中考數(shù)學復習滿分突破（全國通用）：專題33 圖形的相似（原卷版）

專題33圖形的相似【考查題型】【知識要點】知識點一相似圖形相似圖形的概念：我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形。【注意事項】1）相似圖形的形狀相同，大小不一定相同，全等圖形是特殊的相似圖形；2）兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到；3）圖形的相似與圖形的位置無關。相似多邊形的概念：若兩個邊數(shù)相同的多邊形，它們的對應角相等、對應邊成比例，則這兩個多邊形叫做相似多邊形。相似多邊形的性質：對應角相等，對應邊成比例?！咀⒁馐马棥?）相似多邊形對應邊的比稱為相似比,一般用k表示；2）若已知四邊形與四邊形的相似比是,那么四邊形與四邊形的相似比是。知識點二比例線段的概念及性質比例線段的定義：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長度的比)與另兩條線段的比相等，如（即），我們就說這四段線段是成比例線段，簡稱比例線段。其中a、b、c、d叫組成比例的項；a、d叫比的外項，b、c叫比的內項，【補充】當比的內項相等時，即ab=b【解題思路】1）判斷四條線段是否成比例，需要將這四條線段從小到大依次排列，再判斷前兩條線段的比與后兩條線段的比是否相等即可；2）成比例的線段是有順序的，比如：a、b、c、d是成比例的線段，則成比例線段只能寫成（即：第一條第二條=第三條第四條）比例的性質：①基本性質：②變形：核心內容：③合、分比性質：【注意】實際上，比例的合比性質可擴展為：比例式中等號左右兩個比的前項，后項之間發(fā)生同樣和差變化比例仍成立．如：④等比性質：如果，那么⑤黃金分割：點C把線段AB分割成AC和CB兩段,如果,那么線段AB被點C黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比?！咀⒁狻?）(叫做黃金分割值).簡記為：2）一條線段的黃金分割點有兩個。3）黃金三角形的概念：頂角是360的等腰三角形。4）黃金矩形的概念：寬與長的比等于黃金數(shù)的矩形。【擴展】作一條線段的黃金分割點：如圖，已知線段AB，按照如下方法作圖：（1）經過點B作BD⊥AB，使BD=AB.（2）連接AD，在DA上截取DE=DB.（3）在AB上截取AC=AE.則點C為線段AB的黃金分割點。知識點三平行線段成比例定理平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所截得的對應線段成比例。1）已知l3∥l4∥l5,可得等2）把平行線分線段成比例的定理運用到三角形中，會出現(xiàn)下面的兩種情況：

把l4（圖1）或l3（圖2）看作平行底邊BC的直線，再根據(jù)平分線分線段成比例的定理，我們可以得出，平行于三角形一邊的直線和其兩邊相交（或其兩邊的延長線相交），所構成的三角形和原三角形相似。知識點四相似三角形的判定相似三角形的概念：對應角相等、對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。相似用符號“∽”，讀作“相似于”。相似三角形的判定:判斷定理一：三邊成比例的兩個三角形相似，即：若，則∽【技巧】判斷網(wǎng)格中三角形是否相似，先運用勾股定理計算出三邊的長度，再看對應邊的比例是否相等。判斷定理二：兩邊成比例并且夾角相等的兩個三角形相似。即：若，且∠C＝則∽判斷定理三：兩個角分別相等的兩個三角形相似。

即：若，,則∽判斷定理四：斜邊和直角邊成比例的兩個直角三角形相似。即：在中，若或,則【小結】三角形全等三角形相似兩角夾一邊對應相等(ASA)

兩角一對邊對應相等(AAS)

兩邊及夾角對應相等(SAS)

