第四章《高等數(shù)學(xué)(上冊(cè))》課件

高等數(shù)學(xué)第四章不定積分高等數(shù)學(xué)第四章不定積分高等數(shù)學(xué)第四章不定積分010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法高等數(shù)學(xué)第四章不定積分010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法010203高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法01020高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法一、原函數(shù)和不定積分的概念定義1設(shè)f(x)是定義在區(qū)間(a,b)上的已知函數(shù)，如果存在一個(gè)函數(shù)F(x)，使得在(a,b)上的任意一點(diǎn)x有

或則稱函數(shù)F(x)是f(x)在該區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)．定理1如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有原函數(shù)F(x)，則F(x)+C(為任意常數(shù))也是f(x)在區(qū)間I上的原函數(shù)，并且f(x)的任一原函數(shù)均可表示成F(x)+C的形式．高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法010203高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法01020高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法定義2

在區(qū)間I內(nèi)，函數(shù)f(x)的全體原函數(shù)F(x)+C稱為f(x)在區(qū)間I上的不定積分，記為∫f(x)dx，其中，

∫稱為積分號(hào)，f(x)稱為被積函數(shù)，

f(x)dx稱為被積表達(dá)式，x稱為被積變量，C稱為積分常數(shù)．高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法010203高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法01020高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法例1

求

．解由于

，所以，x3是3x2的一個(gè)原函數(shù)，因此例2

求

．解由于

，所以，－cosx是sinx的一個(gè)原函數(shù)，因此高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法010203高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法01020高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法例3

求

．解

當(dāng)

時(shí)，

；

當(dāng)

時(shí)，

．因此高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法010203高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法01020高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法二、不定積分的幾何意義當(dāng)積分常數(shù)C取不同值時(shí)，不定積分表示的不是一個(gè)函數(shù)，而是一族函數(shù)．從幾何上看，它們代表一族曲線，稱為函數(shù)f(x)的積分曲線族，如圖4-1所示．圖4-1高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法010203高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法01020高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法積分曲線族具有以下兩個(gè)顯著的特點(diǎn)：（1）積分曲線族中所有的曲線都可以由其中任意一條曲線沿著y軸方向上下平移得到；（2）對(duì)應(yīng)同一橫坐標(biāo)x的點(diǎn)，其所有切線互相平行．高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法010203高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法01020高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法例4求經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,3）且切線的斜率為2x的曲線方程．解設(shè)所求曲線方程為y=F(x)，由題意知F’(x)=2x，而即2x的積分曲線族為y=x2+C．將x=1,y=3代入，得C=2．故所求曲線方程為y=x2+2．高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法010203高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法01020高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法三、不定積分的性質(zhì)性質(zhì)1

或

．性質(zhì)2

或

．性質(zhì)3

．性質(zhì)4

．高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法010203高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法01020高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法四、基本積分公式（1）

（2）（3）

（4）（5）

（6）（7）

（8）（9）

（10）（11）高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法010203高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法01020高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法例5求

．解

高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法010203高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法01020高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法例6求

．解

例7求

．解

高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法010203高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法01020高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法例8求．解

例9求．解本題不能直接運(yùn)用基本積分公式．

可由公式

得

高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法010203高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法01020高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法例10求．解

高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法010203高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法01020高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法例11已知物體以速度v=2t2+1(m/s)沿Ox軸做直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)t=1s時(shí)，物體經(jīng)過(guò)的路程為3m，求物體的運(yùn)動(dòng)方程．解設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為x=x(t)，于是有，x’(t)=v=2t2+1，所以將已知條件t=1s時(shí)，x=3m，代入上式有

，即．于是，所求物體的運(yùn)動(dòng)方程為

．

高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法010203高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法01020高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法一、第一換元積分法定理1（第一換元積分法）設(shè)函數(shù)f(u)具有原函數(shù)F(u)，且u=φ(x)可導(dǎo)，則函數(shù)F[φ(x)]是函數(shù)f[φ(x)

φ’(x)]的原函數(shù)，即有換元公式這個(gè)公式稱為第一換元積分法，也稱為湊微分法．高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法010203高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法01020高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法例1求．解

將dx進(jìn)行配湊，因?yàn)?/p>

，所以

高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法010203高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法01020高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法例2求．解

將dx進(jìn)行配湊，因?yàn)?/p>

，所以

高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法010203高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法01020高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法例3求．解

將dx進(jìn)行配湊，因?yàn)?/p>

，所以

高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法010203高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法01020高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法例4求．解

將dx進(jìn)行配湊，因?yàn)?/p>

，所以

高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法010203高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法01020高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法（1）

（2）（3）

（4）（5）

（6）（7）

（8）（9）

（10）一些常用的湊微分形式:高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法010203高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法01020高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法例5求．解因?yàn)?/p>

，所以

高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法010203高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法01020高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法例6求．解因?yàn)?/p>

，所以

高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法010203高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法01020高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法例7求．解因?yàn)?/p>

，所以

高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法010203高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法01020高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法例8求．解因?yàn)?/p>

，其中，所以

同理，可求得

高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法010203高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法01020高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法例9求．解因?yàn)?/p>

，所以

高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法010203高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法01020高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法二、第二換元積分法例10求．解因?yàn)楸环e函數(shù)含有根號(hào)，不容易湊微分，為了去掉根號(hào)，可先換元．令

，則

，

，于是有

高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法010203高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法01020高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法最后回代

，得

定理2（第二換元積分法）設(shè)f(x)連續(xù)，x=ψ(t)是單調(diào)、可導(dǎo)的函數(shù)，且ψ’(t)≠0，則有換元公式其中，t=ψ－1(x)為x=ψ(t)的反函數(shù)．高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法010203高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法01020高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法例11求．解求這個(gè)積分的主要困難是

，所以令

，則

，顯然

，于是高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法010203高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法01020高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法例12求．解被積函數(shù)中含有

和

兩個(gè)根式，作變換

，可同時(shí)將兩個(gè)根號(hào)去掉，

，則高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法010203高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法01020高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法三、補(bǔ)充的積分公式（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法010203高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法01020高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法設(shè)函數(shù)u=u(x),v=v(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則這兩個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)為即

對(duì)上式的兩邊求不定積分，有即

上式簡(jiǎn)記為

此公式為分部積分公式．高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法010203高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法01020高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法例1求．解設(shè)

，則

，于是高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法010203高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法01020高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法例2求．解設(shè)

，于是,所以高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法010203高等數(shù)學(xué)不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法01020高等數(shù)學(xué)010203不定積分的概念與性質(zhì)換元積分法分部積分法例3