時(shí)間序列分析課程報(bào)告

電子科技大學(xué)時(shí)間序列分析基于時(shí)間序列分析的乘客人數(shù)預(yù)測(cè)摘要：本文基于國(guó)際航空公司部分年限每月的乘客數(shù)據(jù)，給出了普通非平穩(wěn)時(shí)間序列的解決方式，通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的預(yù)解決和分析，我們能夠大致擬定一種時(shí)間序列的平穩(wěn)性，在確保了平穩(wěn)性的基礎(chǔ)之上后續(xù)的分析和建模才干順利展開。通過(guò)構(gòu)建ARIMA模型能夠?qū)Υ蟛糠值臅r(shí)間序列產(chǎn)生較好的擬合成果，除此之外，本文還將數(shù)據(jù)集進(jìn)行了一定的劃分，使得訓(xùn)練和驗(yàn)證能夠獨(dú)立進(jìn)行，能夠檢查模型的泛化能力，使得整個(gè)預(yù)測(cè)能夠達(dá)成比較好的效果。核心詞：時(shí)間序列，ARIMA，分析和建模一．研究背景時(shí)間序列最早來(lái)源于古埃及人把尼羅河漲落的狀況逐天統(tǒng)計(jì)下來(lái),構(gòu)成了所謂最早的時(shí)間序列有關(guān)的概念。早期的時(shí)間序列分析普通都是通過(guò)直觀的數(shù)據(jù)比較或繪圖觀察,尋找序列中蘊(yùn)含的發(fā)展規(guī)律，尼羅河周期性泛濫的規(guī)律發(fā)現(xiàn)就是依靠這種原始的分析辦法。一種重要的轉(zhuǎn)折點(diǎn)則是隨機(jī)變量的引入，由于與時(shí)間序列有關(guān)的問(wèn)題經(jīng)常呈現(xiàn)出非常強(qiáng)的隨機(jī)性，人們發(fā)現(xiàn)依靠單純的描述性時(shí)序分析已不能精確地尋找出隨機(jī)變量發(fā)展變化的規(guī)律。為了更精確地預(yù)計(jì)隨機(jī)序列發(fā)展變化的規(guī)律，從20世紀(jì)代開始,一種大的趨勢(shì)就是運(yùn)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的有關(guān)原理分析時(shí)間序列，研究的重心從表面現(xiàn)象的總結(jié)轉(zhuǎn)移到分析序列值內(nèi)在的有關(guān)關(guān)系上，由此開辟了應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)科[1]：時(shí)間序列分析。有關(guān)時(shí)間序列分析辦法，最早來(lái)源于1927年數(shù)學(xué)家Yule提出的自回歸模型(AR模型)，用來(lái)預(yù)測(cè)市場(chǎng)變化的規(guī)律。1931年，另一位數(shù)學(xué)家在AR模型的啟發(fā)下,建立了移動(dòng)平均模型(MA模型)，初步奠定了時(shí)間序列分析辦法的基礎(chǔ)。隨即又逐步提出其它模型，逐步形成完整的時(shí)間序列分析辦法?，F(xiàn)在時(shí)間序列分析辦法邁上了一種新的臺(tái)階,在工程領(lǐng)域方面的應(yīng)用非常廣泛，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和信號(hào)解決技術(shù)的快速發(fā)展,時(shí)間序列分析理論和辦法更趨完善。具體而言，按照時(shí)間的次序把隨機(jī)事件變化發(fā)展的過(guò)程統(tǒng)計(jì)下來(lái)就構(gòu)成了一種時(shí)間序列。對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行觀察、研究，找尋它變化發(fā)展的規(guī)律，預(yù)測(cè)它將來(lái)的走勢(shì)就是時(shí)間序列分析。