上海市徐匯區(qū)2022年九年級上學(xué)期《數(shù)學(xué)》期末試題與參考答案

上海市徐匯區(qū)2022年九年級上學(xué)期《數(shù)學(xué)》期末試題與參考答案一、選擇題本大題共6小題，每題4分，滿分24分。1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，則sinA的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義就可以求解．【詳解】根據(jù)題意畫出圖形如圖所示：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC＝3．則sinA＝．故選A．【點睛】考查銳角三角函數(shù)的定義及運用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比邊．2.如圖，已知AB∥CD∥EF，BD:DF=2:3，那么下列結(jié)論中，正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例，據(jù)此可得結(jié)論．【詳解】解：∵AB∥CD∥EF，BD：DF=2：3，∴CD：EF的值無法確定，故A選項錯誤；AB：CD的值無法確定，故B選項錯誤；AC：AE=2：5，故C選項正確；CE：EA=3：5，故D選項錯誤；故選：C．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例．3.無人機在空中點A處觀察地面上的小麗所在位置B處的俯角是50°，那么小麗在地面點B處觀察空中點A處的仰角是（）A.40° B.50° C.60° D.70°【答案】B【解析】【分析】根據(jù)仰角是向上看的視線與水平線所成的角、俯角是向下看的視線與水平線所成的角以及平行線的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖，由題意，∠A=50°，AC∥BD，∴∠B=∠A=50°，故小麗在地面點B處觀察空中點A處的仰角是50°，故選：B．【點睛】本題考查仰角、俯角、平行線的性質(zhì)，熟知仰角、俯角的概念是解答的關(guān)鍵．4.已知點C是線段AB的中點，下列結(jié)論中正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意畫出圖形，因為點C是線段AB的中點，所以根據(jù)線段中點的定義解答．【詳解】解：如圖所示∵點C是線段AB的中點∴A、，故錯誤；B、，故本選項正確；C、，故本選項錯誤；D、，故本選項正確．故選：D．【點睛】本題主要考查線段的中點定義，難度不大，注意向量的方向及運算法則．5.下列對二次函數(shù)的圖像的描述中，不正確的是（）A.拋物線開口向下 B.拋物線的對稱軸是直線C.拋物線與y軸的交點坐標(biāo)是 D.拋物線的頂點坐標(biāo)是【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對各小題分析判斷即可得解．【詳解】解：∵a=-2<0，∴拋物線的開口向下，故選項A正確，不符合題意；∴對稱軸為直線x=-1，故選項B正確，不符合題意；當(dāng)x=0時，，即拋物線與y軸的交點坐標(biāo)是，故選項C錯誤，符合題意；頂點坐標(biāo)為（-1，3），故選項D正確，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要利用了拋物線的開口方向、對稱軸、頂點坐標(biāo)．熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．6.如圖，在中，，CD、CE分別是斜邊AB上的高和中線，下列結(jié)論不一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)，，的余角相等即可判斷A，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即，可得，則，即可判斷B選項，根據(jù)A選項可得，即，即可判斷C，根據(jù)，可得,，即可判斷D選項．【詳解】解：，，故A選項正確，不符合題意；CD、CE分別是斜邊AB上的高和中線，，故B選項不正確，符合題意；，即，故C選項正確，不符合題意；，即,又故D選項正確，不符合題意．