排列組合經(jīng)典例題總結(jié)

基本原理組合排列排列數(shù)公式組合數(shù)公式組合數(shù)性質(zhì)應用問題知識結(jié)構網(wǎng)絡圖：第一頁第二頁，共36頁。

名稱內(nèi)容分類原理分步原理定義相同點不同點兩個原理的區(qū)別與聯(lián)系：做一件事或完成一項工作的方法數(shù)直接（分類）完成間接（分步驟）完成做一件事，完成它可以有n類辦法，第i類辦法中有mi種不同的方法，那么完成這件事共有

N=m1+m2+m3+…mn

種不同的方法做一件事，完成它可以有n個步驟，做第i步中有mi種不同的方法，那么完成這件事共有

N=m1·m2·m3·…·mn

種不同的方法.第二頁第三頁，共36頁。排列和組合的區(qū)別和聯(lián)系：名稱排列組合定義種數(shù)符號計算公式關系性質(zhì)

，從n個不同元素中取出m個元素，按一定的順序排成一列從n個不同元素中取出m個元素，把它并成一組所有排列的的個數(shù)所有組合的個數(shù)第三頁第四頁，共36頁。一.特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復數(shù)字五位奇數(shù).解:由于末位和首位有特殊要求,應該優(yōu)先安排這兩個位置.先排末位共有___

然后排首位共有___最后排其它位置共有___由分步計數(shù)原理得=288位置分析法和元素分析法是解決排列組合問題最常用也是最基本的方法,若以元素分析為主,需先安排特殊元素,再處理其它元素.若以位置分析為主,需先滿足特殊位置的要求,再處理其它位置。第四頁第五頁，共36頁。7種不同的花種在排成一列的花盆里,若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問有多少不同的種法？練習1解一：分兩步完成；第一步選兩葵花之外的花占據(jù)兩端和中間的位置第二步排其余的位置：解二：第一步由葵花去占位：第二步由其余元素占位：第五頁第六頁，共36頁。二.相鄰元素捆綁策略例2.7人站成一排,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰,共有多少種不同的排法.甲乙丙丁由分步計數(shù)原理可得共有種不同的排法=480解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個復合元素，同時丙丁也看成一個復合元素，再與其它元素進行排列，同時對相鄰元素內(nèi)部進行自排。

要求某幾個元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素合并為一個元素,再與其它元素一起作排列,同時要注意合并元素內(nèi)部也必須排列.第六頁第七頁，共36頁。

七個家庭一起外出旅游，若其中四家是男孩，三家是女孩，現(xiàn)將這七個小孩站成一排照相留念。若三個女孩要站在一起，四個男孩也要站在一起，共有多少種不同的排法？練習2第七頁第八頁，共36頁。三.不相鄰問題插空策略例3.一個晚會的節(jié)目有4個舞蹈,2個相聲,3個獨唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場,則節(jié)目的出場順序有多少種？解:分兩步進行第一步排2個相聲和3個獨唱共有

種，第二步將4舞蹈插入第一步排好的5個元素中間包含首尾兩個空位共有種

不同的方法

由分步計數(shù)原理,節(jié)目的不同順序共有

種相相獨獨獨元素相離問題,可先把沒有位置要求的元素進行排隊,再把不相鄰元素插入中間和兩端.第八頁第九頁，共36頁。馬路上有編號為1、2、3…9的九盞路燈，為節(jié)約用電，現(xiàn)要求把其中3盞燈關掉，但不能關掉相鄰的2盞或3盞，也不能關掉兩端的路燈，則滿足條件的關燈方法有多少種。練習3不同的關燈方法有：（種）第九頁第十頁，共36頁。四.定序問題縮倍(空位.插入)策略例4.7人排隊,其中甲乙丙3人順序一定共有多多少種不同的排法.解:(縮倍法)對于某幾個元素順序一定的排列問題,可先把這幾個元素與其他元素一起進行排列,然后用總排列數(shù)除以這幾個元素之間的全排列數(shù),則共有不同排法種數(shù)是：（空位法）設想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有

種方法，其余的三個位置甲乙丙共有

種坐法，則共有

種方法1思考:能否讓甲乙丙先坐?第十頁第十一頁，共36頁。（插入法)先排甲乙丙三個人,共有1種排法,再把其余4四人依次插入共有

方法4*5*6*7定序問題可以用縮倍法，還可轉(zhuǎn)化為插空模型處理練習題410人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求從左至右身高逐漸增加，共有多少種排法？第十一頁第十二頁，共36頁。五.多排問題直排策略例5.8人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在前排,丁在后排,共有多少排法解:8人排前后兩排,相當于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.先在前4個位置排甲乙兩個特殊元素有____種,再排后4個位置上的特殊元素有_____種,其余的5人在5個位置上任意排列有____種,則共有_________種.前排后排一般地,元素分成多排的排列問題,可歸結(jié)為一排考慮,再分段研究.第十二頁第十三頁，共36頁。10名學生分坐兩行，要求面對面坐下，但其中甲乙兩位同學不可相鄰也不可面對面，有多少種坐法？練習題5共有(1)甲在兩端：(2)甲不在兩端：第十三頁第十四頁，共36頁。六.排列組合混合問題先選后排策略例6.有5個不同的小球,裝入4個不同的盒內(nèi),每盒至少裝一個球,共有多少不同的裝法.解:第一步從5個球中選出2個組成復合元共有__種方法.再把5個元素(包含一個復合元素)裝入4個不同的盒內(nèi)有_____種方法.根據(jù)分步計數(shù)原理裝球的方法共有_____解決排列組合混合問題,先選后排是最基本的指導思想.第十四頁第十五頁，共36頁。練習題6某種產(chǎn)品有4只次品和6只正品，每只均不同且可區(qū)分，今每次取出一只測試，直到4只次品全部測出為止，則最后一只次品恰好在第五次測試中被發(fā)現(xiàn)的不同情況有多少種？第十五頁第十六頁，共36頁。七.相同元素分配問題隔板策略例7.有10個三好學生名額，分給7個班，每班至少一個,有多少種分配方案？

