第二章-導(dǎo)數(shù)與微分

第二章導(dǎo)數(shù)與微分我們知道,勻速直線運動的速度是不變的,它等于距離除以經(jīng)過這段距離所用的時間.至于變速直線運動的瞬時速度顯然不能用距離除以時間來計算.本章我們就以極限為工具，從剖析和解決這個問題出發(fā)，引進導(dǎo)數(shù)概念，講述導(dǎo)數(shù)計算，介紹微分及其計算.導(dǎo)數(shù)貫穿于整個高等數(shù)學(xué)的始終，是學(xué)好高等數(shù)學(xué)的關(guān)鍵一章.第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念第二節(jié)求導(dǎo)法則和基本求導(dǎo)公式第三節(jié)函數(shù)的微分

第四節(jié)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和由參數(shù)方程所確定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第五節(jié)高階導(dǎo)數(shù)第一節(jié)

導(dǎo)數(shù)的概念

導(dǎo)數(shù)的概念最早來源于物理和幾何方面的研究。一、引進導(dǎo)數(shù)的實例

1．變速直線運動的瞬時速度

我們先以大家都非常熟悉的自由落體

運動為例來進行分析自由落體運動的運動規(guī)律為

我們分三步來討論自由落體運動的

瞬時速度：第一步：求第二步：

求

物體在這段時間內(nèi)的平均速度

第三步：

求

平均速度的極限即是瞬時速度

2．曲線的切線斜率

先來討論一般曲線的切線問題通過比較認(rèn)識切線的真正含義一條直線與一個圓如果只有一個公共點，那么這條直線叫做圓的一條切線，公共點叫做切點。拋物線與軸、

軸分別只有一個公共

點，但軸是拋物線在頂點的切線，而軸卻不是。曲線的切線可按如下方式定義：

（如圖2-2），在曲線上任取不同于M0點的一點M，作割線M0M.當(dāng)點M沿著曲線移動并趨于M0點時，割線就以點M0為軸轉(zhuǎn)動，割線M0M的極限位置M0T就叫做曲線在點M0處的切線，點M0叫做切點。下面討論切線的斜率切線斜率的求法：

第一步：求

第二步：求第三步：求

二、導(dǎo)數(shù)的定義

設(shè)函數(shù)在點及其近旁有定義，當(dāng)自變量有增量時，函數(shù)有相應(yīng)的增量當(dāng)時，若的極限存在，則極限值就稱為函數(shù)在點的導(dǎo)數(shù)，并稱函數(shù)在點導(dǎo)數(shù)），記為 ，即也可記為或.可導(dǎo)（或有=或

求導(dǎo)數(shù)舉例 解（1）求函數(shù)改變量

（2）求（3）當(dāng)時，求的極限：所以，0注意事項:是函數(shù)（1）在區(qū)間或上的平均變化率；而則是函數(shù)在點的變化率，它反映了函數(shù)隨自變量變化的快慢程度.（2）如果極限不存在，則稱在點不可導(dǎo)；如果不可導(dǎo)的原因是當(dāng)時所引起的，則稱函數(shù)在點的導(dǎo)數(shù)為無窮大.三、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系

定理

應(yīng)當(dāng)指出，一個函數(shù)在某點連續(xù)，但在該點函數(shù)不一定可導(dǎo).

下面給出函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)的概念.

如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的每一點都可導(dǎo)，則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo).這時，對于區(qū)間內(nèi)的每一個確定的值，都有唯一的導(dǎo)數(shù)值 與之對應(yīng)，即所以也是的函數(shù)，稱作在 導(dǎo)函數(shù)，記作或內(nèi)的,.,說明:例2

=解：所以：說明:

在不致引起混淆的情況下，導(dǎo)函數(shù)也簡稱導(dǎo)數(shù).通常所說的求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，就是指求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).求一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運算稱為微分法.導(dǎo)數(shù)符號的簡單應(yīng)用瞬時速度

；

曲線在點

處的

切線斜率即.四、求導(dǎo)數(shù)舉例

例3求常值函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解：所以也就是說，常數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零，即例4求冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(過程略)冪函數(shù)求導(dǎo)舉例例5求正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解(1)計算函數(shù)增量(2)算比值（3）取極限由此可得同理，余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為例6求對數(shù)函數(shù) 的導(dǎo)數(shù).解根據(jù)重要極限，得由此得到特別地，自然對數(shù) 的導(dǎo)數(shù)為例7求指數(shù)函數(shù) 的導(dǎo)數(shù).解利用極限，得由此得到五、左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)

