2021年高考數(shù)學(xué)一模試卷 (三)(含答案解析)

2021年高考數(shù)學(xué)一模試卷(3)

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共10小題，共30.()分)

1.已知集合A={x|log4x<1}，B={x\x>2},則4nCRB=()

A.(-oo,2)B.(0,2)C.(一8,2]D.[2,4)

2.雙曲線式一藝=1的實(shí)軸長(zhǎng)為()

36

A.V3B.2V3C.3D.6

r2x—y<10

3.已知實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組卜+3yW5,若2=QX-y(a>0)的最小值為9,則實(shí)數(shù)。的值等

13%+2y>8

于()

A.3B.5C.8D.9

4.已知a,b&R,條件p：a>b,條件q：Iga>Igb+1,則p是4的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

5.已知將函數(shù)y=cos(2x+9的圖象向右平移機(jī)個(gè)單位長(zhǎng)度(m>0)可得y=s譏2x的圖象，則正

實(shí)數(shù)小的最小值為()

6.已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(圖中網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1),

則該幾何體的體積為()

A.8V2

B.32

C.16V2

D.16

7.己知隨機(jī)變量f滿足P&=0)=/P記=l)=x,P(f=2)=|-x.若0<》<玄則()

A.E(f)隨著x的增大而增大，D(f)隨著x的增大而增大

B.E(f)隨著x的增大而減小，D(。隨著x的增大而增大

C.E(f)隨著x的增大而減小，D(f)隨著x的增大而減小

D.E延)隨著x的增大而增大，?？?隨著x的增大而減小

8.某縣政府分派4名干部到甲、乙、丙三個(gè)貧困村開展“精準(zhǔn)扶貧”工作，要求每名干部只去一

個(gè)貧困村，且每個(gè)貧困村至少安排一名干部，則不同的分配方案種數(shù)有()

A.24種B.36種C.48種D.72種

9.在正方體ZBCD-48停1。1中，直線與面BDQBi所成角的正弦為()

10.已知函數(shù)/(久)滿足/'(%)+f'(x)=2xe-x,且/'((J)=0,若函數(shù)g(x)=--a有兩個(gè)不同的零

點(diǎn)，則實(shí)數(shù)“的取值范圍為()

A.(-0°,;)B.(-oo,^)C.(0,京)D.(0,1)

二、填空題(本大題共4小題，共12.()分)

22

11.F1，尸2為橢圓r：底=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓r上.若AMF/z為直角三

角形，且|Ma|=2|“61，則橢圓廠的離心率為.

12.若函數(shù)f(x)=，/+以+1的值域?yàn)橛?”;),則實(shí)數(shù)。取值范圍是.

13.己知a€R,函數(shù)/(x)=|x+：—a|+a在區(qū)間［1,4］上的最大值是5,則a的取值范圍是.

14.已知平面向量日、方滿足|22+33|=1，則本方的最大值為.

三、多空題(本大題共3小題，共9.0分)

15.某班級(jí)的學(xué)生中，是否有外省市旅游經(jīng)歷的人數(shù)情況如右表所示.從這個(gè)班級(jí)中隨機(jī)抽取1人，

則抽到的人是男生的概率為；若已知抽到的人有外省市旅游經(jīng)歷，則該學(xué)生是男生的概率

17.右(2X—1)5(X+2)—￡ZQ+CJ|(%—1)+…+Ug(X—I)，+<Zg(X—1)6,則a】+0.2+CI3+。4+

a5+a6=_(1)_,a5=_(2)_.

四、解答題(本大題共5小題，共63.0分)

18.在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為“，b,c,且2acosB—ccosB=bcosC.

(1)求角B的大?。?/p>

(2)若點(diǎn)。為的BC中點(diǎn)，且AD=b,求的值當(dāng)?shù)闹?/p>

19.如圖：四棱錐P-4BCD中，底面ABCO是平行四邊形，且AC=BD,木

P4L底面ABC￡>,PA=AB=1,BC=百，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，/：V

點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)./：\

(1)證明：當(dāng)點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)時(shí)，總有EF14F；

(2)當(dāng)CE等于何值時(shí)，PA與平面PDE所成角的大小為45。.D

20.(1)已知等差數(shù)列｛即｝的前〃項(xiàng)和又滿足S3=0,Ss=-5?求｛即｝的通項(xiàng)公式;

(2)在等比數(shù)列｛a九｝中，已知的=-1,。4=64,求q與S4

21.如圖，橢圓及W+3=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fi，F(xiàn)2,MF2IX軸，直線交y

軸于"點(diǎn)，0H=紅，Q為橢圓E上的動(dòng)點(diǎn)，AFiF?、的面積的最大值為L(zhǎng)

4

(1)求橢圓￡的方程；

(II)過(guò)點(diǎn)S(4,0)作兩條直線與橢圓E分別交于A,B,C,D,且使軸，如圖，問四邊形

ABCZ)的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)是否為定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22.已知函數(shù)f(x)=e*T—%,求/'(x)的最小值.