三邊對應相等(SSS)、斜邊和一直角邊相等(HL）兩角對應相等

兩邊對應成比例，且夾角相等

三邊對應成比例斜邊和一直角邊對應成比例【常見的相似三角形】見附件pdf知識點五相似三角形的性質1）相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等。2）相似三角形對應高，對應中線，對應角平分線的比都等于相似比。3）相似三角形周長的比等于相似比。4）相似三角形面積比等于相似比的平方。知識點六位似位似圖形的定義:如果兩個圖形不僅是相似圖形,且對應點連線相交于一點,對應線段相互平行,那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形,位似圖形對應點連線的交點是位似中心?！咀⒁馐马棥?）位似圖形是相似圖形的一種特殊形式。2）位似圖形一定是相似圖形，具有相似圖形的所有性質，但相似圖形不一定是位似圖形。常見的位似圖形：畫位似圖形的方法：兩個位似圖形可能位于位似中心的兩側，也可能位于位似中心的同側。（即畫位似圖形時，注意關于某點的位似圖形有兩個。）判斷位似圖形的方法：首先看這兩個圖形是否相似，再看對應點的連線是否經過位似中心。位似圖形的性質：1)位似圖形的對應頂點的連線所在直線相交與一點，位似圖形的對應邊互相平行或者共線。2)位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于相似比。3)在平面直角坐標系中，如果以原點為位似中心，畫一個與原圖形的位似圖形，使它與原圖形的相似比為k，若原圖形上點的坐標為(x，y)，則位似圖形上與它對應的點的坐標為(kx，ky)或(-kx，-ky)。畫位似圖形的步驟：1）確定位似中心,找原圖形的關鍵點。2）確定位似比。3）以位似中心為端點向各關鍵點作射線。4）順次連結各截取點，即可得到要求的新圖形。平移、軸對稱、旋轉、位似的區(qū)別：平移：和原圖形一模一樣（和原圖形全等且能與原圖形重合）軸對稱：面積和原圖形一樣也是全等，和平移的不同點就是軸對稱之后的圖形不能與原圖形重合，雖然它們全等）旋轉：面積和原圖形一樣，也是全等，和軸對稱的不同點是軸對稱只有一個和原圖形軸對稱的圖形，而旋轉可以旋轉出無數(shù)個。位似：位似出的圖形只和原圖形的角相等邊就不一定相等了。【總結】平移軸對稱旋轉位似原圖形全等全等全等相似考查題型一比例的性質典例1．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）《九章算術》中記載，戰(zhàn)國時期的銅衡桿，其形式既不同于天平衡桿，也異于稱桿衡桿正中有拱肩提紐和穿線孔，一面刻有貫通上、下的十等分線．用該衡桿稱物，可以把被稱物與砝碼放在提紐兩邊不同位置的刻線上，這樣，用同一個砝碼就可以稱出大于它一倍或幾倍重量的物體．圖為銅衡桿的使用示意圖，此時被稱物重量是砝碼重量的_________倍．變式1-1．（2021·黑龍江大慶·統(tǒng)考中考真題）已知，則________變式1-3．（2021·四川內江·統(tǒng)考中考真題）已知非負實數(shù)，，滿足，設的最大值為，最小值為，則的值為__．考查題型二成比例線段典例2．（2022·湖南衡陽·統(tǒng)考中考真題）在設計人體雕像時，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，可以增加視覺美感．如圖，按此比例設計一座高度為的雷鋒雕像，那么該雕像的下部設計高度約是（

）（結果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，）A． B． C． D．變式2-1．（2021·四川德陽·統(tǒng)考中考真題）我們把寬與長的比是的矩形叫做黃金矩形．黃金矩形給我們以協(xié)調、勻稱的美感，世界各國許多著名的建筑，為取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設計．已知四邊形ABCD是黃金矩形，邊AB的長度為1，則該矩形的周長為__________________．變式2-2．（2022·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）在四邊形中，的平分線交于，延長到使，是的中點，交于，連接．(1)當四邊形是矩形時，如圖，求證：①；②．(2)當四邊形是平行四邊形時，如圖，（1）中的結論都成立，請給出結論②的證明．考查題型三黃金分割典例3．（2022·山西·中考真題）神奇的自然界處處蘊含著數(shù)學知識．動物學家在鸚鵡螺外殼上發(fā)現(xiàn)，其每圈螺紋的直徑與相鄰螺紋直徑的比約為0.618．這體現(xiàn)了數(shù)學中的（

