中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)滿分突破（全國通用）：專題24 特殊的平行四邊形-矩形（解析版）

專題24特殊的平行四邊形-矩形【考查題型】【知識要點】矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。矩形的性質(zhì)：1）矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)；2）矩形的四個角都是直角；3）對角線互相平分且相等；4）矩形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形。矩形的對稱中心是矩形對角線的交點；矩形有兩條對稱軸，矩形的對稱軸是過矩形對邊中點的直線；矩形的對稱軸過矩形的對稱中心。【推論】1）在直角三角形中斜邊的中線，等于斜邊的一半。2）直角三角形中，30度角所對應(yīng)的直角邊等于斜邊的一半。矩形的判定：1)有一個角是直角的平行四邊形是矩形；

2）對角線相等的平行四邊形是矩形；3）有三個角是直角的四邊形是矩形。矩形的面積公式：面積=長×寬考查題型一利用矩形的性質(zhì)求解典例1．（2022·貴州黔東南·統(tǒng)考中考真題）一塊直角三角板按如圖所示方式放置在一張長方形紙條上，若，則的度數(shù)為（

）A．28° B．56° C．36° D．62°【答案】D【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出EF∥GH，過點C作CA∥EF，利用平行線的性質(zhì)得出∠2=∠MCA，∠1=CAN，然后代入求解即可．【詳解】解：如圖所示標(biāo)注字母，∵四邊形EGHF為矩形，∴EF∥GH，過點C作CA∥EF，∴CA∥EF∥GH，∴∠2=∠MCA，∠1=∠NCA，∵∠1=28°，∠MCN=90°，∴∠2=∠MCA=90°-∠1=62°，故選：D．【點睛】題目主要考查矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角度的計算等，理解題意，作出相應(yīng)輔助線是解題關(guān)鍵．變式1-1．（2022·山東日照·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形ABCD為一個正在倒水的水杯的截面圖，杯中水面與CD的交點為E，當(dāng)水杯底面BC與水平面的夾角為27°時，∠AED的大小為（

）A．27° B．53° C．57° D．63°【答案】D【分析】根據(jù)題意可知AE//BF，∠EAB=∠ABF，∠ABF+27°=90°，等量代換求出∠EAB，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠AED．【詳解】解：如圖所示：∵AE//BF，∴∠EAB=∠ABF，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB//CD，∠ABC=90°，∴∠ABF+27°=90°，∴∠ABF=63°，∴∠EAB=63°，∵AB//CD，∴∠AED=∠EAB=63°．故選：D．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟記矩形的性質(zhì)并靈活運用是解題的關(guān)鍵．矩形的性質(zhì)：①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；②角：矩形的四個角都是直角；③邊：鄰邊垂直；④對角線：矩形的對角線相等．變式1-2．（2022·安徽·統(tǒng)考中考真題）兩個矩形的位置如圖所示，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】用三角形外角性質(zhì)得到∠3=∠1-90°=α-90°，用余角的定義得到∠2=90°-∠3=180°-α．【詳解】解：如圖，∠3=∠1-90°=α-90°，∠2=90°-∠3=180°-α．故選：C．【點睛】本題主要考查了矩形，三角形外角，余角，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形的角的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，互為余角的定義．變式1-3．（2022·內(nèi)蒙古通遼·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，為上的點，，，則______．【答案】##【詳解】解：設(shè)，在矩形中，為上的點，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，求正切，掌握正確的定義是解題的關(guān)鍵．變式1-4．（2022·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）“美麗鄉(xiāng)村”建設(shè)使我市農(nóng)村住宅舊貌變新顏，如圖所示為一農(nóng)村民居側(cè)面截圖，屋坡，分別架在墻體的點，處，且，側(cè)面四邊形為矩形，若測得，則_________．【答案】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，求出，根據(jù)等邊對等角可得，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】四邊形為矩形，故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．變式1-5．（2021·廣西賀州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，，分別為，的中點，以為斜邊作，，連接，．若，則________．【答案】【分析】根據(jù)矩形及等腰三角形的性質(zhì)先求出，再利用中點定義及矩形性質(zhì)可得，則可求出，，即可求得結(jié)果．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，．∵，，∴．∴．∵，分別為，的中點，∴，．∵，∴．∴，．∴．故答案為：．【點睛】此題考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握矩形與等腰三角形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．考查題型二利用矩形的性質(zhì)求線段長典例2．（2022·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，，分別以點A和C為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點M和N，作直線分別交于點E，F(xiàn)，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)矩形可知為直角三角形，根據(jù)勾股定理可得的長度，在中得到，又由題知為的垂直平分線，于是，于是在中，利用銳角三角函數(shù)即可求出的長．【詳解】解：設(shè)與的交點為，四邊形為矩形，，，，為直角三角形，，，，，又由作圖知為的垂直平分線，，，在中，，，，．故選：D．【點睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，垂直平分線，勾股定理，掌握定理以及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式2-1（2022·山東濟南·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形ABCD中，分別以A，C為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于M，N兩點，作直線MN分別交AD，BC于點E，F(xiàn)，連接AF，若BF＝3，AE＝5，以下結(jié)論錯誤的是（