在導(dǎo)數(shù)的定義中，從0的兩側(cè)趨于0的，如果我 從0的一側(cè)趨于0，就產(chǎn)生了所謂左右導(dǎo)數(shù)的如果當(dāng)（或）時，的極限存在，在點的右導(dǎo)數(shù)（左導(dǎo)數(shù)），們限定概念.那么就稱此極限為記作即

由此我們可以得到在點可導(dǎo)的充分必要左、右導(dǎo)數(shù)存在且相等，即條件是例如：已知,求及并說明 是否存在？解：=1=1六、導(dǎo)數(shù)的物理意義與幾何意義

由導(dǎo)數(shù)的引例我們知道，如果函數(shù)代表一個就是該直 的瞬時速度，這就是導(dǎo)數(shù)的物理意義.如果函數(shù)表示一條曲線，那么導(dǎo)數(shù)就等于該曲線在點 的切線斜率，變速直線運動的運動規(guī)律，那么導(dǎo)數(shù)線運動在時刻這就是導(dǎo)數(shù)的幾何意義.由此可見，曲線在點的切線斜率，根據(jù)直線方程的點斜式，得到曲線在點 處的切線方程為：法線方程為解：所以，該物體在任意時刻的速度在時的瞬時速度為解是曲線上任意點 處的切線斜率（1）在點處，因為 ，所以切線斜率為根據(jù)直線方程的點斜式，得整理得切線方程為法線方程為整理得k=習(xí)題2-13、5、6、7、9。作業(yè)第二節(jié)求導(dǎo)法則和基本求導(dǎo)公式

我們前面用導(dǎo)數(shù)定義求出了一些基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，但對于一般的初等函數(shù)，用定義求導(dǎo)數(shù)，運算往往比較復(fù)雜.為了迅速準(zhǔn)確地求出一般初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，我們需要建立一個求導(dǎo)法則和求導(dǎo)公式體系.一、函數(shù)四則運算的求導(dǎo)法則

設(shè) 都是

的可導(dǎo)函數(shù)，則1.2.3.

下面我們給出兩個函數(shù)和的求導(dǎo)法則證明，其它法則證明從略.

證明： ,則因此設(shè)由已知條件知即所以上述求導(dǎo)法則還有以下常用的推論：

例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

（1）（2）（3）（4）(1)(2)(3)(4)例2：設(shè)，求。解：所以例3求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

因此同理因此同理

在求導(dǎo)時先對函數(shù)變形再求導(dǎo)，有時可簡化運算過程.例4：求曲線在點處的切線方程和法線方程。于是曲線在點的切線方程是即曲線在點的法線方程是即二、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則

引例:可見不能用公式直接求得其原因在于：不是基本初等函數(shù)，而是的復(fù)合函數(shù)。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)有以下法則:

如果函數(shù)在點處可導(dǎo)，函數(shù) 點

處也可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)

在點

可

也可寫成或在對應(yīng)導(dǎo)，且

注:復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法又稱為

鏈鎖法則，它可以推廣到多個

函數(shù)復(fù)合的情形.

例6利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

解

與

所以（1）因為是由復(fù)合而成的，（2） 因為

復(fù)合而成的，所以是由與 （3）因為

復(fù)合而成的，所以是由與 （4）因為

是由

與復(fù)合而成的，所以

注:當(dāng)復(fù)合函數(shù)的復(fù)合層次多于兩層時，其計算方法與兩層時完全一樣，只需逐層求導(dǎo)即可

例7求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

（1）因為

由與復(fù)合而成，解：所以（2）因為是由與復(fù)合而成的，所以說明:當(dāng)對復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法熟悉以后，可以不必寫出中間變量，只需逐層求導(dǎo)即可

例8求

的導(dǎo)數(shù).解例9求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

1.2.3.解

（1）先有理化分母，得然后求導(dǎo)數(shù)，得（2）先用對數(shù)性質(zhì)展開，得 然后求導(dǎo)數(shù)，得（3）先化簡，得然后求導(dǎo)數(shù)，得1．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

三、求導(dǎo)公式與求導(dǎo)法則匯總

2．函數(shù)四則運算的求導(dǎo)法則

（C為常數(shù)）. （C為常數(shù)）.1.2.3.4.5.3．復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則

設(shè)則復(fù)合函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)為：或?qū)懗苫?.

