人教版八年級數(shù)學下冊-18.2-特殊的平行四邊形-18.2.3-正方形

新課導入除了矩形和菱形外，還有什么特殊的平行四邊形嗎？正方形有什么性質(zhì)？怎樣判定一個四邊形是正方形？第一頁第二頁，共54頁。學習目標學習重、難點1.能說出正方形的意義及性質(zhì).2.能說出正方形與其他特殊四邊形的關系（共性與個性）.3.知道正方形的判定方法.

重點：正方形的性質(zhì)及與其他特殊四邊形的聯(lián)系與區(qū)別.

難點：正方形的性質(zhì)的運用.第二頁第三頁，共54頁。推進新課知識點1

正方形

正方形是我們熟悉的幾何圖形，它的四條邊都相等，四個角都是直角.因此，正方形既是矩形，又是菱形.第三頁第四頁，共54頁。

正方形也是矩形，所以它具有矩形的性質(zhì)，四個角相等，對角線相等.第四頁第五頁，共54頁。

正方形也是菱形，所以正方形也具有菱形的性質(zhì)，即正方形的四條邊相等，對角線互相垂直，并且每條對角線平分一組對角.第五頁第六頁，共54頁。

正方形也是菱形，所以正方形也具有菱形的性質(zhì)，即正方形的四條邊相等，對角線互相垂直，并且每條對角線平分一組對角.第六頁第七頁，共54頁。正方形是軸對稱圖形嗎？有幾條對稱軸？是軸對稱圖形，有4條對稱軸.第七頁第八頁，共54頁。正方形的性質(zhì)正方形的四個角都是直角；正方形的四條邊都相等；正方形的對角線相等，并且互相垂直平分；正方形是軸對稱圖形，它有四條對稱軸.第八頁第九頁，共54頁。那么，如何判定一個四邊形是正方形呢？判定一個四邊形為正方形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩條：（1）先證它是矩形，再證它有一組鄰邊相等；（2）先證它是菱形，再證它有一個角為直角.第九頁第十頁，共54頁。練習1、（1）把一個長方形紙片如圖那樣折一下，就可以裁出一個正方形紙片，為什么？解：由折疊可知：∠B＝∠D＝90°，∠DAB＝90°，∴四邊形ABCD是矩形.又∵AB＝AD，∴四邊形ABCD是正方形.第十頁第十一頁，共54頁。（2）如果是一個長方形木板，如何從中裁出一個最大的正方形木板呢？解：在長方形木塊較長的一邊上截取一段等于較短的一條邊長，即可得到最大的正方形木板。第十一頁第十二頁，共54頁。誤區(qū)診斷誤區(qū)一對正方形的定義理解不深，對矩形、菱形的判定不熟練，容易混淆1.在四邊形ABCD中，O是對角線的交點，下列條件中，能判定這個四邊形是正方形的是（）A.AD∥BC，∠B=∠DB.AD=BC，AB

CD∥＝C.AO=BO=CO=DO，AC⊥BDD.AO=CO，BO=DO，AB=BC第十二頁第十三頁，共54頁。錯解：A或B或D正解：C錯因分析：對正方形的判定不熟練，A、B、D只能判斷四邊形ABCD是平行四邊形或矩形或菱形.第十三頁第十四頁，共54頁。知識點1

平行四邊形，矩形，菱形，正方形例5求證：正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形.已知：如圖，正方形ABCD中，對角線AC、BD相交于O。求證：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形。第十四頁第十五頁，共54頁。證明：∵四邊形ABCD是正方形?！郃C＝BD，AC⊥BD，OA＝OB＝OC＝OD，∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO都是等腰直角三角形，并△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.第十五頁第十六頁，共54頁。平行四邊形菱形正方形平行四邊形矩形正方形正方形、菱形、矩形、平行四邊形之間有什么關系？與同學們討論一下.第十六頁第十七頁，共54頁。鄰邊相等有一個直角一組鄰邊相等有一個直角第十七頁第十八頁，共54頁。練習1.如圖，ABCD是一塊正方形場地，小華和小芳在AB邊上取定了一點E，測量知，EC=30m，EB=10m.這塊場地的面積和對角線長分別是多少？解：∵ABCD是正方形，∴∠B=90°.在Rt△BEC中，（m）第十八頁第十九頁，共54頁。連接AC，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=20（m），AC===40（m）S正方形ABCD=BC2=