）A．AF＝CF B．∠FAC＝∠EAC C．AB＝4 D．AC＝2AB【答案】D【分析】根據(jù)作圖過程可得，是的垂直平分線，再由矩形的性質(zhì)可以證明，可得再根據(jù)勾股定理可得AB的長，即可判定得出結(jié)論．【詳解】解：A，根據(jù)作圖過程可得，是的垂直平分線，故此選項不符合題意．B，如圖，由矩形的性質(zhì)可以證明，∵是的垂直平分線，故此選項不符合題意．C，在中故此選項不符合題意．D，故此選項符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了作圖-基本作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握基本作圖方法．變式2-2．（2022·貴州銅仁·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，，則D的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)A、B的坐標(biāo)求出AB的長，則CD=AB=6，并證明軸，同理可得軸，由此即可得到答案．【詳解】解：∵A（-3，2），B（3，2），∴AB=6，軸，∵四邊形ABCD是矩形，∴CD=AB=6，軸，同理可得軸，∵點C（3，-1），∴點D的坐標(biāo)為（-3，-1），故選D．【點睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，矩形的性質(zhì)，熟知矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式2-3．（2022·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，連接BD，分別以B、D為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于P、Q兩點，作直線PQ，分別與AD、BC交于點M、N，連接BM、DN．若，．則四邊形MBND的周長為（

）A． B．5 C．10 D．20【答案】C【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，從而可得，根據(jù)平行線的判定可得，然后根據(jù)菱形的判定可得四邊形是菱形，設(shè)，則，在中，利用勾股定理可得的值，最后根據(jù)菱形的周長公式即可得．【詳解】解：四邊形是矩形，，，由作圖過程可知，垂直平分，，，，，四邊形是平行四邊形，又，平行四邊形是菱形，設(shè)，則，在中，，即，解得，則四邊形的周長為，故選：C．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、勾股定理、線段垂直平分線等知識點，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．變式2-4．（2022·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，，，點E、F分別為、的中點，、相交于點G，過點E作，交于點H，則線段的長度是（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，求出，，求出，根據(jù)勾股定理求出，求出，根據(jù)三角形的中位線求出，根據(jù)相似三角形的判定得出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，再求出答案即可．【詳解】解析：四邊形是矩形，，，，，，點E、F分別為、的中點，，，，，，．由勾股定理得：，，，，，，解得：，故選：A．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)和判定，能熟記矩形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．變式2-5．（2022·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，按以下步驟作圖：①分別以點B和D為圓心，以大于BD的長為半徑作弧，兩弧相交于點E和F；②作直線EF分別與DC，DB，AB交于點M，O，N．若DM＝5，CM＝3，則MN＝_____．【答案】【分析】作輔助線，利用垂直平分線的性質(zhì)得出的值，OB＝OD，由矩形的性質(zhì)、勾股定理得出，的值，進(jìn)而得出，的值，根據(jù)全等三角形的判定（角邊角）得出△MDO≌△BNO，最后利用全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，連接BM．由作圖可知MN垂直平分線段BD，∴BM＝DM＝5．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，CD∥AB．∴BC＝＝＝4．∴BD＝＝＝．∴OB＝OD＝．∵∠MOD＝90°，∴OM＝＝＝．∵CD∥AB，∴∠MDO＝∠NBO．在△MDO和△NBO中，∴△MDO≌△BNO（ASA）．∴OM＝ON＝．∴MN＝．故答案為：．【點睛】本題考查線段的垂直平分線的性質(zhì)，作圖—基本作圖，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)等的理解與運用能力．線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．兩個三角形的兩個角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩三角形全等；兩全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．在一個直角三角形中，兩個直角邊邊長的平方加起來等于斜邊長的平方．掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．變式2-6．（2022·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，點E、F分別是AB、DC上的動點，EF∥BC，則AF+CE的最小值是_____．