二、填空題本大題共12小題，每題4分，滿分48分。7.計算：______．【答案】【分析】根據(jù)向量線性運算法則計算即可．【詳解】解：=，故答案為：．8.冬日暖陽，下午4點時分，小明在學(xué)校操場曬太陽，身高1.5米的他，在地面上的影長為2米，則此時高度為9米的旗桿在地面的影長為______米．【答案】12【分析】設(shè)高度為9米旗桿在地面的影長為x米，根據(jù)同一時刻，物高與影長成比例解答即可．【詳解】解：設(shè)高度為9米的旗桿在地面的影長為x米，根據(jù)題意，得：，解得：x=12，∴高度為9米的旗桿在地面的影長為12米，故答案為：12．【點睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用，熟知同一時刻，物高與影長成比例是解答的關(guān)鍵．9.將拋物線先向左平移1個單位，再向下平移4個單位后，所得拋物線的表達式是______．【答案】【分析】拋物線的平移規(guī)律：左加右減，上加下減，根據(jù)平移規(guī)律直接作答即可.【詳解】解：拋物線先向左平移1個單位，再向下平移4個單位后，所得拋物線的表達式是：即故答案為：【點睛】本題考查的是拋物線的平移，掌握“拋物線的平移規(guī)律”是解本題的關(guān)鍵.10.如果點A(2，y1)，B(5，y2)在二次函數(shù)y=x2?2x+n圖像上，那么______（填＞、＝、＜）【答案】＜【分析】題需先根據(jù)已知條件求出二次函數(shù)的圖象的對稱軸，再根據(jù)點A、B的橫坐標(biāo)的大小即可判斷出y1與y2的大小關(guān)系．【詳解】解：∵二次函數(shù)y=x2-2x+n的圖象的對稱軸是直線x=1，且a=1>0，在對稱軸的右邊y隨x的增大而增大，∵點A（2，y1）、B（5，y2）是二次函數(shù)y=x2-2x+1的圖象上兩點，2＜5，∴y1＜y2．故答案為：＜．11.如圖，某人跳芭蕾舞，踮起腳尖時顯得下半身比上半身更修長．若以裙子腰節(jié)為分界點，身材比例正好符合黃金分割，已知從腳尖到頭頂高度為176cm，那么裙子的腰節(jié)到腳尖的距離為______cm．（結(jié)果保留根號）【答案】【分析】根據(jù)黃金分割的黃金數(shù)得腰節(jié)到腳尖的距離：腳尖到頭頂距離=即可解答．【詳解】解：設(shè)腰節(jié)到腳尖的距離為xcm，根據(jù)題意，得：，解得：，∴腰節(jié)到腳尖的距離為（）cm，故答案為：．12.如圖，中，，，點D、E分別在邊AB，AC上，已知，，則線段DE的長為______．【答案】【分析】先證明可得再代入數(shù)據(jù)進行計算即可.【詳解】解：，，，。13.如圖，BE是的角平分線，過點E作交邊AB于點D．如果，，則BC的長度為______．【答案】##【分析】先根據(jù)角平分線定義和平行線性質(zhì)證得∠DBE=∠DEB，∠ADE=∠ABC，再根據(jù)等角對等邊證得DE=BD，然后證明△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵BE是的角平分線，∴∠DBE=∠EBC，∵ED∥BC，∴∠EBC=∠DEB，∠ADE=∠ABC，∴∠DBE=∠DEB，∴BD=DE=2，∴AB=AD+BD=5，∵∠ADE=∠ABC，∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC，∴，即，解得：，故答案為：．14.二次函數(shù)的圖像如圖所示，對稱軸為直線，根據(jù)圖中信息可求得該二次函數(shù)的解析式為______．【答案】y=－x2－2x+3【分析】根據(jù)圖象與x、y軸的交點坐標(biāo)和對稱軸，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式即可．【詳解】解：設(shè)該二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），由圖象知：當(dāng)x=1時，y=0，當(dāng)x=0時，y=3，又對稱軸為直線x=－1，則，解得：，∴該二次函數(shù)的解析式為y=－x2－2x+3，15.