初中七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《4.1 幾何圖形》課件（二）

幾何圖形幾何圖形及分類幾何圖形圖例概念從實(shí)際物體中抽象出來的各種圖形叫作幾何圖形分類立體圖形：各部分不都在同一平面內(nèi)的幾何圖形平面圖形：各部分都在同一平面內(nèi)的幾何圖形常見平面圖形常見立體圖形知識(shí)解讀(1)對(duì)幾何圖形的學(xué)習(xí)，我們只研究圖形的形狀、大小和位置等內(nèi)容，而不考慮圖形的顏色、質(zhì)量、材質(zhì)等；(2)一般用虛線表示立體圖形中被遮擋的部分，這也是區(qū)分立體圖形和平面圖形的方法之一注意：

常見的立體圖形可分為四類：①柱體（包括圓柱、棱柱）；②錐體（包括圓錐、棱錐）；③臺(tái)體（包括圓臺(tái)、棱臺(tái)）；④球.例1如圖4-1-1，上面一行是一些具體的實(shí)物圖形，下面一行是一些幾何體，試用線連接幾何體和類似的實(shí)物圖形.圖4-1-1解：如圖4-1-2.圖4-1-2

由實(shí)際物體抽象出幾何體，只看其形狀、大小和位置，不必關(guān)注其顏色、材質(zhì)等.從不同的方向看立體圖形從不同方向看正方體圓錐圓柱圓臺(tái)球小正方體組合四棱錐從正面看，得到的平面圖形幾何體從左面看，得到的平面圖形從上面看，得到的平面圖形知識(shí)解讀(1)無論從哪一個(gè)從方向看一個(gè)幾何體，實(shí)際上都只看到一個(gè)平面圖形；(2)從同一方向看物體時(shí)，因物體擺放的方式不同，得到的平面圖形一般也會(huì)有所不同.注意：(1)畫圖時(shí)注意虛實(shí)線：能看見部分的輪廓畫成實(shí)線，看不見部分的輪廓畫成虛線；(2)畫圖時(shí)不要遺漏棱和點(diǎn)，即把看到的棱和頂點(diǎn)都要畫出來，如圓錐，要把從上面看到的頂點(diǎn)也畫出來.從不同方向看立體圖形所得到的平面圖形的方法(1)立體圖形的左面與右面之間的水平長度記為“長”，前面與后面之間的水平寬度記為“寬”，上面與下面之間的垂直高度記為“高”，如圖4-1-3.

圖4-1-3(2)如圖4-1-4，從正面和左面看到的平面圖形的“高”相等；從正面和上面看到的平面圖形的“長”相等；從上面和左面看到的平面圖形的“寬”相等.圖4-1-4例2如圖4-1-5，有一個(gè)鐵質(zhì)零件（正方體中間挖去一個(gè)圓柱形孔）從左面看，得到的平面圖形是（）圖4-1-5解析：本題是由具體的實(shí)物確定從左面看得到的平面圖形，解答時(shí)要注意，確實(shí)存在的但又看不到的線是虛線，看得到的線是實(shí)線.故選C.C立體圖形的展開圖概念示例立體圖形的展開圖有些立體圖形是由一些平面圖形圍成的，將它們的表面適當(dāng)剪開，可以展開成平面圖形，這樣的平面圖形稱為相應(yīng)立體圖形的展開圖圓柱可以展開為兩個(gè)大小相等的圓和一個(gè)長方形知識(shí)解讀(1)不是所有的立體圖形都能展開成平面圖形，如球；(2)同一個(gè)立體圖形，按不同的方法展開，可以得到不同的展開圖，如正方體能得到11種不同的展開圖；(3)不同的立體圖形，得到的展開圖一般不同巧記樂背正方體的展開圖，十一種類看仔細(xì)；中間四個(gè)成一行，兩邊各一無規(guī)矩；二三緊連錯(cuò)一個(gè)，三一相連一隨意；兩兩相連各錯(cuò)一，三個(gè)兩排一對(duì)齊；一條線上不過四，田七和凹要放棄；相間之端是對(duì)面，間二拐角面相鄰.(1)幾種常見立體圖形的展開圖如下表：名稱正方體長方體五棱柱圓柱圓錐立體圖形展開圖舉例（）(2)正方體的展開圖形式:將正方體沿著棱展開,把各種展開圖分類,可以總結(jié)為如下十一種情況:①“一四一”型：②“二三一”型：③“階梯”型：例3