【答案】10【分析】延長BC到G，使CG＝EF，連接FG，證明四邊形EFGC是平行四邊形，得出CE＝FG，得出當(dāng)點A、F、G三點共線時，AF+CE的值最小，根據(jù)勾股定理求出AG即可．【詳解】解：延長BC到G，使CG＝EF，連接FG，∵，EF＝CG，∴四邊形EFGC是平行四邊形，∴CE＝FG，∴AF+CE＝AF+FG，∴當(dāng)點A、F、G三點共線時，AF+CE的值最小為AG，由勾股定理得，AG＝＝＝10，∴AF+CE的最小值為10，故答案為：10．【點睛】本題主要考查了勾股定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，得出當(dāng)A、F、G三點共線時，AF+CE的值最小，是解題的關(guān)鍵．變式2-7．（2022·吉林·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，對角線，相交于點，點是邊的中點，點在對角線上，且，連接．若，則__________．【答案】##2.5【分析】由矩形的性質(zhì)可得點F是OA的中點，從而EF是△AOD的中位線，則由三角形中位線定理即可求得EF的長．【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，∴BD=AC=10，OA=AC，OD=BD=5，∵，∴，即點F是OA的中點．∵點是邊的中點，∴EF是△AOD的中位線，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理等知識，掌握中位線定理是本題的關(guān)鍵．變式2-8．（2021·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，E為的中點，連接，過點E作的垂線交于點F，交CD的延長線于點G，連接CF．已知，，則_________．【答案】【分析】由題意，先證明△AEF≌△DEG，則EF=EG，，利用等腰三角形的性質(zhì)，求出，然后得到AB=CD=，則，利用勾股定理求出BC，然后得到AE的長度，即可求出FE的長度．【詳解】解：根據(jù)題意，在矩形中，則AB=CD，BC=AD，∠A=∠EDG=90°，∵E為的中點，∴AE=DE，∵∠AEF=∠DEG，∴△AEF≌△DEG，∴EF=EG，；∵CE⊥FG，∴，∴AB=CD=，∴，在直角△BCF中，由勾股定理則，∴AD=3，∴，在直角△AEF中，由勾股定理則；故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識，正確得到．變式2-9．（2021·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，以點B為圓心、BC的長為半徑畫弧交AD于點E，再分別以點C，E為圓心、大于CE的長為半徑畫弧，兩弧交于點F，作射線BF交CD于點G，則CG的長為__________________．【答案】【分析】根據(jù)作圖過程可得BF是∠EBC的平分線，然后證明△EBG≌△CBG，再利用勾股定理即可求出CG的長．【詳解】解：如圖，連接EG，根據(jù)作圖過程可知：BF是∠EBC的平分線，∴∠EBG＝∠CBG，在△EBG和△CBG中，，∴△EBG≌△CBG（SAS），∴GE＝GC，∠BEG=∠C=90°，在Rt△ABE中，AB＝6，BE＝BC＝10，∴AE＝＝8，∴DE＝AD﹣AE＝10﹣8＝2，在Rt△DGE中，DE＝2，DG＝DC﹣CG＝6﹣CG，EG＝CG，∴EG2﹣DE2＝DG2∴CG2﹣22＝（6﹣CG）2，解得CG＝．故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，作圖-基本作圖，解決本題的關(guān)鍵是掌握矩形的性質(zhì)．變式2-10．（2021·貴州安順·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，點在上，，且，垂足為．（1）求證：；（2）若，求四邊形的面積．【答案】（1）見詳解；（2）4-8【分析】（1）由矩形的性質(zhì)可得∠D=90°，AB∥CD，從而得∠D=∠ANB，∠BAN=∠AMD，進(jìn)而即可得到結(jié)論；（2）由以及勾股定理得AN=DM=4，AB=，進(jìn)而即可求解．【詳解】（1）證明：∵在矩形中，∴∠D=90°，AB∥CD，∴∠BAN=∠AMD，∵，∴∠ANB=90°，即：∠D=∠ANB，又∵，∴（AAS），（2）∵，∴AN=DM=4，∵，∴，∴AB=，∴矩形的面積=×2=4，又∵，∴四邊形的面積=4-4-4=4-8．【點睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握AAS證明三角形全等，是解題的關(guān)鍵．考查題型三利用矩形的性質(zhì)求面積典例3．（2022·浙江臺州·統(tǒng)考中考真題）一個垃圾填埋場，它在地面上的形狀為長，寬的矩形，有污水從該矩形的四周邊界向外滲透了，則該垃圾填埋場外圍受污染土地的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可知受污染土地由兩類長分別為，，寬分別為的矩形，及四個能組成一個以半徑為的圓組成，求出面積和即可．【詳解】解：根據(jù)題意可知受污染土地由兩類長分別為，，寬分別為的矩形，及四個能組成一個以半徑為的圓組成，面積為：，故選：B．【點睛】本題考查了矩形的面積，圓的面積的求法，解題的關(guān)鍵是讀懂題目，明確所求的面積的組成部分為哪些．變式3-1．（2022·湖南邵陽·統(tǒng)考中考真題）已知矩形的一邊長為，一條對角線的長為，則矩形的面積為_________．【答案】48【分析】如圖，先根據(jù)勾股定理求出，再由求解即可．【詳解】解：在矩形ABCD中，，，∴在中，(cm)，∴．故答案為：48．【點睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟知上述知識．變式3-2．（2021·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形與均為矩形，點分別在線段上．若，矩形的周長為，則圖中陰影部分的面積為___________．【答案】【分析】根據(jù)矩形性質(zhì)和矩形周長，得到，然后設(shè)，然后根據(jù)列出代數(shù)式即可求解陰影部分面積．【詳解】∵矩形的周長為，∴，設(shè)，則，，，，故答案為．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，和列代數(shù)式及整式的化簡，關(guān)鍵是讀懂題目，列出代數(shù)式．變式3-3．（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，，，以B為圓心，的長為半徑畫弧，交于點E．則圖中陰影部分的面積為_________．（結(jié)果保留）【答案】【分析】先根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù)值，求出，進(jìn)而求出，再根據(jù)扇形的面積公式求解即可．