簡(jiǎn)言之，時(shí)間序列分析的基本思想是根據(jù)系統(tǒng)有限長(zhǎng)度的歷史統(tǒng)計(jì)(即已知的觀察數(shù)據(jù))，建立能夠比較精確地反映時(shí)間序列中所包含的動(dòng)態(tài)依存關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，并借以對(duì)系統(tǒng)的將來(lái)行為進(jìn)行預(yù)測(cè)。典型的時(shí)間舉例以下圖所示：圖1.1951~1980美國(guó)勞工統(tǒng)計(jì)局統(tǒng)計(jì)的罷工人數(shù)圖2.1770~1869年間太陽(yáng)黑子數(shù)統(tǒng)計(jì) 從模型構(gòu)建的基礎(chǔ)上講，時(shí)間序列中的每個(gè)觀察值大小，是由多個(gè)不同因素在同一時(shí)刻發(fā)生作用的綜合成果。從這些影響因素發(fā)生作用的大小和方向變化的時(shí)間特性來(lái)看，這些因素造成的時(shí)間序列數(shù)據(jù)的變動(dòng)分為下面幾個(gè)：趨勢(shì)性：某個(gè)變量隨著時(shí)間進(jìn)展，呈現(xiàn)一種比較緩慢而長(zhǎng)久的持續(xù)上升或者下降或者停留的不同屬性的變動(dòng)趨向，這種變動(dòng)使得時(shí)間序列隨機(jī)變量的方差在逐步變化，進(jìn)而凸顯出一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律；周期性：時(shí)間序列由于外部或者內(nèi)部變量的影響隨著時(shí)間的延伸，交替地出現(xiàn)高峰與低谷的規(guī)律；隨機(jī)性：由于隨機(jī)白噪聲的影響使得時(shí)間序列呈現(xiàn)出統(tǒng)計(jì)意義上的隨機(jī)性；由于時(shí)間序列本身的特點(diǎn)，常見的基本分析模型有下面幾個(gè)：1)P階自回歸模型（AR(p)）:X即現(xiàn)在時(shí)刻的序列值由過(guò)去序列值的線性組合以及現(xiàn)在隨機(jī)噪聲構(gòu)成；2)Q階滑動(dòng)平均模型（MA(q)）:X即現(xiàn)在時(shí)刻的序列值由過(guò)去的隨機(jī)噪聲和現(xiàn)在隨機(jī)噪聲構(gòu)成；3)ARMA模型(p,q):X即包含上述兩種影響的時(shí)間序列問(wèn)題，現(xiàn)在時(shí)刻值受過(guò)去的序列值以及過(guò)去的噪聲和現(xiàn)在的噪聲影響；4)ARIMA模型(p,d,q):由Box與Jenkins于上世紀(jì)七十年代提出，ARIMA的含義是單積自回歸移動(dòng)平均過(guò)程，其含義為：假設(shè)一種隨機(jī)過(guò)程其通過(guò)d次差分后能夠變換為一種平穩(wěn)的自回歸滑動(dòng)平均過(guò)程，則該隨機(jī)過(guò)程稱為單積（整）自回歸移動(dòng)平均過(guò)程，其核心在于通過(guò)次數(shù)不多的差分使得非平穩(wěn)的時(shí)間序列模型轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)的時(shí)間序列模型(即普通ARMA模型)。5)其它模型：更為普通的非線性模型,如門限自回歸、馬爾科夫鏈；動(dòng)態(tài)系統(tǒng)模型,如Kalman濾波，多層遞階預(yù)測(cè)；多元回歸模型；變量場(chǎng)預(yù)測(cè)模型；固然在實(shí)際應(yīng)用中時(shí)間序列的分析辦法遠(yuǎn)不止上述所列的，這里只是對(duì)基本的模型進(jìn)行概述。時(shí)間序列在各個(gè)領(lǐng)域都有所應(yīng)用，其中典型的應(yīng)用領(lǐng)域就涉及經(jīng)濟(jì)學(xué)的有關(guān)預(yù)測(cè)，信號(hào)解決領(lǐng)域，大數(shù)據(jù)挖掘以及氣象信息預(yù)測(cè)等。舉例而言，就經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域，諸如在證券領(lǐng)域中得到的觀察數(shù)據(jù)列普通都含有較強(qiáng)的時(shí)間變化趨勢(shì)，股票價(jià)格的數(shù)據(jù)都是以時(shí)間序列的形式出現(xiàn)的。