小明同學(xué)逛書城，從地面一樓乘自動扶梯，隨扶梯移動了13米，到達距離地面5米高的二樓，則該自動扶梯的坡度______．【答案】5：12【分析】先利用勾股定理求得水平距離，再利用坡度的知識即可求解．【詳解】解：如圖，根據(jù)題意知：AB=13米，BC=5米，∴AC=12(米)，∴該自動扶梯的坡度，∴該自動扶梯的坡度為5：12。16.如圖，已知點G是等邊的中心，記向量，，則向量______．（用向量的形式表示，其中x、y為實數(shù)）【答案】+【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，由點G是等邊△ABC的中心，即可得BD=CD=BC，AG=AD，然后利用三角形法則求得的值，繼而求得與的值．【詳解】解：∵點G是等邊△ABC的中心，∴BD=CD=BC，AG=AD，∵=-=-，∴==(-)，∴=+=+(-)=(+)，∴==×(+)=+．故答案為：+．17.如圖，已知點A是拋物線圖像上一點，將點A向下平移2個單位到點B，再把A繞點B順時針旋轉(zhuǎn)120°得到點C，如果點C也在該拋物線上，那么點A的坐標(biāo)是______．【答案】（，）【分析】設(shè)A（x，x2），根據(jù)平移、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出C點坐標(biāo)，代入拋物線求出x，故可求解．【詳解】解：∵點A是拋物線圖像上一點故設(shè)A（x，x2），∵將點A向下平移2個單位到點B，故B（x，x2-2）∵把A繞點B順時針旋轉(zhuǎn)120°得到點C，如圖，過點B作BD⊥AB于B，過點C作CD⊥BD于D，AB=BC=2，∠ABC=120°，∠ABD=90°，∴∠DBC=30°故CD=，BD=，故C（x+，x2-3），把C（x+，x2-3）代入，∴x2-3=（x+）2，解得x=-∴A（-，3）故答案為：（，3）．【點睛】此題主要考查二次函數(shù)與幾何綜合，解題的關(guān)鍵是熟知坐標(biāo)與函數(shù)的關(guān)系、平移與旋轉(zhuǎn)的特點及直角三角形的性質(zhì)．18.如圖，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，點D為斜邊BC上一點，且BD=3CD，將△ABD沿直線AD翻折，點B的對應(yīng)點為B′，則sin∠CB′D=______．【答案】【分析】先證明A、B′、C、D四點共圓，推出∠CB′D=∠CAD，過點D作DE⊥AC于點E，利用平行線分線段成比例定理得到AE=3CE，由勾股定理得到AD=，再由正弦函數(shù)即可求解．【詳解】解：∵∠CAB=90°，AB=AC，∴∠ACB=∠B=45°，由折疊的性質(zhì)得∠AB′D=∠B=45°，∴∠AB′D=∠ACD=45°，∴A、B′、C、D四點共圓，∴∠CB′D=∠CAD，過點D作DE⊥AC于點E，∵∠CAB=90°，∴DE∥AB，∵BD=3CD，∴AE=3CE，∵∠ACB=45°，∴△DEC是等腰直角三角形，∴DE=CE，設(shè)DE=CE=a，則AE=3CE=3a，在Rt△ADE中，AD=，∴sin∠CB′D=sin∠CAD=。三、解答題本大題共7小題，滿分78分。19.計算：．【答案】【分析】根據(jù)特殊角的銳角三角函數(shù)值進行計算即可．【詳解】解：20.二次函數(shù)的自變量x的取值與函數(shù)y的值列表如下：x…﹣2﹣10…234……﹣503…30﹣5…（1）根據(jù)表中的信息求二次函數(shù)的解析式，并用配方法求出頂點的坐標(biāo)；（2）請你寫出兩種平移的方法，使平移后二次函數(shù)圖像的頂點落在直線上，并寫出平移后二次函數(shù)的解析式．【答案】（1）；頂點坐標(biāo)（2）把拋物線向下平移3個單位長度，拋物線為：，或把拋物線向右平移3個單位長度，拋物線為：.【分析】（1）由二次函數(shù)過設(shè)拋物線的交點式為再把代入拋物線的解析式求解的值，再配方，求解頂點坐標(biāo)即可；（2）平移后二次函數(shù)圖像的頂點落在直線上，頂點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，由頂點坐標(biāo)為：再分兩種情況討論：當(dāng)頂點坐標(biāo)為：時，當(dāng)頂點坐標(biāo)為：時，再寫出平移方式即可.