（20）2=800（m2）所以正方形的對角線長40m，面積為800m2.第十九頁第二十頁，共54頁。誤區(qū)二考慮問題不全面，出現(xiàn)漏解情況2.如圖所示，在正方形ABCD中，H是DC上一點，E是CB延長線上一點，且DH=BE，請你判斷△AEH的形狀，并說明理由.ABCDEH第二十頁第二十一頁，共54頁。錯解：△AEH為等腰三角形.理由：∵四邊形ABCD是正方形.所以AD=AB，∠D=∠ABE=90°，∴在Rt△ADH和Rt△ABE中，AD=AB，∠D=∠ABE，DH=BE，∴Rt△ADH≌Rt△ABE（SAS），∴AH=AE.則△AEH為等腰三角形.ABCDEH錯因分析：本題出錯原因在于分析問題時，只注重AH與AE之間的數(shù)量關系，而忽略了AH與AE之間的位置關系.第二十一頁第二十二頁，共54頁。正解：△AEH為等腰三角形.理由：∵四邊形ABCD是正方形.所以AD=AB，∠D=∠ABE=90°，∴在Rt△ADH和Rt△ABE中，AD=AB，∠D=∠ABE，DH=BE，∴Rt△ADH≌Rt△ABE（SAS），∴AH=AE，∠DAH=∠BAE，∴∠HAE=∠DAB=90°則△AEH為等腰直角三角形.ABCDEH第二十二頁第二十三頁，共54頁。隨堂演練基礎鞏固1.正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是（）A.對角線互相平分

B.對角線互相垂直C.對角線相等

D.每一條對角線平分一組對角C第二十三頁第二十四頁，共54頁。2.滿足下列條件的四邊形是不是正方形？為什么？

（1）對角線互相垂直且相等的平行四邊形.（

）

（2）對角線互相垂直的矩形.（

）

（3）對角線相等的菱形.（

）

（4）對角線互相垂直平分且相等的四邊形.（

）√√√√第二十四頁第二十五頁，共54頁。綜合應用3.如圖，正方形ABCD中，AC與BD交于點O，點M，N分別在AC，BD上，且OM=ON，求證：BM=CN.證明：由正方形的性質(zhì)可得：OB=OC，∠BOM=∠CON=90°，又∵OM=ON,∴△BOM≌△CON,∴BM=CN.第二十五頁第二十六頁，共54頁。課堂小結(jié)正方形的性質(zhì)正方形的四個角都是直角；正方形的四條邊都相等；正方形的對角線相等，并且互相垂直平分；正方形是軸對稱圖形，它有四條對稱軸.第二十六頁第二十七頁，共54頁。

如圖，四邊形ABCD是正方形，點G是BC上的任意一點，DE⊥AG于點E，BF∥DE，交AG于點F，求證：AF-BF=EF.證明：∵∠BAF+∠DAE=90°，又∵DE⊥AG，BF∥DE，∴BF⊥AG，∴∠BAF+∠ABF=90°，∴∠ABF=∠DAE.又∵AB=DA，∠AFB=∠DEA=90°,∴△ABF≌△DAE，∴BF=AE，∴AF-BF=AF-AE=EF.第二十七頁第二十八頁，共54頁。1.從課后習題中選?。?.完成練習冊本課時的習題。課后作業(yè)第二十八頁第二十九頁，共54頁。教學反思

正方形是我們熟悉的幾何圖形，它的四條邊都相等，四個角都是直角.因此，正方形既是矩形，又是菱形.它既有矩形的性質(zhì)，又有菱形的性質(zhì).教學過程中，要讓學生搞清正方形、菱形、矩形、平行四邊形之間的區(qū)別和聯(lián)系，并列表或用框圖表示這些關系.教師教學時應注意讓學生相互交流，獲取成功的體驗.第二十九頁第三十頁，共54頁。習題18.1復習鞏固1.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC，BD相交于點O，且∠1=∠2.它是一個矩形嗎？為什么？解：它是一個矩形.理由：∵∠1=∠2，∴OB=OC，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，OB=OD，∴OA=OC=OB=OD，∴AC=BD.∴ABCD是矩形.第三十頁第三十一頁，共54頁。2.求證：四個角都相等的四邊形是矩形.ABCD證明：由四邊形的內(nèi)角和定理得，∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∵∠A=∠B=∠C=∠D，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，∴四邊形ABCD是矩形.第三十一頁第三十二頁，共54頁。3.一個木匠要制作矩形的踏板，他在一個對邊平行的長木板上分別沿與長邊垂直的方向鋸了兩次。就能得到矩形踏板.為什么？解：如圖∵AB⊥AD，CD⊥AD.∴AB∥CD，∠A=90°，AD∥BC.∴四邊形ABCD是矩形.ABCD第三十二頁第三十三頁，共54頁。4.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2AC.求∠A，∠B的度數(shù).ACBD解：取AB得中點D，連接CD，∵CD是Rt△ABC斜邊上的中線，∴CD=AB=AD，∵AB=2AC，∴AC=AB，∴AC=CD=AD，∴△ACD是等邊三角形，∴∠A=60°，又∵∠A+∠B=90°，∴∠B=30°.第三十三頁第三十四頁，共54頁。5.如圖，四邊形ABCD是菱形，∠ACD=30°，BD=6.求：（1）∠BAD，∠ABC解：（1）∵四邊形ABCD是菱形.∴AC平分∠BCD.∴∠BCD=2∠ACD=2×30°=60°，∴∠BAD=∠BCD=60°，又∠ABC+∠BAD=180°，∴∠ABC=180°-∠BAD=180°-60°=120°.第三十四頁第三十五頁，共54頁。（2）AB，AC的長.解：設AC與BD交于點O，由（1）∠BAD=60°，AB=AD.知△ABD是等邊三角形.∴AB=BD=6.在Rt△ABO中，AB=6，BO=BD=3，∴AO=∴AC=2AO=≈10.39.O第三十五頁第三十六頁，共54頁。6.如圖，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于點C，BD平分∠ABC，且交AE于點D，連接CD.求證：四邊形ABCD是菱形.證明：因為AE∥BF.∴∠DAC=∠BCA，∠ADB=∠CBD，∵AC平分∠BAD，BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∠BAC=∠BCA，∴AB=AD=BC，∴四邊形ABCD是菱形.第三十六頁第三十七頁，共54頁。綜合應用7.如圖，把一個長方形紙片對折兩次，然后剪下一個角.要得到一個正方形，剪口與折痕應成多少度的角？解：剪口應與折痕成45°角.第三十七頁第三十八頁，共54頁。8.如圖，為了做一個無蓋紙盒，小明先在一塊矩形硬紙板的四角畫出四個相同的正方形，用剪刀剪下.然后把紙板的四邊沿虛線折起，并用膠帶粘好，一個無蓋紙盒就做成了.紙盒的底面是什么形狀？為什么？ABCDFGE解：紙盒的底面是矩形.如圖：∵ABCD是正方形.∴∠ADC=90°，∠EDF=90°，同理∠E=∠F=90°，∴四邊形DFGE是矩形.第三十八頁第三十九頁，共54頁。9.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB與點D，∠ACD=3∠BCD，E是斜邊AB的中點.∠ECD是多少度？為什么？