因此,采用時(shí)間序列分析法對(duì)股市數(shù)據(jù)進(jìn)行分析預(yù)測(cè)是可行的，并且諸多文獻(xiàn)都闡明了它的有效性；除此之外間序列分析辦法在數(shù)據(jù)挖掘中的應(yīng)用也獲得了一定的進(jìn)展。研究者們運(yùn)用數(shù)據(jù)挖掘?qū)ο?，根?jù)時(shí)間序列分析辦法，提出了基于含糊集合的數(shù)據(jù)挖掘時(shí)間序列模式算法以及結(jié)合當(dāng)下主流機(jī)器學(xué)習(xí)辦法，例如支持向量機(jī)，隨機(jī)森林等等；尚有的則根據(jù)某些時(shí)間序列所含有的分形特性，分析了運(yùn)用分形理論中的R/S分析，發(fā)現(xiàn)含有分形特性的時(shí)間序列模式的辦法；這些辦法通過(guò)對(duì)大型數(shù)據(jù)庫(kù)的海量數(shù)據(jù)分析提出了進(jìn)行時(shí)間序列模式挖掘的算法，為顧客的決策支持和趨勢(shì)預(yù)測(cè)提供了根據(jù)。在氣候預(yù)測(cè)領(lǐng)域，基于均生函數(shù)的時(shí)間序列預(yù)測(cè)延伸出了諸多在氣候分析及預(yù)測(cè)上有較好效果的模型，實(shí)驗(yàn)成果表明這類模型不僅能較好地?cái)M合歷史實(shí)并且對(duì)將來(lái)1~5年的演變趨勢(shì)也含有一定的預(yù)報(bào)能力[2]。圖3.時(shí)間序列分析在天氣預(yù)測(cè)中的舉例二．基于R的乘客人數(shù)預(yù)測(cè)本文但愿通過(guò)借助于R平臺(tái)，結(jié)合時(shí)間序列分析的基本辦法，呈現(xiàn)對(duì)于普通的非平穩(wěn)模型的建模分析過(guò)程，借此加深對(duì)時(shí)間序列分析本身的理解以及有關(guān)理論知識(shí)的算法原則化，有助于后續(xù)對(duì)于時(shí)間序列分析的應(yīng)用。首先，本文的數(shù)據(jù)來(lái)源R本身的數(shù)據(jù)集“AirPassengers”,其中包含了1949-1960年每月國(guó)際航空的乘客數(shù)量的數(shù)據(jù)，該數(shù)據(jù)集的特點(diǎn)為含有季節(jié)性和趨勢(shì)性，是一種非平穩(wěn)的時(shí)間序列，因此大致的思路是通過(guò)差分使得數(shù)據(jù)變得平穩(wěn)，然后借助ARIMA模型來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)規(guī)律的預(yù)測(cè)和分析。下圖展示了該數(shù)據(jù)集：圖4.國(guó)際航空乘客數(shù)據(jù)集概覽首先，我對(duì)本文中涉及的數(shù)據(jù)進(jìn)行時(shí)間序列的繪制，觀察變量的總體趨勢(shì)，并且擬合一條直線，通過(guò)這條擬合直線能夠大致看出序列的趨勢(shì)性；圖5.乘客人數(shù)從1949~1960的整體變化狀況從圖上我們能夠看出，隨著時(shí)間軸的延伸，乘客人數(shù)是在逐步遞增的，這是大趨勢(shì)，從擬合直線的走勢(shì)能夠看出來(lái)，這表明隨著經(jīng)濟(jì)的逐步發(fā)展，越來(lái)越多的人們選擇乘飛機(jī)去往世界各地，因此也符合現(xiàn)狀的預(yù)期；除此之外，我們能夠看到，在每一年的周期內(nèi)部，乘客人數(shù)的變化也呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性，大致是在每年的7，8月左右達(dá)成人數(shù)值的頂峰，這個(gè)我們?cè)诒趁鏁?huì)做更精確的驗(yàn)證?？傮w而言，該數(shù)據(jù)滿足含有季節(jié)性和趨勢(shì)性的特點(diǎn)，是一種典型的非平穩(wěn)數(shù)據(jù)。