【詳解】解：∵矩形，，以B為圓心，的長為半輕畫弧，交于點E，，，在中，，，，，S陰影．故答案為：．【點睛】本題考查了由特殊角的三角函數(shù)值求角度數(shù)，矩形的性質(zhì)，扇形的面積的計算，綜合掌握以上知識點并熟練運用是解題的關(guān)鍵．變式3-4．（2022·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，是邊上一點，且，與相交于點，若的面積是，則的面積是______．【答案】27【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，很容易證明∽，相似三角形之比等于對應(yīng)邊比的平方，即可求出的面積．【詳解】解：四邊形是矩形，，，，∽，，，：：，：：，即：：，．故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，綜合性比較強，學(xué)生要靈活應(yīng)用．掌握相似三角形的面積比是相似比的平方是解題的關(guān)鍵．變式3-5．（2022·湖南湘潭·統(tǒng)考中考真題）為落實國家《關(guān)于全面加強新時代大中小學(xué)勞動教育的意見》，某校準(zhǔn)備在校園里利用圍墻（墻長）和長的籬笆墻，圍成Ⅰ、Ⅱ兩塊矩形勞動實踐基地．某數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計了兩種方案（除圍墻外，實線部分為籬笆墻，且不浪費籬笆墻），請根據(jù)設(shè)計方案回答下列問題：(1)方案一：如圖①，全部利用圍墻的長度，但要在Ⅰ區(qū)中留一個寬度的水池且需保證總種植面積為，試分別確定、的長；(2)方案二：如圖②，使圍成的兩塊矩形總種植面積最大，請問應(yīng)設(shè)計為多長？此時最大面積為多少？【答案】(1)CG長為8m，DG長為4m(2)當(dāng)BC=m時，圍成的兩塊矩形總種植面積最大=m2【分析】（1）兩塊籬笆墻的長為12m，籬笆墻的寬為AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，設(shè)CG為am，DG為(12-a)m，再由矩形面積公式求解；（2）設(shè)兩塊矩形總種植面積為y，BC長為xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由題意得，圍成的兩塊矩形總種植面積最大=BC×DC，代入有關(guān)數(shù)據(jù)再把二次函數(shù)化成頂點式即可.【詳解】（1）解：兩塊籬笆墻的長為12m，籬笆墻的寬為AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，設(shè)CG為am，DG為(12-a)m，那么AD×DC-AE×AH=32即12×3-1×（12-a）=32解得：a=8∴CG=8m，DG=4m．（2）解：設(shè)兩塊矩形總種植面積為ym2，BC長為xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由題意得，兩塊矩形總種植面積=BC×DC即y=x·(21-3x)∴y=-3x2+21x=-3(x-)2+∵21-3x≤12∴x≥3∴當(dāng)BC=m時，y最大=m2．【點睛】此題考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解題意找到等量關(guān)系列出方程．考查題型四利用矩形的性質(zhì)證明典例4（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）我們知道，矩形的面積等于這個矩形的長乘寬，小明想用其驗證一個底為a，高為h的三角形的面積公式為．想法是：以為邊作矩形，點A在邊上，再過點A作的垂線，將其轉(zhuǎn)化為證三角形全等，由全等圖形面積相等來得到驗證．按以上思路完成下面的作圖與填空：證明：用直尺和圓規(guī)過點A作的垂線交于點D．（只保留作圖痕跡）在和中，∵，∴．∵，∴______①____．∵，∴______②_____．又∵_(dá)___③______．∴（）．同理可得：_____④______．．【答案】圖見解析，∠ADC=∠F；∠1=∠2；AC=AC；△ABD≌△BAE【分析】根據(jù)垂線的作圖方法作圖即可，利用垂直的定義得到∠ADC=∠F，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠1=∠2，即可證明△ADC≌△CAF，同理可得△ABD≌△BAE，由此得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，AD即為所求，在和中，∵，∴．∵，∴∠ADC=∠F．∵，∴∠1=∠2．又∵AC=AC．∴（）．同理可得：△ABD≌△BAE．．故答案為：∠ADC=∠F；∠1=∠2；AC=AC；△ABD≌△BAE．【點睛】此題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，垂線的作圖方法，矩形的性質(zhì)，熟練掌握三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．變式4-1．（2022·山西·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AC是對角線．(1)實踐與操作：利用尺規(guī)作線段AC的垂直平分線，垂足為點O，交邊AD于點E，交邊BC于點F（要求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡，不寫作法，標(biāo)明字母），(2)猜想與證明：試猜想線段AE與CF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【答案】(1)作圖見解析(2)，證明見解析【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的尺規(guī)作圖的畫法，分別以A、C為圓心，以大于AC的長為半徑畫弧，交于兩點，過兩點作直線即可得到線段AC的垂直平分線．（2）利用矩形及垂直平分線的性質(zhì)，可以證得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖，（2）解：．證明如下：∵四邊形ABCD是矩形，∴．∴．∵EF為AC的垂直平分線，∴．∴．∴．【點睛】本題主要考查了垂直平分線的尺規(guī)作圖的畫法、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)．變式4-2（2022·山東威?！そy(tǒng)考中考真題）如圖:(1)將兩張長為8，寬為4的矩形紙片如圖1疊放．①判斷四邊形AGCH的形狀，并說明理由；②求四邊形AGCH的面積．(2)如圖2，在矩形ABCD和矩形AFCE中，AB＝2，BC＝7，CF＝，求四邊形AGCH的面積．