圖4-1-6是一個(gè)長方體，則它的展開圖是（

）圖4-1-6解析：由長方體四個(gè)側(cè)面和上、下兩個(gè)底面的特征可知，A可以拼成一個(gè)長方體；B，C，D都不符合長方體的展開圖的特征，故不是長方體的展開圖.故選A.A

長方體是由六個(gè)面組成的，每個(gè)面都是長方形（或正方形），并且相對(duì)的兩個(gè)面完全一樣.幾何圖形的組成——點(diǎn)、線、面、體內(nèi)容示例點(diǎn)線與線相交的地方是點(diǎn)

線(1)面與面相交的地方形成線；(2)線有直線和曲線之分面(1)包圍著體的是面；(2)面有平的面和曲的面兩種體長方體、正方體、圓柱、圓錐、球、棱柱、棱錐等都是幾何體，幾何體也簡稱體點(diǎn)、線、面、體之間的關(guān)系點(diǎn)動(dòng)成線：線可以看成由點(diǎn)運(yùn)動(dòng)形成的流星（點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)形成線線動(dòng)成面：線經(jīng)過運(yùn)動(dòng)得到面雨刷（線）在汽車擋風(fēng)玻璃上運(yùn)動(dòng)形成面面動(dòng)成體：面經(jīng)過運(yùn)動(dòng)就形成我們生活中的幾何體將一枚硬幣（面）在桌面上立起來用力旋轉(zhuǎn)就會(huì)看到其形成一個(gè)球體知識(shí)解讀(1)幾何圖形的組成要素：幾何圖形都是由點(diǎn)、線、面、體組成的，其中點(diǎn)是構(gòu)成圖形的最基本元素，線、面、體都是點(diǎn)的集合；(2)幾何中的點(diǎn)只有位置，沒有大??；線只有長短，沒有粗細(xì)；面只有大小，沒有薄厚.注意

一個(gè)平面圖形繞某條直線旋轉(zhuǎn)后得到一個(gè)立體圖形，這個(gè)立體圖形的形狀取決于兩個(gè)因素:(1)平面圖形的形狀；(2)旋轉(zhuǎn)時(shí)所繞的位置.平面圖形旋轉(zhuǎn)得到的幾何體(1)一般來說，有曲面的幾何體，都可以由某一個(gè)平面圖形繞某一條直線旋轉(zhuǎn)得到，如下圖：(2)同一個(gè)平面圖形，繞不同的直線旋轉(zhuǎn)，得到的幾何體一般也不同.例4

在圓柱、五棱柱、圓錐、四棱錐、球中：(1)各面都是平面的幾何體是

_________，沒有平面的幾何體是

，各面中既有平面又有曲面的幾何體是

_______；(2)只有1個(gè)面的幾何體是

，有2個(gè)面的幾何體是

，有3個(gè)面的幾何體是

，有5個(gè)面的幾何體是

，有7個(gè)面的幾何體是

__；(3)面與面相交都是直線的幾何體是

__________，面與面相交都是

_____.五棱柱與四棱錐球圓柱與圓錐球圓錐圓柱四棱錐五棱柱五棱柱與四棱錐圓柱與圓錐

幾何體是由面構(gòu)成的，有的幾何體只由平面構(gòu)成，有的幾何體只由曲面構(gòu)成，還有的幾何體既有平面也有曲面.例5

請(qǐng)你從數(shù)學(xué)的角度描述下列現(xiàn)象：(1)國慶之夜，炸響的禮花在天空中（瞬間）留下美麗的弧線；(2)用一條拉直的細(xì)線切一塊豆腐；(3)將2000張16開的白紙擺成長方體.解：(1)點(diǎn)動(dòng)成線.(2)線動(dòng)成面.(3)面動(dòng)成體.