緊接著，我通過(guò)一種均值函數(shù)，求出這些年12個(gè)月份的乘客人數(shù)在每月份點(diǎn)上的均值，并繪制以下的箱線圖：圖7.乘客月平均人數(shù)箱線圖從上圖能夠看出，一年十二個(gè)月份中，每年的7，8月份是航空出行的旺季，因此我們也能夠借此推測(cè)，每年的暑假階段出行游覽的人數(shù)較多，這也符合現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際狀況。因此，我們能夠從簡(jiǎn)樸的繪圖以及對(duì)比，發(fā)現(xiàn)某些簡(jiǎn)樸的推論，這些基于數(shù)據(jù)的合理推論也能給我們的現(xiàn)實(shí)生活產(chǎn)生一定的指導(dǎo)意義。接下來(lái)我對(duì)這個(gè)時(shí)間序列進(jìn)行有關(guān)的檢查，首先我繪制出這個(gè)序列的自有關(guān)函數(shù)和偏有關(guān)函數(shù)的趨勢(shì)圖，以下圖所示：圖8.未解決原始數(shù)據(jù)的自有關(guān)函數(shù)和偏有關(guān)函數(shù) 由自有關(guān)函數(shù)和偏有關(guān)函數(shù)，能夠看出該時(shí)間序列不是平穩(wěn)的，由于其自有關(guān)函數(shù)和偏有關(guān)函數(shù)并未呈典型的指數(shù)衰減，不能斷定其是截尾的還是拖尾的。因此就上述分析而言，需要對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行差分，使得整體的序列呈現(xiàn)平穩(wěn)性。為了使得數(shù)據(jù)更加符合正態(tài)性，在進(jìn)行差分之前，我對(duì)原始的數(shù)據(jù)取對(duì)數(shù)之后在進(jìn)行一階差分；圖9.一階差分之后的自有關(guān)函數(shù)和偏有關(guān)函數(shù) 在通過(guò)一階差分之后，能夠看出序列的衰減因而能夠大致擬定擬定模型的階數(shù)；但是由于R內(nèi)置了自動(dòng)擬定模型階數(shù)的函數(shù)，因此我們這里直接調(diào)取函數(shù)。這里我根據(jù)序列的數(shù)據(jù)集大小采用了兩種不同的解決方式，一種是選用包含原始全部數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)集，即通過(guò)原來(lái)全部的數(shù)據(jù)來(lái)預(yù)測(cè)下一種周期(即下一年)的乘客人數(shù)；另一種則是選用前十一年的數(shù)據(jù)作為樣本集訓(xùn)練時(shí)間序列模型，剩余后一年的數(shù)據(jù)作為對(duì)比，相稱于一種測(cè)試集來(lái)驗(yàn)證模型的預(yù)測(cè)效果。前者的解決是為了模型能夠有充足的輸入來(lái)擬合模型實(shí)現(xiàn)更精確的預(yù)測(cè)，而后一種則是借助訓(xùn)練集和測(cè)試集的劃分來(lái)驗(yàn)證模型的預(yù)測(cè)性能，能夠給出一定的泛化性能指標(biāo)，這樣即能夠兼顧預(yù)測(cè)成果的完備性，也能夠反映模型本身的性能優(yōu)劣。全序列：原始樣本包含了全部的十二年的數(shù)據(jù)，序列長(zhǎng)度為144；根據(jù)R自帶的ARIMA模型參數(shù)自動(dòng)匹配函數(shù)，最后有兩組模型參數(shù)被選出來(lái)，即分別對(duì)應(yīng)時(shí)間序列分析模型的兩組(p,d,q)，預(yù)測(cè)的置信區(qū)度為99.5%：第一種模型：(0,1,1)其預(yù)測(cè)成果以下圖所示：模型參數(shù)檢查以下及預(yù)測(cè)效果以下，藍(lán)色部分為模型的預(yù)測(cè)下一種周期的乘客人數(shù)，：圖11.ARIMA(0,1,1)模型的下一種周期預(yù)測(cè)輸出 2）第二個(gè)模型(2,1,1)其模型參數(shù)檢查成果和預(yù)測(cè)曲線以下所示：圖12.ARIMA(2,1,1)模型的下一種周期預(yù)測(cè)輸出從預(yù)測(cè)曲線的直觀看來(lái)，兩個(gè)模型的預(yù)測(cè)差別較大，但是通過(guò)認(rèn)真的對(duì)比和挖掘，前者的信息量為AIC=1021，后者為AIC=1018.36，有所差別；除此之外，精確的預(yù)測(cè)值以下圖顯示：圖13.