有了這些公式和法則，初等函數(shù)的求導(dǎo)問題就可以完全解決了

例10求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

1.2.3.4.5.解(1)(2)（3）（4）（5）作業(yè)1（2）（6）（14）；2（3）（5）（7）（12）（14）；3；5。第三節(jié)函數(shù)的微分

在實際問題中，有時需要考慮當(dāng)函數(shù)的自變量有微小變化時，相應(yīng)的函數(shù)值變化的問題.這就是本節(jié)要討論的函數(shù)的微分，它與導(dǎo)數(shù)有密切的聯(lián)系，也是今后學(xué)習(xí)積分學(xué)的基礎(chǔ).一、微分的概念

0x

圖2-4

若用

表示薄板的面積，

表示邊長，則

.于是面積的改變量為從上式可以看出，由兩項構(gòu)成，和是次要部分.于是，當(dāng)我們把忽略不記時，就是的近似值，即上式中

的系數(shù)

，就是函數(shù)

在點的導(dǎo)數(shù)

這就是說，函數(shù)的自變量在點的改變量時，函數(shù)的改變量約等于其在點的導(dǎo)數(shù)與 的乘積.于是上式又可表示為.有微小設(shè)函數(shù)在點處可導(dǎo)，即 根據(jù)函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系，有其中，由此得這表明，函數(shù)的改變量是由和兩項所組成.，當(dāng)時，由知：是 的同階無窮小，是較 高階的無窮小.由此可見，當(dāng)時，在函數(shù)的改變量中，起主要作用的是，它與的差是一個較高階的無窮小.因此，是的主要部分；又因為是的線性函數(shù)，所以通常稱為 的線性主要部分（簡稱線性主部）定義

設(shè)函數(shù)在點處可導(dǎo)，則稱為函數(shù)在點的微分，記為或即或此時稱函數(shù)在點可微.如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)每一點可微，則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可微.函數(shù)在任一點的微分，叫做函數(shù)的微分，一般 就記為或特別地，自變量的微分，即這就是說，自變量的微分就是它的改變量

.因此，代替，即由此可見，，即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)的微分與自變量的微分的商.因 此，導(dǎo)數(shù)又稱微商..微分表達式中可用解先求函數(shù)在任意點 的微分當(dāng)時的微分 函數(shù)的增量為結(jié)論:例2求下列函數(shù)的微分

1.2.解：1.2.二、微分的幾何意義

由圖2-5可知：如圖2-5所示，過曲線上一點作曲線.當(dāng)自變量在處取得改變量時，我們得到曲線上另一點的切線，切線的斜率結(jié)論:函數(shù)在點的微分

，等于曲線在點的切線上點的縱坐標(biāo)對應(yīng)于 的改變量. 這就是微分的幾何意義.1．微分的基本公式

三、微分的基本公式與運算法則

２．微分的四則運算法則

1).2).3).4).5).四微分形式不變性

３．復(fù)合函數(shù)的微分請參照

微分形式不變性（如下）.

根據(jù)微分的意義，當(dāng)是自變量時，函數(shù)的微分是如果不是自變量，而是的可導(dǎo)函數(shù)時,則復(fù)合函數(shù)的微分為:因為,所以上式可表示為這說明,無論是自變量還是中間變量，函數(shù)的微分總保持同一形式,微分的這一性質(zhì).叫做一階微分形式不變性.例1用兩種方法求下列函數(shù)的微分：

(1)(2)(3)解法1根據(jù)微分的定義

(1)(2)(3)解法2根據(jù)微分的基本法則和一階微分

形式不變性

(1)(2)(3)解：（1）因為所以 (C為任意常數(shù)).（2）同理（3）同理例2在下列括號內(nèi)填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),使等式成立.

(1)(2)(3)解（1）因為所以 (C為任意常數(shù)).（2）同理（3）同理五、微分在近似計算中的應(yīng)用

當(dāng)很小時，亦即 將上式移項得此式常用來計算函數(shù)在點 附近的函數(shù)值的近似值.(2)(1)例1半徑為10的球充氣后半徑增加了0.02,求球

的體積大約增加了多少?