【答案】(1)①菱形，理由見解析；②20(2)【分析】（1）①根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明即可；②設(shè)AH=CG=x，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題；（2）兩個矩形的對角線相等，可得出EC的長，設(shè)AH=CG=x，利用勾股定理以及邊長之間的關(guān)系可得出x的值，進(jìn)而可求出面積．（1）①∵四邊形ABCD，四邊形AECF都是矩形∴∴四邊形AHCG為平行四邊形∵∴∴∴四邊形AHCG為菱形；②設(shè)AH=CG=x，則DH=AD-AH=8-x在中即解得∴四邊形AHCG的面積為；（2）由圖可得矩形ABCD和矩形AFCE對角線相等∴∴設(shè)AH=CG=x則HD=7-x在中，在中，∵EC=EH+CH=8∴x=3∴四邊形AGCH的面積為．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．考查題型五矩形折疊問題典例5．（2022·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）如圖所示，將一矩形紙片沿AB折疊，已知，則（

）A．48° B．66° C．72° D．78°【答案】C【分析】由折疊及矩形的性質(zhì)可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，根據(jù)周角的定義求解即可．【詳解】∵將一矩形紙片沿AB折疊，∴，，，，，故選：C．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．變式5-1．（2022·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考中考真題）矩形紙片中，E為的中點，連接，將沿折疊得到，連接．若，，則的長是（

）A．3 B． C． D．【答案】D【分析】連接BF交AE于點G，根據(jù)對稱的性質(zhì)，可得AE垂直平分BF，BE=FE，BG=FG=，根據(jù)E為BC中點，可證BE=CE=EF，通過等邊對等角可證明∠BFC=90°，利用勾股定理求出AE，再利用三角函數(shù)（或相似）求出BF，則根據(jù)計算即可．【詳解】連接BF，與AE相交于點G，如圖，∵將沿折疊得到∴與關(guān)于AE對稱∴AE垂直平分BF，BE=FE，BG=FG=∵點E是BC中點∴BE=CE=DF=∴∵∴∴∵BE=CE=DF∴∠EBF=∠EFB，∠EFC=∠ECF∴∠BFC=∠EFB+∠EFC=∴故選D【點睛】本題考查了折疊對稱的性質(zhì)，熟練運用對稱性質(zhì)證明相關(guān)線段相等是解題的關(guān)鍵．變式5-2．（2022·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形紙片ABCD中，，，將沿BD折疊到位置，DE交AB于點F，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，利用“AAS”證明，得出，，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程，解方程得出x的值，最后根據(jù)余弦函數(shù)的定義求出結(jié)果即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴CD=AB=5，AB=BC=3，，根據(jù)折疊可知，，，，∴在△AFD和△EFB中，∴（AAS），∴，，設(shè)，則，在中，，即，解得：，則，∴，故C正確．故選：C．【點睛】本題主要考查了矩形的折疊問題，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)的定義，根據(jù)題意證明，是解題的關(guān)鍵．變式5-3．（2022·遼寧營口·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，點M在邊上，把沿直線折疊，使點B落在邊上的點E處，連接，過點B作，垂足為F，若，則線段的長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先證明△BFC≌△CDE，可得DE=CF=2，再用勾股定理求得CE=，從而可得AD=BC=，最后求得AE的長．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴BC=AD，∠ABC=∠D=90°，AD∥BC，∴∠DEC=∠FCB，∵，∴∠BFC=∠CDE，∵把沿直線折疊，使點B落在邊上的點E處，∴BC=EC，在△BFC與△CDE中，∴△BFC≌△CDE（AAS），∴DE=CF=2，∴，∴AD=BC=CE=，∴AE=AD-DE=，故選：A．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、折疊的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形中的折疊問題．變式5-4．（2021·貴州遵義·統(tǒng)考中考真題）如圖，將矩形紙片ABCD的兩個直角進(jìn)行折疊，使CB，AD恰好落在對角線AC上，B′，D′分別是B，D的對應(yīng)點，折痕分別為CF，AE．若AB＝4，BC＝3，則線段的長是（）A． B．2 C． D．1【答案】D【分析】先利用矩形的性質(zhì)與勾股定理求解再利用軸對稱的性質(zhì)求解，從而可得答案.【詳解】解：矩形紙片ABCD，由折疊可得：同理：故選：【點睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，軸對稱的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.變式5-5．（2021·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形AOBC的頂點A、B在坐標(biāo)軸上，點C的坐標(biāo)是(﹣10，8)，點D在AC上，將BCD沿BD翻折，點C恰好落在OA邊上點E處，則tan∠DBE等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)四邊形ABCD是矩形，C（-10，8），得出BC=AO=10，AC=OB=8，∠A=∠O=∠C=90°，再由折疊的性質(zhì)得到CD=DE，BC=BE=10，∠DEB=∠C=90°，利用勾股定理先求出OE的長，即可得到AE，再利用勾股定理求出DE，利用求解即可.【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，C（-10，8），∴BC=AO=10，AC=OB=8，∠A=∠O=∠C=90°，由折疊的性質(zhì)可知：CD=DE，BC=BE=10，∠DEB=∠C=90°，在直角三角形BEO中：，∴，設(shè)，則在直角三角形ADE中：，∴，解得，∴，∵∠DEB=90°，∴，故選D.【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解.