兩種模型的預(yù)測(cè)值對(duì)比我們能夠看到，當(dāng)階數(shù)為(2,1,1)時(shí)，直觀上來(lái)說(shuō)更加符合7，8月份作為旺季的時(shí)候的規(guī)律，因此，即使由R擬定的最后模型有兩個(gè)，但是明顯地我們能夠更傾向于選擇ARIMA(2,1,1);整個(gè)模型的擬合度更高，并且從殘差檢查來(lái)說(shuō)，ARIMA(2,1,1)的殘差更加趨向于白噪聲，闡明其對(duì)趨勢(shì)性和季節(jié)性的擬合更加好，這點(diǎn)能夠從下面的QQ-Plot能夠看出，在QQ-Plot中，殘差擬合越靠近抱負(fù)的實(shí)對(duì)角線，闡明模型擬合度越高，具體而言兩種模型在數(shù)據(jù)中段的擬合程度都較好，只是在數(shù)據(jù)兩端，ARIMA(2,1,1)比ARIMA(0,1,1)更加貼合，對(duì)例以下兩圖所示；圖14.ARIMA(2,1,1)的殘差檢查QQ-Plot圖15.ARIMA(0,1,1)的殘差檢查QQ-Plot前的序列(除去最后一種周期的數(shù)據(jù))：這里是則是為了檢查模型本身的性能，就如之前提到的，借助前的數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集，后一年的數(shù)據(jù)作為測(cè)試集的劃分來(lái)驗(yàn)證模型的預(yù)測(cè)性能，能夠給出一定的泛化性能指標(biāo)，這樣即能夠兼顧預(yù)測(cè)成果的完備性，也能夠反映模型本身的性能優(yōu)劣。值得一提的是，由于數(shù)據(jù)樣本由原來(lái)的12個(gè)周期減少為11個(gè)，因此這里的ARIMA需要重新擬定階數(shù)，顯然地，當(dāng)數(shù)據(jù)量變化的時(shí)候?qū)τ趨?shù)值的適應(yīng)必然會(huì)有所變化。由于減少了一種周期，因此，我先對(duì)這部分序列進(jìn)行成分分解，觀察其周期性和趨勢(shì)性與否明顯，成果以下圖所示：圖16.前11個(gè)周期的序列分解圖示我們能夠看到季節(jié)性和趨勢(shì)性仍然很強(qiáng)，闡明序列整體的數(shù)學(xué)性質(zhì)沒有由于最后一年數(shù)據(jù)的剔除而發(fā)生明顯變化。因此根據(jù)上述分析，在構(gòu)建模型之前，同樣需要進(jìn)行一階差分解決；其自有關(guān)函數(shù)和偏有關(guān)函數(shù)以下所示：圖16.前11個(gè)周期的序列自有關(guān)函數(shù)和偏有關(guān)函數(shù)根據(jù)自動(dòng)定階函數(shù)，擬定此時(shí)的ARIMA模型為(1,1,0)，其殘差檢查以下圖所示：圖17.前11個(gè)周期的殘差檢查QQ-Plot由此能夠看出模型的殘差比較符合預(yù)期；對(duì)模型進(jìn)行檢查，成果以下：接下來(lái)根據(jù)前11個(gè)周期建立的ARIMA模型來(lái)預(yù)測(cè)下一種周期的乘客人數(shù)，并且和實(shí)際的我們獲取的數(shù)據(jù)真值進(jìn)行比較，模型參數(shù)檢查及成果以下圖所示：圖18.前11個(gè)周期的ARIMA模型參數(shù)及其預(yù)測(cè)對(duì)比圖 其中紅色部分代表原始的真實(shí)數(shù)據(jù)，而藍(lán)色部分代表由前11個(gè)周期預(yù)測(cè)的下一種周期的值，能夠看到預(yù)測(cè)部分和其真實(shí)的分布重疊度較好，闡明ARIMA模型的擬合度較高，能夠?qū)υ紨?shù)據(jù)集進(jìn)行較好的擬合，從而印證了我們使用全部的數(shù)據(jù)集預(yù)測(cè)出的下一種周期乘客人數(shù)的可信度是較高的。