解：∵E是斜邊AB上的中點，即CE是斜邊上的中線，∴CE=AB=AE，∴∠A=∠ACE，

∵CD⊥AD，

∴∠B+∠BCD=90°，

∠A+∠ACD=90°，第三十九頁第四十頁，共54頁。∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠A=∠BCD.∵∠ACD=3∠BCD，∴∠ACD=3∠A，又∠ADC=90°，∴∠A=22.5°∴∠ECD=∠ACD-∠ECA=67.5°-22.5°=45°第四十頁第四十一頁，共54頁。10.如圖，四邊形ABCD是菱形，點M，N分別在AB，AD上，且BM=DN，MG∥AD，NF∥AB；點F，G分別在BC，CD上，MG與NF相交于點E.求證：四邊形AMEN，EFCG都是菱形.證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=DA=BC=CD，∵BM=DN，

∴AM=AN，∵MG∥AD，NF∥AB，∴四邊形AMEN是平行四邊形，又AM=AN，所以AMEN是菱形.同理可證EFCG是菱形.第四十一頁第四十二頁，共54頁。11.如圖，四邊形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB與點H，求DH的長.解：∵四邊形ABCD是菱形.∴AC⊥BD，AO=AC=4BO=BD=3，∴AB==5，∵S△ABD=S菱形ABCD=∴AB·

DH=12，

∴DH=第四十二頁第四十三頁，共54頁。12.（1）如下圖（1），四邊形OBCD是矩形，O，B，D三點的坐標分別是（0,0），（b，0），（0，d），求點C的坐標.

解：（1）∵四邊形OBCD是矩形，∴OD=BC，OB=DC，且CD⊥OD，CD垂直O(jiān)B.∵D（0，d），B（b，0），∴C（b，d）第四十三頁第四十四頁，共54頁。（2）如下圖（2），四邊形ABCD是菱形，C，D兩點的坐標分別是（c，0）（0，d），點A，B在坐標軸上，求A，B兩點的坐標.解：（2）∵四邊形ABCD是菱形，∴AO=CO，BO=DO，∵C（c，0），∴A（-c，0），∵D（0，d），∴B（0，-d），第四十四頁第四十五頁，共54頁。（3）如下圖（3），四邊形OBCD是正方形，O，D兩點的坐標分別為（0，0），（0，d）.求B，C兩點的坐標.解：（3）∵四邊形OBCD為正方形,∴OD=DC=BC，且CB⊥OB，CD⊥DO，又∵D（0，d），∴B（d，0），∴C（d，d）.第四十五頁第四十六頁，共54頁。13.如圖，E，F(xiàn)，M，N分別是正方形ABCD四條邊上的點，且AE=BF=CM=DN.試判斷四邊形EFMN是什么圖形？并證明你的結(jié)論.解：四邊形EFMN是正方形.證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，又AE=BF=CM=DN，第四十六頁第四十七頁，共54頁。∴AN=DM=CF=BE，∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM，∴EN=NM=MF=FE，∴四邊形EFMN為菱形.∵∠BFE+∠BEF=90°，∴∠BEF+∠AEN=90°。∴∠NEF=90°，∴四邊形EFMN為正方形.第四十七頁第四十八頁，共54頁。14.如圖，將等腰三角形紙片ABC沿底邊BC上的高AD剪成兩個三角形.用這兩個三角形你能拼成多少種平行四邊形？試一試，分別求出它們的對角線的長.第四十八頁第四十九頁，共