【答案與解析】

1.答案：B

解析：解:由A中的不等式變形得：logd<1=log44,

得到0cx<4,即A=(0,4)；

???B=[2,+8),全集為R,

???CRB=(-00,2),

則ACCRB=(0,2).

故選B

求出A中其他不等式的解集確定出A,根據(jù)全集R及B求出B的補(bǔ)集，找出A與B補(bǔ)集的交集即可.

此題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵.

2.答案：B

解析：解：根據(jù)題意，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為至-旺=1,

36

其中a=A/3>

則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)2a=2痘;

故選：B.

根據(jù)題意，由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分析可得a的值，由雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2“分析可得答案.

本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式.

3.答案：B

解析：

本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題.

由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)

代入目標(biāo)函數(shù)得答案.

(2x—y<10

解：由實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組x+3yW5,作出可行域如圖,

(3x+2y>8

由圖可知，當(dāng)直線y=ax-z過(guò)A(2,l)時(shí)，直線在y軸上的截距最大，此時(shí)z最小，

z—ax-y(a>0)的最小值為9,

可得：2a-1=9.可得a=5,

故選：B.

4.答案：B

解析：解：由題意可得，若lga>lgb+l,則a>10b>0,故a>b,

若a>b,a、b中有負(fù)數(shù)時(shí)，條件q：Iga>Igb+1不成立，

根據(jù)充分條件和必要條件的定義可得「是q的必要不充分條件.

故選：B.

根據(jù)充分條件和必要條件的定義分別進(jìn)行判斷即可.

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)充分條件和必要條件的定義是解決本題的關(guān)鍵.

5.答案：D

解析：解：將函數(shù)y=cos(2x+；)的圖象至少向右平移他個(gè)單位長(zhǎng)度(6>0)可得y=sin2x=

cos(2x—》的圖象，

而y=cos(2x—1)=cos[2(x—m)+^],

故正實(shí)數(shù)m的最小值為患，

故選：D.

利用函數(shù)y=As譏+s)的圖象變換規(guī)律，誘導(dǎo)公式，得出結(jié)論.

本題主要考查函數(shù)丫=4$勿(3%+0)的圖象變換規(guī)律，誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題.

6.答案：D

解析：解：由已知中的三視圖，可得該幾何體是一個(gè)三棱柱，/*/\

底面面積S=|x4x2=4,

4

高九=4,

故該幾何體的體積U=4x4=16,

故選：D.

由已知中的三視圖，可得該幾何體是一個(gè)三棱柱，分別求出它的底面面積和高，代入體積公式，可

得答案.

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是由三視圖求體積和表面積，解決本題的關(guān)鍵是得到該幾何體的形狀.

7.答案：C

解析：

本題考查命題真假的判斷，考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求

解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題.

求出=D(O=-(x+1)2+|f,從而得出E(f)隨著x的增大而減小，。⑷隨著x的增大

而減小.

解:???隨機(jī)變量f滿足P(f=0)=gP(f=1)=x,P(f=2)=|-匕0<尤<|.

E(f)=x+^-2x=^-x,

D(f)=(0—g+%)2X：+(1—g+尤)2xX+(2—g+x)2X(|—X)=一/一1%+g=-(X++

33

36，

2

V0<x<-

???E(f)隨著x的增大而減小，D(f)隨著x的增大而減小.

故選C.

8.答案：B

解析：

本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①將4名干部分為3組，②將分好的三組安排甲、乙、丙三個(gè)貧困村,

由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.

解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：

①將4名干部分為3組，有底=6種分組方法，

②將分好的三組安排甲、乙、丙三個(gè)貧困村，有用=6種情況，

則有6x6=36種不同的分配方法，

故選：B.

9.答案：B

解析:

本題考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)

算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.