三．總結(jié)本實(shí)驗(yàn)借助于R平臺(tái)及其公開的數(shù)據(jù)集，對(duì)時(shí)間序列分析的建模過(guò)程進(jìn)行了具體的探討。對(duì)于一種給定的時(shí)間序列，我們?cè)诮RMA或者ARIMA模型時(shí)，需要做諸多的預(yù)解決，這當(dāng)中就涉及：1)序列的平穩(wěn)性鑒定；2)若是非平穩(wěn)數(shù)據(jù)，則需要預(yù)計(jì)差分次數(shù)；3)自有關(guān)函數(shù)和偏有關(guān)函數(shù)的分析以及初步的定階；4)模型殘差的檢查；做完這些環(huán)節(jié)之后，我們就能夠來(lái)建立對(duì)應(yīng)的時(shí)間序列分析模型，這里對(duì)于不同的計(jì)算平臺(tái)可能有不同的方式。我們能夠根據(jù)自有關(guān)函數(shù)和偏有關(guān)函數(shù)給出一種比較粗略的階次，固然也能夠借助平臺(tái)，例如R就提供了自動(dòng)定階的函數(shù)，能夠通過(guò)自動(dòng)定階實(shí)現(xiàn)模型階次的擬定。通過(guò)后續(xù)的預(yù)測(cè)效果評(píng)定和分析，我們得到一種比較完備的模型，進(jìn)而將其應(yīng)用到實(shí)際的生產(chǎn)生活當(dāng)中。參考文獻(xiàn)[1]王燕1應(yīng)用時(shí)間序列分析[M]1北京:中國(guó)人民大學(xué)出版社,:31[2]張德寬,楊賢為,鄒旭凱.均生函數(shù))最優(yōu)子集回歸在高溫極值預(yù)測(cè)中的應(yīng)用[J].氣,,29(4):44247.代碼library("tseries")library("forecast")data(AirPassengers)start(AirPassengers)end(AirPassengers)frequency(AirPassengers)summary(AirPassengers)boxplot(AirPassengers~cycle(AirPassengers),main="乘客人數(shù)的月均值對(duì)比")opar<-par(mfrow=c(1,2))acf(AirPassengers,main="自有關(guān)函數(shù)",lag.max=20)pacf(AirPassengers,main="偏有關(guān)函數(shù)",lag.max=20)par(opar)dev.new()y_cmp<-decompose(y)plot(y_cmp)airdf1<-diff(AirPassengers,12)Airdf1<-diff(AirPassengers)dev.new()opar<-par(mfrow=c(1,2))acf(airdf1,main="自有關(guān)函數(shù)",lag.max=20)pacf(airdf1,main="偏有關(guān)函數(shù)",lag.max=20)par(opar)dev.new()opar<-par(mfrow=c(1,2))acf(Airdf1,main="自有關(guān)函數(shù)",lag.max=20)pacf(Airdf1,main="偏有關(guān)函數(shù)",lag.max=20)par(opar)dev.new()opar<-par(mfrow=c(1,2))acf(b,main="自有關(guān)函數(shù)",lag.max=20)pacf(b,main="偏有關(guān)函數(shù)",lag.max=20)par(opar)dev.new()opar<-par(mfrow=c(1,2))acf(y_df1,main="自有關(guān)函數(shù)",lag.max=20)pacf(y_df1,main="偏有關(guān)函數(shù)",lag.max=20)par(opar)dev.new