【小問1詳解】解：二次函數(shù)過設(shè)把代入拋物線的解析式可得：解得：所以拋物線為：而所以頂點坐標(biāo)為：【小問2詳解】解：平移后二次函數(shù)圖像的頂點落在直線上，頂點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，而頂點坐標(biāo)為：當(dāng)頂點坐標(biāo)變?yōu)椋簳r，把拋物線向下平移3個單位長度即可；此時拋物線為：當(dāng)頂點坐標(biāo)變?yōu)椋簳r，把拋物線向右平移3個單位長度即可.此時拋物線為：.21.已知：如圖，在梯形中，，，，對角線、相交于點E，過點A作，交對角線BD于點F．（1）求的值；（2）設(shè)，，請用向量、表示向量．【答案】（1）（2）【分析】（1）由，得，由，得，從而解決問題；（2）求出與的關(guān)系，以及與的關(guān)系，通過即可求解．小問1詳解】解：，，，，，設(shè)，則，，，【小問2詳解】解：，，，，，，，，，，，．22.如圖1是一種自卸貨車，圖2是該貨車的示意圖，貨箱側(cè)面是一個矩形，長米，寬米，初始時點A、B、F在同一水平線上，車廂底部AB離地面的高度為1.3米．卸貨時貨箱在千斤頂?shù)淖饔孟吕@著點A旋轉(zhuǎn)，箱體底部AB形成不同角度的斜坡．（1）當(dāng)斜坡AB的坡角為37°時，求車廂最高點C離地面的距離；（2）點A處的轉(zhuǎn)軸與后車輪轉(zhuǎn)軸（點E處）的水平距離叫做安全軸距，已知該車的安全軸距為0.7m．貨廂對角線AC、BD的交點G是貨廂側(cè)面的重心，卸貨時如果A、G兩點的水平距離小于安全軸距時，會發(fā)生車輛傾覆安全事故．當(dāng)斜坡AB的坡角為45°時，根據(jù)上述車輛設(shè)計技術(shù)參數(shù)，該貨車會發(fā)生車輛傾覆安全事故嗎？試說明你的理由．（精確到0.1米，參考值：，，，）【答案】（1）4m（2）不會，理由見解析【分析】（1）過點作，垂足分別為，交于點，過點作于點，根據(jù)即可解決問題；（2）過點作于點，同理求得，進而勾股定理求得，根據(jù)平行線分線段成比例求得，進而判斷是否大于即可判斷該貨車是否會發(fā)生車輛傾覆安全事故．【小問1詳解】如圖，過點作，垂足分別為，交于點，過點作于點，則四邊形是矩形，斜坡AB的坡角為37°，即,，，【小問2詳解】該貨車不會發(fā)生車輛傾覆安全事故，理由如下，如圖，過點作于點，同理求得在中，四邊形是矩形,該貨車不會發(fā)生車輛傾覆安全事故．23.如圖，已知中，，射線CD交AB于點D，點E是CD上一點，且，聯(lián)結(jié)BE．（1）求證：（2）如果CD平分，求證：．【答案】【小問1詳解】證明：∵，∠ADE=∠CDB，∴△ADE∽△CDB，∴即，又∠ADC=∠EDB，∴；【小問2詳解】證明：∵CD平分，∠ACB=90°，∴∠ACD=∠DCB=45°，∵△ADE∽△CDB，，∴∠DCB=∠EAD=∠EBD=45°，∴AE=BE，∠AEB=90°，∴△AEB為等腰直角三角形，∴AB2=AE2+BE2=2BE2，∵∠DCB=∠EBD，∠CEB=∠BED，∴△CEB∽△BED，∴即，∴AB2=2BE2=2ED·EC．24.如圖，拋物線與x軸相交于點A，與y軸交于點B，C為線段OA上的一個動點，過點C作x軸的垂線，交直線AB于點D，交該拋物線于點E．（1）求直線AB的表達式，直接寫出頂點M的坐標(biāo)；（2）當(dāng)以B，E，D為頂點的三角形與相似時，求點C的坐標(biāo)；（3）當(dāng)時，求與的面積之比．【答案】（1）,，（2），或，（3）【分析】（1）求出、點的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求直線的解析式即可；（2）由題意可知是直角三角形，設(shè)，分兩種情況討論①當(dāng)，時，，此時，由此可求；②當(dāng)時，過點作軸交于點，可證明，則，可求，再由點在拋物線上，則可求，進而求點坐標(biāo)；（3）作的垂直平分線交軸于點，連接，過點作于點，則有，在中，，求出，，則，設(shè)，則，，則有，求出，即可求．【小問1詳解】解：令，則，或，，令，則，，設(shè)直線的解析式為，，，，，，；【小問2詳解】解：，，是直角三角形，設(shè)，①如圖1，當(dāng)，時，，，，（舍或，，；②