）A．平移 B．旋轉 C．軸對稱 D．黃金分割變式3-1（2021·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）兩千多年前，古希臘數(shù)學家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割，即：如圖，點P是線段AB上一點（AP＞BP），若滿足，則稱點P是AB的黃金分割點．黃金分割在日常生活中處處可見，例如：主持人在舞臺上主持節(jié)目時，站在黃金分割點上，觀眾看上去感覺最好．若舞臺長20米，主持人從舞臺一側進入，設他至少走x米時恰好站在舞臺的黃金分割點上，則x滿足的方程是（）A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x）C．x（20﹣x）＝202 D．以上都不對變式3-2（2020·甘肅金昌·統(tǒng)考中考真題）生活中到處可見黃金分割的美，如圖，在設計人體雕像時，使雕像的腰部以下與全身的高度比值接近0．618，可以增加視覺美感，若圖中為2米，則約為（

）A．1．24米 B．1．38米 C．1．42米 D．1．62米變式3-3（2022·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）如圖，圓中扇子對應的圓心角（）與剩余圓心角的比值為黃金比時，扇子會顯得更加美觀，若黃金比取0.6，則的度數(shù)是__________．變式3-4（2022·陜西·統(tǒng)考中考真題）在20世紀70年代，我國著名數(shù)學家華羅庚教授將黃金分割法作為一種“優(yōu)選法”，在全國大規(guī)模推廣，取得了很大成果．如圖，利用黃金分割法，所做將矩形窗框分為上下兩部分，其中E為邊的黃金分割點，即．已知為2米，則線段的長為______米．考查題型四相似多邊形的性質典例4．（2022·廣西梧州·統(tǒng)考中考真題）如圖，以點O為位似中心，作四邊形的位似圖形﹐已知，若四邊形的面積是2，則四邊形的面積是（

）A．4 B．6 C．16 D．18變式4-1（2021·廣西百色·統(tǒng)考中考真題）下列四個命題：①直徑是圓的對稱軸；②若兩個相似四邊形的相似比是1：3，則它們的周長比是1：3，面積比是1：6；③同一平面內垂直于同一直線的兩條直線互相平行；④對角線相等且互相垂直的平行四邊形是正方形．其中真命題有（

）A．①③ B．①④ C．③④ D．②③④變式4-2（2021·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形OABC的面積為36，它的對角線OB與雙曲線y相交于點D，且OD：OB＝2：3，則k的值為（

）A．12 B．﹣12 C．16 D．﹣16考查題型五平行線分線段成比例定理典例5（2022·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，為的邊上一點，，過作交于點，、兩點縱坐標分別為1、3，則點的縱坐標為（

）A．4 B．5 C．6 D．7變式5-1（2022·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，點D為邊上任一點，交于點E，連接相交于點F，則下列等式中不成立的是（

）A． B． C． D．變式5-2（2022·浙江麗水·統(tǒng)考中考真題）如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個點A，B，C都在橫線上．若線段，則線段的長是（

）A． B．1 C． D．2變式5-3（2021·廣西貴港·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)是對角線AC上的兩點，且EF＝2AE＝2CF，連接DE并延長交AB于點M，連接DF并延長交BC于點N，連接MN，則（