變式5-6（2022·山東濰坊·中考真題）小瑩按照如圖所示的步驟折疊A4紙，折完后，發(fā)現(xiàn)折痕AB′與A4紙的長邊AB恰好重合，那么A4紙的長AB與寬AD的比值為___________．【答案】【分析】判定△AB′D′是等腰直角三角形，即可得出AB′=AD，再根據(jù)AB′=AB，再計算即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D=∠B=∠DAB=90°，由操作一可知：∠DAB′=∠D′AB′=45°，∠AD′B′=∠D=90°，AD=AD′，∴△AB′D′是等腰直角三角形，∴AD=AD′=B′D′，由勾股定理得AB′=AD，又由操作二可知：AB′=AB，∴AD=AB，∴=，∴A4紙的長AB與寬AD的比值為．故答案為：．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)以及折疊變換的運用，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．變式5-7．（2022·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形紙片ABCD中，點E在BC邊上，將沿DE翻折得到，點F落在AE上．若，，則______cm．【答案】【分析】由將△CDE沿DE翻折得到△FDE，點F落在AE上，可得EF=CE=3cm，CD=DF，∠DEC=∠DEF，由矩形的性質(zhì)得∠DFE=∠C=90°=∠DFA，從而得AF=6cm，AD=AE=9cm，進(jìn)而由勾股定理既可以求解?！驹斀狻拷猓骸邔ⅰ鰿DE沿DE翻折得到△FDE，點F落在AE上，，四邊形ABCD是矩形，∴EF=CE=3cm，CD=DF，∠DEC=∠DEF，∠DFE=∠C=90°=∠DFA，∵AF=2EF，∴AF=6cm，∴AE=AF+EF=6+3=9(cm)，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD=DF，，∴∠ADE=∠DEC=∠DEF，∴AD=AE=9cm，∵在Rt△ADF中，AF2+DF2=AD2∴62+DF2=92，∴DF=(cm)，AB=DF=(cm)，故答案為∶．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)、勾股定理及軸對稱，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式5-8．（2022·四川雅安·統(tǒng)考中考真題）如圖，把一張矩形紙片沿對角線折疊，若BC＝9，CD＝3，那么陰影部分的面積為_____．【答案】【分析】利用矩形與軸對稱的性質(zhì)先證明再利用勾股定理求解再利用三角形的面積公式可得答案．【詳解】解：把一張矩形紙片沿對角線折疊，BC＝9，CD＝3，解得：故答案為：【點睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，證明是解本題的關(guān)鍵．變式5-9．（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，將矩形紙片ABCD沿CE折疊，使點B落在邊AD上的點F處．若點E在邊AB上，AB＝3，BC＝5，則AE＝________．【答案】##【分析】由折疊性質(zhì)可得CF=BC=5，BE=EF，由矩形性質(zhì)有CD=AB=3，BC=AD=5，勾股定理求得DF，AF．設(shè)BE=EF=x，則AE=AB-BE，在直角三角形AEF中，根據(jù)勾股定理，建立方程，解方程即可求解．【詳解】解：由折疊性質(zhì)可得CF=BC=5，BE=EF，由矩形性質(zhì)有CD=AB=3，BC=AD=5，∵∠D=90°，∴，所以，所以BE=EF=x，則AE=AB-BE=3-x，在直角三角形AEF中:，∴，解得，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了圖形折疊的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)，在直角三角形AEF中運用勾股定理建立方程求解是關(guān)鍵．變式5-10．（2021·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖是一張矩形紙片，點是對角線的中點，點在邊上，把沿直線折疊，使點落在對角線上的點處，連接，．若，則_____度．【答案】18【分析】連接MD，設(shè)∠DAF=x，利用折疊與等腰三角形的性質(zhì)，用x的代數(shù)式表示出∠ADC=90°，列出方程解方程即可．【詳解】連接MD，設(shè)∠DAF=x根據(jù)矩形的基本性質(zhì)可知AM=MD，AD∥BC，∠BCD=∠ADC=90°∴∠MDA=∠DAF=x，∠ACB=∠DAC=x∴∠DMF=2x∵△DCE折疊得到△DFE∴DF=CD=AB，DE⊥FC，∠FDE=∠CDE又MF=AB∴MF=DF∴∠MDF=2x∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°，∠EDC+∠FCD=90°∴∠CDE=∠ACD=x∴∠FDE=∠CDE=x∴∠ADC=∠ADM+∠MDF+∠FDE+∠CDE=x+2x+x+x=5x=90°∴x=18°故∠DAF=18°故答案為18．【點睛】本題考查了矩形的折疊問題，能夠做出合適的輔助線用∠DAF表示出∠ADC是解題關(guān)鍵．變式5-11．（2022·浙江麗水·統(tǒng)考中考真題）如圖，將矩形紙片折疊，使點B與點D重合，點A落在點P處，折痕為．(1)求證：；(2)若，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)cm【分析】（1）利用ASA證明即可；（2）過點E作EG⊥BC交于點G，求出FG的長，設(shè)AE=xcm，用x表示出DE的長，在Rt△PED中，由勾股定理求得答案．（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠A=∠B=∠ADC=∠C=90°，由折疊知，AB=PD，∠A=∠P，∠B=∠PDF=90°，∴PD=CD，∠P=∠C，∠PDF=∠ADC，∴∠PDF-∠EDF=∠ADC-∠EDF,∴∠PDE=∠CDF，在△PDE和△CDF中，,∴（ASA）；（2）如圖，過點E作EG⊥BC交于點G，∵四邊形ABCD是矩形,∴AB=CD=EG=4cm，又∵EF=5cm，∴cm,設(shè)AE=xcm，∴EP=xcm，由知，EP=CF=xcm，∴DE=GC=GF+FC=3+x，在Rt△PED中，,即，解得，，∴BC=BG+GC=(cm）．【點睛】本題考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中利用勾股定理是解題的關(guān)鍵．變式5-12．（2022·湖北荊門·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC＝x（0＜x＜8），將△ACB沿AC對折到△ACE的位置，AE和CD交于點F．(1)求證：△CEF≌△ADF；(2)求tan∠DAF的值（用含x的式子表示）．