解設(shè)球的體積為，半徑為，則由已知，設(shè)球的體積的增加量為因為很小，所以可以用微分來近似代替而于是即球的體積大約增加了,..例2：計算的近似值 解由于所求的是余弦函數(shù)值,故選取函數(shù)于是因為所以取 (此時

很小),代入上式得即在公式（2）中,當(dāng)

時,得（3）當(dāng)很小時，可用公式（3）求函數(shù)在附近函數(shù)值的近似值.當(dāng) 很小時，由公式（3）可得工程上常用的近似公式(證明略)如下：(1)(6)(5)(3)(4)(2)作業(yè)習(xí)題2-3

3、4（2）（4）（6）（8）、5（1）（3）（5）（9）、8。一隱函數(shù)及其求導(dǎo)法

第四節(jié)隱函數(shù)和由參數(shù)方程

所確定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

形如

的函數(shù)，叫做顯函數(shù),如：由方程所確定的與叫做隱函數(shù).例如圓的方程以及等等，因變量與自變量的關(guān)系是由一個的方程所確定的.之間的函數(shù)關(guān)系含有顯函數(shù)有時很容易化成隱函數(shù).例如

但有的隱函數(shù)很難或不可能化為顯函數(shù).例如例如：就可化為，

因此，我們試圖把隱函數(shù)化為顯函數(shù)再求導(dǎo)的想法并非總能實現(xiàn).那怎樣求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)呢？隱函數(shù)求導(dǎo)方法:（1）在給定的方程兩邊分別對

求導(dǎo)數(shù)，遇到 時看成

的函數(shù)，

的函數(shù)看成

的復(fù)合函數(shù)； （2）從（1）所得式中解出

（或

）即可.例1求由方程

所確定的函數(shù)

的導(dǎo)數(shù). 解：將方程兩邊對

求導(dǎo)數(shù)，得所以說明：將此函數(shù)化為顯函數(shù)再求導(dǎo)，可得到同樣的結(jié)果.例2求由下列方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(1)(2)解：(1)方程兩邊對

求導(dǎo)數(shù)，得解

出，得 （2）方程兩邊對

求導(dǎo)數(shù)，得解出得， 例3求圓

在點

的切線方程.解方程兩邊對

求導(dǎo)數(shù)，得解

出，得把點的坐標(biāo)代入，得切線的斜率由直線方程的點斜式，得整理得切線方程為對數(shù)求導(dǎo)法

有時所給的函數(shù)是冪指函數(shù)的形式，即或是冪、積、商很復(fù)雜的式子，這些函它們化為隱函數(shù)，然后按照隱函數(shù)求導(dǎo)法則求出原函數(shù)，數(shù)雖然是顯函數(shù)，但直接求它的導(dǎo)數(shù)很煩瑣，可先用兩邊取對數(shù)的方法將的導(dǎo)數(shù).這種方法稱為“對數(shù)求導(dǎo)法”.例4求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(1)(2) 解：（1）此函數(shù)是冪指函數(shù)，兩邊取自然對數(shù)解出

，即得所給函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為:化為隱函數(shù)，得:上式兩邊對求導(dǎo)數(shù)，得（2）此函數(shù)是含有冪、積、商的復(fù)雜式子，直接求導(dǎo)很麻煩，因此，兩邊取對數(shù)并根據(jù)對數(shù)的運算法則，得

上式兩邊對求導(dǎo)數(shù)，得解出

，即得原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為:二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

一般地，參數(shù)方程可以確定與 函數(shù)關(guān)系.這種關(guān)系，有時可以用顯函數(shù)表示出來.例如消去參數(shù)可得（稱為普通方程），由此可求出之間的，但對于有些參數(shù)方程，它所確定的關(guān)于關(guān)系，很難化為普通方程.因此我們希望尋找一種不消去而直接從參數(shù)方程求 的方法.的函數(shù)參數(shù).根據(jù)導(dǎo)數(shù)又稱微商這一結(jié)論，在中同除以，得：即這就是參數(shù)方程所確定的與 方法，其結(jié)果一般仍為關(guān)于參數(shù)的解析式.的分子和分母之間的函數(shù)的求導(dǎo)例1已知參數(shù)方程