理論聯(lián)系實(shí)際，深刻理解點(diǎn)、線、面、體的概念，給出合理的解釋，同時(shí)多留意生活中的事物.畫從不同方向看物體所得到的平面圖形時(shí)，忘記畫能看到的輪廓線例6圖4-1-7是正四棱錐，請(qǐng)畫出從上面看到的平面圖形.圖4-1-7解：如圖4-1-8.圖4-1-8

本題易只畫出了底面的輪廓，而忽略了也能看到正四棱錐的頂點(diǎn)和與頂點(diǎn)相連的四條棱，從而造成錯(cuò)誤的圖形.例7

圖4-1-9是一個(gè)正方體的展開圖，將它折疊成正方體后，與“天”字相對(duì)的面上的字是（）圖4-1-9A.“白”B.“云”C.“綠”D.“地”C解析：所對(duì)的面折疊后應(yīng)該不相鄰，觀察圖4-1-9知，與“天”字相對(duì)的面上的字是“綠”.故選C.

未搞清楚相對(duì)面之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以為展開圖中不相鄰的面便相對(duì)，從而誤以為與“天”字相對(duì)的面上的字是“地”或“云”.

題型一幾何圖形的識(shí)別與分類例8

寫出圖4-1-10中立體圖形的名稱，并進(jìn)行分類.圖4-1-10思路導(dǎo)圖在題目中所給的立體圖形中，各面都是平面的是棱柱或棱錐，各面不都是平面的是圓柱或圓錐，各面都不是平面的是球，據(jù)此寫出各自的名稱依據(jù)立體圖形可分為柱、錐、臺(tái)、球，依次將圖形歸類.解：因?yàn)?1)(2)(7)的各面都是平面圖形且它們都有兩個(gè)相同的底面，所以(1)(2)(7)是棱柱，其中(1)是長方體（或四棱柱），(2)是三棱柱，(7)是六棱柱.因?yàn)?6)的各面都是平面圖形且只有一個(gè)底面，所以(6)是棱錐.因?yàn)?3)的各面都不是平面圖形，所以(3)是球.因?yàn)?4)的各面不都是平面圖形且有兩個(gè)相同的底面，所以(4)是圓柱.因?yàn)?5)的各面不都是平面圖形且只有一個(gè)底面，所以(5)是圓錐.方法點(diǎn)撥：由本題可以看出：(1)凡是名稱中帶有“柱”的立體圖形，都有兩個(gè)相同的底面；(2)凡是名稱中帶有“錐”的立體圖形，都只有一個(gè)底面；(3)凡是名稱中帶有“圓”的立體圖形，其底面都是圓；(4)凡是名稱中帶有“棱”的立體圖形，其底面都是多邊形，且多邊形的邊數(shù)與其側(cè)棱數(shù)相等.題型二運(yùn)用多項(xiàng)式的概念求字母參數(shù)的值例9

圖4-1-11是從三個(gè)方向看到的兩個(gè)立體圖形所得到的平面圖形，請(qǐng)說出相應(yīng)立體圖形的名稱.圖4-1-11分析：(1)從正面和左面看都為一個(gè)長方形，從上面看為一個(gè)正方形，可以確定這個(gè)幾何體為長方體;(2)從正面和左面看都為一個(gè)三角形，從上面看為一個(gè)帶有圓心的圓，可以確定這個(gè)幾何體為圓錐.解：(1)長方體.(2)圓錐.方法點(diǎn)撥：

根據(jù)從正面、左面、上面三個(gè)不同的方向看到的平面圖形，可以確定出一個(gè)立體圖形的形狀和大小.題型三根據(jù)展開圖猜想立體圖形的形狀例10圖4-1-12是一些立體圖形的展開圖，請(qǐng)將這些立體圖形的名稱填在相應(yīng)的橫線上.圖4-1-12三棱柱四棱錐圓柱解析：由第一個(gè)展開圖可知，四個(gè)三角形作側(cè)面，一個(gè)四邊形作為底面，可圍成四棱錐；由第二個(gè)展開圖可知，兩個(gè)圓作為底面，一個(gè)長方形作為側(cè)面，可圍成圓柱；由第三個(gè)展開圖可知，兩個(gè)三角形作為底面，三個(gè)四邊形作為側(cè)面，可圍成三棱柱.例11