【答案】(1)證明見解析(2)tan∠DAF＝【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到BC＝CE，∠E＝∠B＝90°，等量代換得到∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，根據(jù)AAS證明三角形全等即可；（2）設(shè)DF＝a，則CF＝8﹣a，根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)證明AF＝CF＝8﹣a，在Rt△ADF中，根據(jù)勾股定理表示出DF的長，根據(jù)正切的定義即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，根據(jù)折疊的性質(zhì)得：BC＝CE，∠E＝∠B＝90°，∴∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，在△CEF與△ADF中，，∴△CEF≌△ADF（AAS）；（2）解：設(shè)DF＝a，則CF＝8﹣a，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD＝BC＝x，∴∠DCA＝∠BAC，根據(jù)折疊的性質(zhì)得：∠EAC＝∠BAC，∴∠DCA＝∠EAC，∴AF＝CF＝8﹣a，在Rt△ADF中，∵AD2+DF2＝AF2，∴x2+a2＝（8﹣a）2，∴a＝，∴tan∠DAF＝＝．【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，翻折變換（折疊問題），根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)證出AF＝CF是解題的關(guān)鍵．考查題型六添加一個條件判定矩形典例6．（2022·陜西·統(tǒng)考中考真題）在下列條件中，能夠判定為矩形的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)矩形的判定定理逐項判斷即可．【詳解】當(dāng)AB=AC時，不能說明是矩形，所以A不符合題意；當(dāng)AC⊥BD時，是菱形，所以B不符合題意；當(dāng)AB=AD時，是菱形，所以C不符合題意；當(dāng)AC=BD時，是矩形，所以D符合題意．故選：D．【點睛】本題主要考查了矩形的判定，掌握判定定理是解題的關(guān)鍵．有一個角是直角的平行四邊形是矩形；對角線相等的平行四邊形是矩形．變式6-1．（2021·廣西河池·統(tǒng)考中考真題）已知平行四邊形ABCD，下列條件中，不能判定這個平行四邊形為矩形的是（）A．∠A=∠B B．∠A=∠C C．AC=BD D．AB⊥BC【答案】B【分析】由矩形的判定方法依次判斷即可得出結(jié)果．【詳解】解：A、∠A=∠B，∠A+∠B=180°，所以∠A=∠B=90°，可以判定這個平行四邊形為矩形，不符合題意；B、∠A=∠C不能判定這個平行四邊形為矩形，符合題意；C、AC=BD，對角線相等，可推出平行四邊形ABCD是矩形，故不符合題意；D、AB⊥BC，所以∠B=90°，可以判定這個平行四邊形為矩形，不符合題意，故選B．【點睛】本題考查了矩形的判定，熟練掌握“有一個角是直角的平行四邊形是矩形、對角線相等的平行四邊形是矩形、有三個角是直角的四邊形是矩形”是解題的關(guān)鍵．變式6-2．（2022·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，，，在不添加任何輔助線的前提下，要想四邊形成為一個矩形，只需添加的一個條件是_______________．【答案】（答案不唯一）【分析】】先證四邊形ABCD是平行四邊形，再由矩形的判定即可得出結(jié)論．【詳解】解：需添加的一個條件是∠A=90°，理由如下：∵AB∥DC，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵∠A=90°，∴平行四邊形ABCD是矩形，故答案為：∠A=90°（答案不唯一）．【點睛】本題考查了矩形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握矩形的判定和平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式6-3．（2021·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知四邊形是平行四邊形，從①，②，③中選擇一個作為條件，補充后使四邊形成為菱形，則其選擇是___（限填序號）．【答案】①【分析】根據(jù)菱形的判定、矩形的判定、平行四邊形的性質(zhì)即可得．【詳解】解：①時，平行四邊形是菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）；②時，平行四邊形是矩形（對角線相等的平行四邊形是矩形）；③由平行四邊形的性質(zhì)可知，，則不能作為構(gòu)成菱形的條件；故答案為：①．【點睛】本題考查了菱形的判定、矩形的判定、平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定方法是解題關(guān)鍵．變式6-4．（2021·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形中，對角線、相交于點O，在不添加任何輔助線的情況下，請你添加一個條件______________，使平行四邊形是矩形．．【答案】【分析】根據(jù)矩形的判定方法即可得出答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴當(dāng)時，四邊形ABCD為矩形．故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的判定，熟記矩形的判定方法是解題的關(guān)鍵．考查題型七矩形的證明典例7．（2022·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=10cm，BC=8cm，點P從點D出發(fā)，以1cm/s的速度向點A運動，點M從點B同時出發(fā)，以相同的速度向點C運動，當(dāng)其中一個動點到達(dá)端點時，兩個動點同時停止運動．設(shè)點P的運動時間為t（單位：s），下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時，四邊形ABMP為矩形B．當(dāng)時，四邊形CDPM為平行四邊形C．當(dāng)時，D．當(dāng)時，或6s【答案】D【分析】計算AP和BM的長，得到AP≠BM，判斷選項A；計算PD和CM的長，得到PD≠CM，判斷選項B；按PM=CD，且PM與CD不平行，或PM=CD，且PM∥CD分類討論判斷選項C和D．