型，并對(duì)生產(chǎn)的機(jī)器人進(jìn)行編號(hào)：001,002,……,500,采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為50的

機(jī)器人樣本，試驗(yàn)小組對(duì)50個(gè)機(jī)器人樣本的動(dòng)作個(gè)數(shù)進(jìn)行分組，頻率分布直方圖及頻率分布表中的部分?jǐn)?shù)

據(jù)如圖所示，請(qǐng)據(jù)此回答如下問題：

分組機(jī)器人數(shù)頻率

[50,60)0.08

[60,70)10

[70,80)10

[80,90)

[90J00]6

0.00S

_入八tX

(1)補(bǔ)全頻率分布表，畫出頻率分布直方圖；

(2)若隨機(jī)抽的第一個(gè)號(hào)碼為003,這500個(gè)機(jī)器人分別放在4,SC三個(gè)房間，從001到200在A房間，從201

到355在B房間，從356到500在C房間，求B房間被抽中的人數(shù)是多少？

(3)從動(dòng)作個(gè)數(shù)不低于80的機(jī)器人中隨機(jī)選取2個(gè)機(jī)器人，該2個(gè)機(jī)器人中動(dòng)作個(gè)數(shù)不低于90的機(jī)器人記

為f,求f的分布列與數(shù)學(xué)期望.

【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)見解析.

【解析】

試題分析：

⑴首先繪制頻率分布表，然后繪制頻率分布直方圖即可；

(2)利用系統(tǒng)采用的方法可得B房間被抽中的人數(shù)是20個(gè)；

⑶利用題意首先寫出分布列，然后求解數(shù)學(xué)期望可得E(1)=卷.

試題解析：

(1)頻率分布直方圖及頻率分布表中的部分?jǐn)?shù)組如圖所示，請(qǐng)據(jù)此回答如下問題:

分組機(jī)器人數(shù)頻率

[50,60)40.08

[60,70)100.2

[70,80)100.2

[80,90)200.4

[90,100]60.12

(2)系統(tǒng)抽樣的分段間隔為翳=10,在隨機(jī)抽樣中，首次抽到003號(hào)，以后每隔10個(gè)抽到一個(gè)，則被抽

中的機(jī)器人數(shù)構(gòu)成以3為首項(xiàng)，10為公差的等差數(shù)列，故可分別求出在001到200中有20個(gè)，在201至355號(hào)

中共有16個(gè),

(3)該2個(gè)機(jī)器人中動(dòng)作個(gè)數(shù)不低于90的機(jī)器人數(shù)記為0己的取值為0,1,2,所以Pd=0)=第=號(hào),P([=

L2665

D=警姿，P("2)=餐.，

所以8的分布列

012

38243

p

656565

數(shù)學(xué)期望E（D=,xO+Kxl+2x2=*

OD0303ID

22r-

21.如圖，已知橢圓。：￡？+}=1（。>6>0）的右焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)（T,日）在橢圓。上，過原點(diǎn)。的直線與

橢圓C相交于用、N兩點(diǎn)，K|MF|+|NF|=4.

（田）求橢圓C的方程；

（0）設(shè)P（LO）,Q（4,0）,過點(diǎn)。且斜率不為零的直線與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，證明：ZAPO3BPQ.

r2

【答案】（曰）—+/=1；（0）見解析.

4

【分析】

（團(tuán)）取橢圓C的左焦點(diǎn)F',連MF'、NF',由橢圓的幾何性質(zhì)知|人因=固尸|,則\MF'\+\MF\=2a=4,

設(shè)橢圓方程代入點(diǎn)［-J即可求解（附設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（玉,y）,點(diǎn)3的坐標(biāo)為（々，必），直線A3的

方程為：y=Z（x-4）伏。0）,聯(lián)立方程組,消元得（4公+1卜2―32左%+64二一4=0,寫出AP的斜率，

同理得直線族的斜率，利用根與系數(shù)的關(guān)系化簡即可得出結(jié)論.

（0）如圖，取橢圓。的左焦點(diǎn)￡，，連"產(chǎn)、NF',由橢圓的幾何性質(zhì)知?jiǎng)t

\MF'\+\MF\^2a=4,得a=2,

將點(diǎn)［t曰卜入橢圓。的方程得：方

5+卜=1,解得：b=T

2

故橢圓。的方程為：—+/=1.

4

V

（回）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（％,y）,點(diǎn)8的坐標(biāo)為（馬，為）

由圖可知直線的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為：＞=左（%-4乂攵HO）

聯(lián)立方程＜~4+），=1,消去＞得：（4/+1）尤2—3242%+64爐-4=0,

y二女（九一4）

A=（32尸丫_4（4%2+1）（64/一4）＞0,k?＜；.

6422—4

直線AP的斜率為：/4="（"町

同理直線族的斜率為：MT

出(%1-4)(z—1)+A(左—4)(%—1)-5(%+4)+8]

（XT）（%T）

/128公一8160攵2）

14^+14公+1）女（128/一8—160/+32/+8））t（160）t2-8-160）l2+8）

64k2-4-32k264標(biāo)—4-32/+4公+136k2-3

---------------P]

4k2+\4A：2+1

由上得直線AP與BP的斜率互為相反數(shù)，可得NAPO=NBPQ.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了橢圓的定義，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，直線的斜率，屬于難題.

22.設(shè)函數(shù)7（%）uZlnx-mx2+1.

（1）當(dāng)/（X）有極值時(shí)，若存在/，使得/