）A． B． C．1 D．變式5-4（2022·湖北襄陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，D是AC的中點，△ABC的角平分線AE交BD于點F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝3，則△ABC的周長為_____．變式5-5（2022·上?！そy(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D為AB中點，E在線段AC上，，則_____．變式5-6（2021·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，?OABC的頂點A，B在第一象限內，頂點C在y軸上，經過點A的反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交BC于點D．若CD＝2BD，?OABC的面積為15，則k的值為______．考查題型六相似三角形的判定典例6．（2022·山東菏澤·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，E是邊AC上一點，且，過點A作BE的垂線，交BE的延長線于點D，求證：．變式6-1（2022·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）如圖，在與中，點、分別在邊、上，且，若___________，則．請從①；②；③這三個選項中選擇一個作為條件（寫序號），并加以證明．變式6-2（2022·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形中，點E在上，，與相交于點O．與相交于點F．(1)若平分，求證：；(2)找出圖中與相似的三角形，并說明理由;(3)若，，求的長度．變式6-3（2020·廣西柳州·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上的一點，連接AC、BC，OD⊥BC于點E，交⊙O于點D，連接CD、AD，AD與BC交于點F，CG與BA的延長線交于點G．（1）求證：△ACD∽△CFD；（2）若∠CDA＝∠GCA，求證：CG為⊙O的切線；（3）若sin∠CAD＝，求tan∠CDA的值．變式6-4（2020·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）如圖矩形ABCD中，AB=20，點E是BC上一點，將沿著AE折疊，點B剛好落在CD邊上的點G處，點F在DG上，將沿著AF折疊，點D剛好落在AG上點H處，此時．（1）求證：（2）求AD的長；（3）求的值．考查題型七相似三角形的性質典例7．（2022·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）已知，，若，則（

）A．4 B．6 C．8 D．16變式7-1（2022·云南·中考真題）如圖，在ABC中，D、E分別為線段BC、BA的中點，設ABC的面積為S，EBD的面積為S．則=（

）A． B． C． D．變式7-2（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）的三邊長分別為2，3，4，另有一個與它相似的三角形，其最長邊為12，則的周長是（

）A．54 B．36 C．27 D．21變式7-3（2022·山東威?！そy(tǒng)考中考真題）由12個有公共頂點O的直角三角形拼成如圖所示的圖形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，則圖中與△AOB位似的三角形的面積為(

)A．（）3 B．（）7 C．（）6 D．（）6變式7-4．（2022·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知是內的一點，，，若的面積為2，，，則的面積是________．變式7-5（2022·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在ABC中，點D，E，F(xiàn)分別在邊AB，AC，BC上，連接DE，EF，已知四邊形BFED是平行四邊形，．(1)若，求線段AD的長．(2)若的面積為1，求平行四邊形BFED的面積．考查題型八利用相似三角形相關知識解決實際問題典例8．（2022·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）如圖，某零件的外徑為10cm，用一個交叉卡鉗（兩條尺長AC和BD相等）可測量零件的內孔直徑AB．如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，則零件的厚度x為（

）A． B． C． D．變式8-1（2022·廣西賀州·統(tǒng)考中考真題）某餐廳為了追求時間效率，推出一種液體“沙漏”免單方案（即點單完成后，開始倒轉“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所點的菜需全部上桌，否則該桌免費用餐）．“沙漏”是由一個圓錐體和一個圓柱體相通連接而成．某次計時前如圖（1）所示，已知圓錐體底面半徑是，高是；圓柱體底面半徑是，液體高是．計時結束后如圖（2）所示，求此時“沙漏”中液體的高度為（

）A． B． C． D．變式8-2（2022·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）“跳眼法”是指用手指和眼睛估測距離的方法步驟：第一步：水平舉起右臂，大拇指緊直向上，大臂與身體垂直；第二步：閉上左眼，調整位置，使得右眼、大拇指、被測物體在一條直線上；第三步：閉上右眼，睜開左眼，此時看到被測物體出現(xiàn)在大拇指左側，與大拇指指向的位置有一段橫向距離，參照被測物體的大小，估算橫向距離的長度；第四步：將橫向距離乘以10（人的手臂長度與眼距的比值一般為10），得到的值約為被測物體離觀測，點的距離值．如圖是用“跳眼法”估測前方一輛汽車到觀測點距離的示意圖，該汽車的長度大約為4米，則汽車到觀測點的距離約為（