【詳解】解：由題意得PD=t，AP=AD-PD=10-t，BM=t，CM=8-t，∠A=∠B=90°，A、當(dāng)時，AP=10-t=6cm，BM=4cm，AP≠BM，則四邊形ABMP不是矩形，該選項不符合題意；B、當(dāng)時，PD=5cm，CM=8-5=3cm，PD≠CM，則四邊形CDPM不是平行四邊形，該選項不符合題意；作CE⊥AD于點E，則∠CEA=∠A=∠B=90°，∴四邊形ABCE是矩形，∴BC=AE=8cm，∴DE=2cm，當(dāng)PM=CD，且PM與CD不平行時，作MF⊥AD于點F，CE⊥AD于點E，∴四邊形CEFM是矩形，∴FM=CE；∴Rt△PFM≌Rt△DEC（HL），∴PF=DE=2，EF=CM=8-t，∴AP=10-4-(8-t)=10-t，解得t=6s；當(dāng)PM=CD，且PM∥CD時，∴四邊形CDPM是平行四邊形，∴DP=CM，∴t=8-t，解得t=4s；綜上，當(dāng)PM=CD時，t=4s或6s；選項C不符合題意；選項D符合題意；故選：D．【點睛】此題重點考查矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確地作出解題所需要的輔助線，應(yīng)注意分類討論，求出所有符合條件的t的值．變式7-1．（2021·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，D、E、F分別是各邊中點，則以下說法錯誤的是（

）A．和的面積相等B．四邊形是平行四邊形C．若，則四邊形是菱形D．若，則四邊形是矩形【答案】C【分析】根據(jù)中位線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形、菱形、矩形的判定定理逐一判斷各個選項，即可得到答案．【詳解】解：∵點D、E、F分別是△ABC三邊的中點，∴DE、DF為△ABC得中位線，∴ED∥AC，且ED＝AC＝AF；同理DF∥AB，且DF＝AB＝AE，∴四邊形AEDF一定是平行四邊形，故B正確；∴，∴，，∴和的面積相等，故A正確；∵，∴DF＝AB=AE，∴四邊形不一定是菱形，故C錯誤；∵∠A＝90°，則四邊形AEDF是矩形，故D正確；故選：C．【點睛】本題考查三角形中位線性質(zhì)定理和平行四邊形、矩形、菱形的判定定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握上述性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵．變式7-2．（2022·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，點E是AD的中點，連接OE，過點D作DF∥AC交OE的延長線于點F，連接AF．(1)求證：≌；(2)判定四邊形AODF的形狀并說明理由．【答案】(1)見解析(2)四邊形AODF為矩形，理由見解析【分析】（1）利用全等三角形的判定定理即可；（2）先證明四邊形AODF為平行四邊形，再結(jié)合∠AOD=90°，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵E是AD的中點，∴AE=DE，∵DF∥AC，∴∠OAD=∠ADF，∵∠AEO=∠DEF，∴△AOE≌△DFE（ASA）；（2）解：四邊形AODF為矩形．理由：∵△AOE≌△DFE，∴AO=DF，∵DF∥AC，∴四邊形AODF為平行四邊形，∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，即∠AOD=90°，∴平行四邊形AODF為矩形．【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)以及矩形的判定是解題的關(guān)鍵．變式7-3．（2022·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，，相交于點，，分別是，的中點．(1)求證：；(2)設(shè)，當(dāng)為何值時，四邊形是矩形？請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)當(dāng)時，四邊形是矩形，理由見解析【分析】（1）連接，先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，再根據(jù)線段中點的定義可得，然后根據(jù)平行四邊形的判定可得四邊形是平行四邊形，最后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得證；（2）先根據(jù)矩形的判定可得當(dāng)時，四邊形是矩形，再根據(jù)線段中點的定義、平行四邊形的性質(zhì)可得，由此即可得出的值．【詳解】（1）證明：如圖，連接，四邊形是平行四邊形，，分別是，的中點，，四邊形是平行四邊形，．（2）解：由（1）已證：四邊形是平行四邊形，要使平行四邊形是矩形，則，，，即，，故當(dāng)時，四邊形是矩形．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定等知識點，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．變式7-4．（2021·上海·統(tǒng)考中考真題）已知：在圓O內(nèi)，弦與弦交于點分別是和的中點，聯(lián)結(jié)．（1）求證：；（2）聯(lián)結(jié)，當(dāng)時，求證：四邊形為矩形．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）連結(jié)，由M、N分別是和的中點，可得OM⊥BC，ON⊥AD，由，可得，可證，，根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì);（2）設(shè)OG交MN于E，由，可得，可得，，可證可得，由CN∥OG，可得，由可得AM∥CN，可證是平行四邊形，再由可證四邊形ACNM是矩形．【詳解】證明：（1）連結(jié)，∵M(jìn)、N分別是和的中點，∴OM，ON為弦心距，∴OM⊥BC，ON⊥AD，，在中，，，在Rt△OMG和Rt△ONG中，，，∴，;（2）設(shè)OG交MN于E，，∴，∴，即，，在△CMN和△ANM中，，，∵CN∥OG，，，，∴AM∥CN，是平行四邊形，，∴四邊形ACNM是矩形．【點睛】本題考查垂徑定理，三角形全等判定與性質(zhì)，等腰三角形判定與性質(zhì)，平行線判定與性質(zhì)，矩形的判定，掌握垂徑定理，三角形全等判定與性質(zhì)，等腰三角形判定與性質(zhì)，平行線判定與性質(zhì)，矩形的判定是解題關(guān)鍵．考查題型八矩形性質(zhì)與判定綜合典例8．（2022·海南·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形中，點E是邊的中點，垂直交的延長線于點F，若，則菱形的邊長是（

）A．3 B．4 C．5 D．【答案】B【分析】過C作CM⊥AB延長線于M，根據(jù)設(shè)，由菱形的性質(zhì)表示出BC=4x，BM=3x，根據(jù)勾股定理列方程計算即可．【詳解】過C作CM⊥AB延長線于M，∵∴設(shè)∵點E是邊的中點∴∵菱形∴，CE∥AB∵⊥，CM⊥AB∴四邊形EFMC是矩形∴，∴BM=3x在Rt△BCM中，∴，解得或（舍去）∴故選：B．【點睛】本