解：因為10個名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成９個空隙。在９個空檔中選６個位置插個隔板，可把名額分成７份，對應地分給７個班級，每一種插板方法對應一種分法共有___________種分法。一班二班三班四班五班六班七班將n個相同的元素分成m份（n，m為正整數(shù)）,每份至少一個元素,可以用m-1塊隔板，插入n個元素排成一排的n-1個空隙中，所有分法數(shù)為第十六頁第十七頁，共36頁。練習題7有編號為1、2、3的3個盒子和10個相同的小球，現(xiàn)把這10個小球全部裝入3個盒子中，使得每個盒子所裝球數(shù)不小于盒子的編號數(shù)，這種裝法共有多少種?第十七頁第十八頁，共36頁。八.正難則反間接法例8.四面體的頂點和各棱中點共10個點，從中取4個不共面的點，不同的取法有多少種？取出的4點不共面情形復雜，故采用間接法。取出的4點共面有三類：（1）過四面體的一個面有種；（2）過四面體的一條棱上的三個點和對棱的中點的平面有6種；（3）過四面體的四條棱的中點且與另兩條棱平

行的平面有3種；故取4個不共面的點有第十八頁第十九頁，共36頁。以一個正方體的頂點為頂點，能組成多少個不同的四面體？

練習8第十九頁第二十頁，共36頁。解排列組合題的常用方法6.排列組合混合題先選后排法1.特殊元素優(yōu)先考慮2.不相鄰問題插空法3.相鄰問題捆綁法4.

定序問題縮倍法5.多排問題直排法7.相同元素分配問題隔板法8.正難則反間接法第二十頁第二十一頁，共36頁。練習1.（1）6本不同的書分給5名同學每人一本，有多少種不同分法？（2）5本相同的書分給6名同學每人至多一本，有多少種不同的分法？（3）6本不同的書全部分給5名同學每人至少一本，有多少種不同的分法？1.分配問題捆綁法第2課時排列組合綜合應用第二十一頁第二十二頁，共36頁。練習1（5）6本不同的書分給甲、乙、丙3名同學每人兩本，有多少種不同分法？（4）6本不同的書分給3名同學，甲1本、乙2

本、丙3本，有多少種不同的分法？分配問題捆綁法第二十二頁第二十三頁，共36頁。練習1（6）8本不同的書分給3名同學，其中1名同學2本、另兩人3本，有多少種不同分法？分配問題第二十三頁第二十四頁，共36頁。練習1（7）7名志愿者中安排6人在周六、周日兩天參加社會公益活動，若每天安排3人，者有多少種不同的安排方法？分配問題第二十四頁第二十五頁，共36頁。練習1：（8）將5名實習教師分配到高一年級的3個班實習，每個班至少1名，最多2名，則不同的分配方案有多少？分配問題第二十五頁第二十六頁，共36頁。練習2：（1）7個相同的小球，任意放入4個不同的盒子中，共有多少種不同的方法？分配問題解：相當于將7個小球用3塊隔板分成4份隔板法第二十六頁第二十七頁，共36頁。練習2：（2）7個相同的小球，任意放入4個不同的盒子中，每個盒子至少有1個小球的不同放法有多少種？分配問題解：將7個小球用3塊隔板分成4份但盒子又不能空隔板法第二十七頁第二十八頁，共36頁。練習3：四面體的一個頂點是A，從其它頂點和各棱中點中取3個點，使他們和點A在同一個平面上，則共有多少種不同的取法？2.組圖形問題第二十八頁第二十九頁，共36頁。練習4：用正方體的8個頂點共可以組成多少個不同的四面體？2.組圖形問題第二十九頁第三十頁，共36頁。練習5：10雙不相同的鞋子混裝在一只口袋中，從中任取4只，試求符合下列各種情形的方法數(shù)？先成雙后成單（1）4只鞋子恰成兩雙；(2)4只鞋子沒有成雙；(3)4只鞋子恰有2只成雙；第三十頁第三十一頁，共36頁。練習6：8名外交工作者，其中3人只會英語，2人只會日語，3人既會英語又會日語，現(xiàn)從則8人中選3個會英語，3個會日語的人去完成一項任務，有多少種不同的選法？3.選人問題第三十一頁第三十二頁，共36頁。例10：給下面的5個行政區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，問共有多少種不同的涂色方案？4.涂色問題23154練習7：用