）A．40米 B．60米 C．80米 D．100米變式8-3（2022·廣西·中考真題）數(shù)學興趣小組通過測量旗桿的影長來求旗桿的高度，他們在某一時刻測得高為2米的標桿影長為1.2米，此時旗桿影長為7.2米，則旗桿的高度為______米．變式8-4（2022·廣西·統(tǒng)考中考真題）古希臘數(shù)學家泰勒斯曾利用立桿測影的方法，在金字塔影子的頂部直立一根木桿，借助太陽光測金字塔的高度．如圖，木桿EF長2米，它的影長FD是4米，同一時刻測得OA是268米，則金字塔的高度BO是________米．變式8-5（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，公園內有一個垂直于地面的立柱AB，其旁邊有一個坡面，坡角．在陽光下，小明觀察到在地面上的影長為，在坡面上的影長為．同一時刻，小明測得直立于地面長60cm的木桿的影長為90cm（其影子完全落在地面上）．求立柱AB的高度．變式8-6（2022·內蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題）旗桿及升旗臺的剖面如圖所示，MN、CD為水平線，旗桿AB⊥CD于點B．某一時刻，旗桿AB的一部分影子BD落在CD上，另一部分影子DE落在坡面DN上，已知BD＝1.2m，DE＝1.4m．同一時刻，測得豎直立在坡面DN上的1m高的標桿影長為0.25m（標桿影子在坡面DN上），此時光線AE與水平線的夾角為80.5°，求旗桿AB的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin80.5°≈0.98，cos80.5°≈0.17，tan80.5°≈6）變式8-7（2022·上海·統(tǒng)考中考真題）我們經常會采用不同方法對某物體進行測量，請測量下列燈桿AB的長．(1)如圖1所示，將一個測角儀放置在距離燈桿AB底部a米的點D處，測角儀高為b米，從C點測得A點的仰角為α，求燈桿AB的高度．（用含a，b，ａ的代數(shù)式表示）(2)我國古代數(shù)學家趙爽利用影子對物體進行測量的方法，在至今仍有借鑒意義圖2所示，現(xiàn)將一高度為2米的木桿CG放在燈桿AB前，測得其影長CH為1米，再將木桿沿著BC方向移動1.8米至DE的位置，此時測得其影長DF為3米，求燈桿AB的高度變式8-8（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）我市的花果山景區(qū)大圣湖畔屹立著一座古塔——阿育王塔，是蘇北地區(qū)現(xiàn)存最高和最古老的寶塔．小明與小亮要測量阿育王塔的高度，如圖所示，小明在點處測得阿育王塔最高點的仰角，再沿正對阿育王塔方向前進至處測得最高點的仰角，；小亮在點處豎立標桿，小亮的所在位置點、標桿頂、最高點在一條直線上，，．（注：結果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，）(1)求阿育王塔的高度；(2)求小亮與阿育王塔之間的距離．考查題型九位似圖形典例9．（2022·寧夏·中考真題）如圖，將三角尺直立舉起靠近墻面，打開手機手電筒照射三角尺，在墻面上形成影子．則三角尺與影子之間屬于以下哪種圖形變換（

）A．平移 B．軸對稱 C．旋轉 D．位似變式9-1（2022·廣西·中考真題）已知△ABC與△A1B1C1是位似圖形，位似比是1：3，則△ABC與△A1B1C1的面積比（

）A．1：3 B．1：6 C．1：9 D．3：1變式9-2（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，與位似，點O是它們的位似中心，且位似比為1∶2，則與的周長之比是（

）A．1∶2 B．1∶4 C．1∶3 D．1∶9變式9-3（2022·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，和是以點為位似中心的位似圖形．若，則與的周長比是_________．考查題型十坐標系與位似中心典例10．（2021·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，A、B兩個頂點在x軸的上方，點C的坐標是（1，0），以點C為位似中心，在x軸的下方作的位似圖形，并把的邊長放大到原來的2倍，設點B的橫坐標是a，則點B的對應點的橫坐標是（

）A． B． C． D．變式10-1（2021·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，將以原點O為位似中心放大后得到，若，，則與的相似比是（

）A．2：1 B．1：2 C．3：1 D．1：3變式10-2（2021·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）如圖，在直角坐標系中，與是位似圖形，則位似中心的坐標為__________________．變式10-3（2022·廣西河池·統(tǒng)考中考真題）如圖、在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點的坐標分別為A（4，1），B（2，3），C（1，2）．(1)畫出與△A