解：以。為原點(diǎn)，D4為x軸，0c為了軸，為z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方體力BCD—A1&GD1中棱長(zhǎng)為1,

則4(1,0,0),0式0,0,1),8(1,1,0),￡>(0,0,0),

D^A=(1,0,-1)，麗=(1,1,0)，西=(0,0,1)，

設(shè)平面面BDZ\Bi的法向量元=(x,y,z),

則吐x+y=0,取得記=(i,_i,o),

(n-DD1=z=0

設(shè)直線ADi與面BDD]Bi所成角為。，

則sin。

|取|?同一V2-V2-2

直線ZDi與面BDD1當(dāng)所成角的正弦值為土

故選民

10.答案：D

解析：解：函數(shù)/'(x)滿足/'(x)+/'(x)=2xe-x,2/S

可得ex/(x)+/(x)ex=2x,

即有［//(為］'=2x,_|_p-

可設(shè)h(x)=exf(x)=/+c,I

由/(O)=O?可得c=0,

2

則f(x)=3v,

由g(x)=0，可得竽=a，

即卷=a，

由丫=卷的導(dǎo)數(shù)為丫'=衰，

當(dāng)x>l時(shí)y'<0,函數(shù)y遞減，

當(dāng)x<l時(shí)y'>0,函數(shù)y遞增，

可得y=/在x=1處取得極大值工，

由圖象可得0<a<｝時(shí)，y=W和直線y=a有兩個(gè)交點(diǎn)，

函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，

故選：D.

由題意可得［eXf(x)］'=2，可設(shè)h(x)=e"(x)=/+c,由/'(())=0,可得c=0,則/(x)=,

即有己=%求得y=R的導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間、極值，畫出圖象，即可得到所求范圍?

本題考查韓寒說(shuō)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，考查轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想方法，以及構(gòu)造函數(shù)法，考查運(yùn)算

能力，屬于中檔題.

11.答案：理或在

33

解析：

本題考查橢圓的定義，考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬

于基礎(chǔ)題.

設(shè)|MF2|=x,則|MF/=2x,由橢圓的定義可得3x=2a,根據(jù)△M&F?為直角三角形，分類討論,

即可求出橢圓廠的離心率.

解：設(shè)IMF2I=X,則=2x,

***3x=2Q,ci—,

2

???△“招尸2為直角三角形，

若MF210尸2，則％2+4c2=(2x)2,

V3c6

/.c=-x,e=-=一;

2a3

若M&IMF2，則/+(2x)2=4C2,

VscV5

:'c=-%,e=-=一?

2a3

故答案為：3或立.

33

12.答案：(―oc,—2](J[2,+x)

解析：

本題主要考查函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題.

由題意得；(?,+oc)應(yīng)是函數(shù)y=x2+ax+1值域的子集，轉(zhuǎn)化成函數(shù)y=x2+ax+1與x軸有交點(diǎn),

進(jìn)而即可得結(jié)果.

解：由題意可知，令)/=尢2+。刀+1,

???函數(shù)/(x)的值域?yàn)椤?.+x).

二函數(shù)y=x2+ax+1與x軸有交點(diǎn)，

即4=a2—4>0,

解得a>2<-2,

故答案為(一x,-2]U[2,+x).

13.答案：(—8勺

解析：

通過(guò)轉(zhuǎn)化可知設(shè)+：一叫+。45且。勺5,進(jìn)而解絕對(duì)值不等式可知2a—5Wx+：W5,進(jìn)而計(jì)算

可得結(jié)論.

本題考查函數(shù)的最值，考查絕對(duì)值函數(shù)，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題.

解：由題可知+(-a|+aS5,BP|x+^—<i|<5—a,所以aW5,

又因?yàn)閨x+：-a|<5-a,

所以Q5<x-a<5—a,

—X

所以2a—5<%-1--<5,

X

又因?yàn)?<x+^<5,

所以2Q-5W4,解得aW，

故答案為：(一8,5.

14.答案：(

解析：解：由|2丘+31|=1，

則方,另=(2瓦+3匕尸—(25-3》

2424

2

=-1--(-2-a-3-S-)-<,—1,

2424—24

當(dāng)且僅當(dāng)24=3石，

即|初=［時(shí)，上式等號(hào)成立.

a?方最大值為芻

24

故答案為：士.

24

15.答案：g

2

5

解析：

本題考查古典概型概率計(jì)算公式的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題.

利用古典概型概率計(jì)算公式直接求解即可.

解：因?yàn)?+9+9+8=32(人)

這個(gè)班級(jí)的32人中隨機(jī)抽取1人，則抽到的人是男生的情況有6+9=15種，

故抽到男生的概率為最

從外省市旅游經(jīng)歷的6+9=15人中抽取一人，其中是男生的共有6種情況，故是男生的概率為2=|.

故答案為H;l.

16.答案：2

43.

i

55

解析：

由實(shí)部為0且虛部不為0求得〃值，代入產(chǎn);，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)得答案.

1+ai

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.

解：z=(a-2)+(a+l)i,(aWR)是純虛數(shù)，

.a+i_2+i_(2+i)(l-2i)_4_3.

“1+ai-l+2i-(l+2i)(l-2i)-55'

故答案為：2;1—|i.