如圖4-1-13，將第一行的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周，便得到第二行的立體圖形，用線連一連.題型四確定由平面圖形旋轉(zhuǎn)形成的立體圖形圖4-1-13解：如圖4-1-14.圖4-1-14題型五立體圖形的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)之間的關(guān)系例12

新年晚會(huì)，是我們最歡樂的時(shí)候.會(huì)場上，懸掛著五彩繽紛的小裝飾品，其中有各種各樣的立體圖形,如圖4-1-15.圖4-1-15(1)數(shù)出每一個(gè)多面體具有的頂點(diǎn)數(shù)（V）、棱數(shù)（E）和面數(shù)（F），并且把結(jié)果記入表中：多面體頂點(diǎn)（V）面數(shù)（F）棱數(shù)（E）正四面體446正方體正八面體正十二面體正二十面體122030(2)觀察表中的數(shù)據(jù)，猜想多面體的頂點(diǎn)數(shù)（V）、棱數(shù)（E）和面數(shù)（F）之間的關(guān)系.(3)偉大的數(shù)學(xué)家歐拉（Euler,1707-1783）證明了這一令人驚嘆的關(guān)系式，即歐拉公式.若已知一個(gè)多面體的頂點(diǎn)數(shù)V=196，棱數(shù)E=294.請(qǐng)你用歐拉公式求出這個(gè)多面體的面數(shù).解：(1)如下表：多面體頂點(diǎn)（V）面數(shù)（F）棱數(shù)（E）正四面體446正方體8612正八面體6812正十二面體201230正二十面體122030解:(2)因?yàn)?+4-6=2，8+6-12=2，6+8-12=2，20+12-30=2，12+20-30=2，所以V+F-E=2.(3)由V+F-E=2，得196+F-294=2，即F=294+2-196=100.故這個(gè)多面體的面數(shù)為100.方法點(diǎn)撥：(1)本題是關(guān)于立體圖形的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)規(guī)律的探索，從簡單情形入手，準(zhǔn)確數(shù)出各圖形的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)，然后大膽猜想、合理驗(yàn)證便可得到結(jié)論.(2)由本題可知，棱柱的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系存在著一定的規(guī)律，即面數(shù)+頂點(diǎn)數(shù)-棱數(shù)=2.理解這些規(guī)律，對(duì)今后的進(jìn)一步學(xué)習(xí)大有益處.

本節(jié)的主要考點(diǎn)是立體圖形的平面展開圖，主要考查學(xué)生的空間想象能力，解答時(shí)可以通過空間想象進(jìn)行猜想，也可以嘗試操作驗(yàn)證，題目多為選擇題，有時(shí)也會(huì)考查幾何圖形的分類及從不同方向看幾何圖形.解讀中考：

例13

（浙江麗水中考）下列圖形，屬于立體圖形的是（）

C考點(diǎn)一幾何圖形的分類解析：

A.角是平面圖形，故A不符合題意；

B.圓是平面圖形，故B不符合題意；

C.圓錐是立體圖形，故C符合題意；

D.三角形是平面圖形，故D不符合題意.

故選C.

例14

（浙江金華中考改編）從一個(gè)邊長為3的大立方體中挖去一個(gè)邊長為1的小立方體，得到的幾何體如圖4-1-18，則該幾何體從左面看正確的是（）解析：從左面看該幾何體，看到的圖形是選項(xiàng)C，注意看不到的線畫成虛線.故選C.圖4-1-18C考點(diǎn)二從不同方向看立體圖形例15（四川成都中考改編）如圖4-1-19的幾何體是由5個(gè)大小相同的小立方塊搭成，則該幾何體從上面看得到的圖形是（）圖4-1-19

C解析：從上面看可得到4個(gè)小正方形.故選C.例16（浙江紹興中考）已知圖4-1-21是一個(gè)正方體，則它的表面展開圖可以是（）圖4-1-21B

考點(diǎn)三立體圖形的平面展開圖解析：

A.含有“田”字形，不能折成正方體，故A不符合題意；

B.能折成正方體，故B符合題意；

C.含有“凹”字形，不能折成