17.答案:969

176

解析：

本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，注意根據(jù)題意，分析所給代數(shù)式的特點(diǎn)，通過(guò)給二項(xiàng)式的x賦值，

求展開式的系數(shù)和，可以簡(jiǎn)便的求出答案，屬于基礎(chǔ)題.

在已知等式中分別取％=1,2,聯(lián)立可得由++。3+。4+Q5+由(2%-l)5(x+2)=[2(%-

1)+l]5[(x-1)+3],結(jié)合二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)可得的.

解：在(2%—1)5(X+2)=—1)+…+CL^(X—I.)，+怒(％—1)6中，

取工=1,得3=a0,

?。?2,得35X4=00+%+02+

Qi+@24-Q3+。4++@6=972—3=969；

由(2%—l)5(x+2)=[2(%—1)+I]5[(%—1)+3]=劭+—1)+…+Ug(x—I)。,

得的(%-1)=c*25(X-1)5?3+Cj?24(x-l)4-(x-1)=176(%-l)5.

:.as=176.

故答案為：969,176.

18.答案：解：(1)在△中，??,2QCOSB—ccosB=bcosC,

???由正弦定理得2sizMcos8=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinAf

vAG???sinAH0,則cosB=

??,Be??.5=p

(2)在4480中，由余弦定理得AD2=(|a)24-c2-2x^-cosB=^a2+c2—|ac,

在^ABC中，由余弦定理得爐=a2+c2—2accosB=a24-c2—ac,

vAD=b,?-a2+c2-ac=-a2+c2--ac,整理得.Q2=NQC,

4242

?a??-=2

c3

由正弦定理得當(dāng)=2=3

sinCc3

解析：（1）利用正弦定理結(jié)合兩角和差的正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求角B的大?。?/p>

（2）由余弦定理求出4。2,b2t結(jié)合已知條件即可求出:的值，再由正弦定理即可得答案.

本題考查解三角形的應(yīng)用，考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，是中檔題.

19.答案：證明：（1）因?yàn)榈酌鍭8CO是平行四邊形，且4C=B。，

所以四邊形ABC。是矩形.

因?yàn)镻A_L底面ABCD,ADu平面ABCD,ABu平面ABCD,

所以PA1AD,PA1AB,

所以AZ）,AB,AP兩兩互相垂直，

分別以A。、AB、AP所在直線為x、y、z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

ZA

則可得P(0,0,1),8(0/，0),F(0,pi),D(V3,0,0),4(0,0,0),

設(shè)BE=a,0<a<V3,

則E(a,l,0),???麗=色彳,-3,AF=(0,i,1),

所以FE?AF=ci'0+^x^+(—[)x：=0,

而1禍

.??當(dāng)點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)時(shí)，總有EFJL4F.

解：(2)而=(75,0，-1),PE=(a,l,-l)，

設(shè)平面PQE的法向量為記=(x,y,z),

M(m-PD=V3x-z=0,令“I,得沅=(i,8百)，

(m-PE=ax+y-z=0'''

???P4與平面POE所成角的大小為45。，AP=(0,0,1),

..co_|fn-i4P|V2把，"-=—

***sin45='J?=—，得I~~2.

2ll+(V3-a)2+3

解得a=V3—口或a=>J3+魚(舍去)>

B￡=V3-V2,即當(dāng)CE等于魚時(shí)，PA與平面POE所成角的大小為45。.

解析：本題考查線線垂直的證明，考查使線面角為45。的點(diǎn)的確定與求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真

審題，注意向量法的合理運(yùn)用.

(1)分別以A。、AB.AP所在直線為x、y、z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明當(dāng)點(diǎn)

E在邊BC上移動(dòng)時(shí)，總有,EF14F.

(2)求出平面PDE的一個(gè)法向量，由此利用向量法能求出CE=e時(shí)，PA與平面PCE所成角的大小

為45。.

20.答案：解：(1)設(shè)｛斯｝的公差為"，則Sn=nai+也沿d.

由已知S3=0,S5=-5嘿煞常工,

解得的=1,d=-1,

故｛an｝的通項(xiàng)公式為冊(cè)=1-(n-1)=2-n；

(2)在等比數(shù)列｛4｝中，由的=-la4=64,

得或=殳=-64,

即q=-4,

故S451.

1—(—4)

解析：(1)本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和，屬于基礎(chǔ)題.

由已知S3=0,S5=-5列式求得等差數(shù)列的公差和首項(xiàng)，即得出答案.

(2)本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和，屬于基礎(chǔ)題.

由已知列式求得等比數(shù)列的公比，代入前〃項(xiàng)和公式求得

21.答案:解：(1)