復(fù)習(xí)專題之排列組合二項(xiàng)式定理概率

排列、組合與概率一、基本知識點(diǎn)回顧：(一)排列、組合知識結(jié)構(gòu)表：兩個基本原理：分類計(jì)數(shù)原理分步計(jì)數(shù)原理排列排列、排列數(shù)定義n!排列數(shù)公式：Am= =n(n-1)…(n-m+1)n (n-m)!全排列公式：An=n!n組合組合、組合數(shù)定義(2)組合數(shù)公式：n!n(n-1)…(n-m+1)Cm= = n m!(n-m)! m×(m-1)×???×2×1組合數(shù)性質(zhì)：①Cm =Cn-m ②Cr-1 +Cr =Cr③ C =n?Cr-1nn n nn+1 n n-1④C0+C1+C2+???+Cn=2nnnn n⑤C0-C1+C2+.??+(-1)nCn=0即：C0+C2+C4…=C1+C3+…=2n-1nnn n nnn nn思想方法解排列組合應(yīng)用題的基本思路：將具體問題抽象為排列組合問題，是解排列組合應(yīng)用題的關(guān)鍵一步對“組合數(shù)”恰當(dāng)?shù)姆诸愑?jì)算是解組合題的常用方法；是用“直接法”還是用“間接法”解組合題，其前提是“正難則反”；解排列組合題的基本方法：優(yōu)限法：元素分析法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素；位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置；排異法：對有限制條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉。分類處理：某些問題總體不好解決時，常常分成若干類，再由分類計(jì)數(shù)原理得出結(jié)論；注意：分類不重復(fù)不遺漏。分步處理：對某些問題總體不好解決時，常常分成若干步，再由分步計(jì)數(shù)原理解決；在解題過程中，常常要既要分類，以要分步，其原則是先分類，再分步。插空法：某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時可采用插空法，即先安排好沒有限制元條件的元素，然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間。捆綁法：把相鄰的若干個特殊元素“捆綁”為一個大元素，然后再與其余“普通元素”全排列，最后再“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列。窮舉法：將所有滿足題設(shè)條件的排列與組合逐一列舉出來；這種方法常用于方法數(shù)比較少的問題。(二)二項(xiàng)式定理歷年高考中對二項(xiàng)式定理的考查主要有以下兩種題型：1、求二項(xiàng)展開式中的指定項(xiàng)問題：方法主要是運(yùn)用二項(xiàng)式展開的通項(xiàng)公式；2、求二項(xiàng)展開式中的多個系數(shù)的和：此類問題多用賦值法；要注意二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別；(三)概率1、隨機(jī)事件的概率2、等可能事件的概率：如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可1能性都相等，那么每一個基本事件的概率都是一，如果某個事件A包容的結(jié)果有m個，那么nm事件A的概率p(A)=；n3、互斥事件的概率：(1)互斥事件：試驗(yàn)時不可能同時發(fā)生的兩個事件叫做互斥事件；對立事件：試驗(yàn)時如果兩個互斥事件A、B必有一個發(fā)生，那么稱A、B為對立事件；互斥事件有一個發(fā)生的概率：設(shè)A、B互斥，把A、B中有一個發(fā)生的事件記為A+B,則有：P(A+B)=P(A)+P(B)把一個事件A的對立事件記為A,則：P(A)=1-P(A)4、相互獨(dú)立事件的概率：(1)相互獨(dú)立事件：事件A是否發(fā)生對事件B發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫做相互獨(dú)立事件；(2)相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率：兩個相互獨(dú)立事件A、B同時發(fā)生的事件記作A?B，則：P(A?B)=P(A)?P(B)(3)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)：如果一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是p，那么n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個事件恰好發(fā)生k次的概率為：P(k)=CkpkQ-P)n-knn5、解概率題關(guān)鍵是把應(yīng)用題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的概率模型，即要弄清所求事件是屬于何種事件，然后利用相關(guān)的公式進(jìn)行計(jì)算。二、例題（一）排列組合1、有四位學(xué)生參加三項(xiàng)不同的競賽，（1）每位學(xué)生必須參加一項(xiàng)競賽，則有種不同的參賽方法；（2）每項(xiàng)競賽只許有一位學(xué)生參加，則有種不同的參賽方法；（3）每位學(xué)生最多參加一項(xiàng)競賽，每項(xiàng)競賽只許有一位學(xué)生參加，則有種不同的參賽方法；2、從0，1，2，3，4，5中任取3個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中能被5整除的三位數(shù)共有個。（用數(shù)字作答）3、7人排成一行，分別求出符合下列要求的不同排法的種數(shù)（1）甲排中間 （2）甲不排兩端 （3）甲、乙相鄰（4）甲在乙的左邊（不一定相鄰）（5）甲、乙、丙兩兩不相鄰4、從4名男生和3名女生中選出4人參加某個座談會，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有 （ ）（A）140種（B）120種（C）35種（D）34種5、同室四人各寫一張賀卡，先集中起來，再每人從中拿一張別人送出的賀卡，則不同的分配方式有（）A、6種 B、9種C、11種 D、23種6、4名教師分配到3所中學(xué)任教，每所中學(xué)至少1名教師，則不同的分配方案共有（）A.12種B.24種C36種 D.48種7、某校高二年級共有六個班，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學(xué)生，要安排到該年級的兩個班級且每班安排2名，則不同的安排方案種數(shù)為（ ）（A）A2C2（B）-A2C2（C）A2A2（D）2A26 4 26 4 6 4 68、某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目，如果將這兩個新節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同的插法的種數(shù)為（ ）（A）42 （B）30 （C）20 （D）129、設(shè)直線的方程是AX+By=0，從1,2,3,4,5這五個數(shù)中每次取兩個不同的數(shù)作為A、B的值，則所得不同直線的條數(shù)是（ ）A．20B．19C．18D．1610、如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有種.(以數(shù)字作答)(二)二項(xiàng)式定理1、(2%+G)4的展開式中X3的系數(shù)是(A)6 (B)12 (C)24 (D)482、展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，則n的值可以是(若Q%+3V%)n)( )(A)8 (B)9 (C)10 (D)121 13、若(2%--)n展開式中含一項(xiàng)的系數(shù)與含一項(xiàng)的系數(shù)之比為—5,則n等于()% %2 %4A.4 B.6 C.8 D.10,(a)8 一一 一，，一4、已知%--展開式中常數(shù)項(xiàng)為1120,其中實(shí)數(shù)a是常數(shù)，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和是I%)( )(A)28 (B)38 (C)1或38 (D)1或285、若(1-2%)2004=a+a%+a%2+ +a %2004(%∈R)，則0 1 2 2004(a+a)+(a+a)+(a+a)+…+(a+a)=。(用數(shù)字作答)0 1 0 2 0 3 0 2004(三)概率1、設(shè)袋中有80個紅球,20個白球，若從袋中任取10個球，則其中恰有6個紅球的概率為()C6?C4C4?C6A.C4?C6—80 10C10100B.80 10C10C.80 20C10D.100100C6?C4—80 20C101002、甲袋中裝有3個白球5個黑球，乙袋中裝有4個白球6個黑球，現(xiàn)從甲袋中隨機(jī)取出一個球放入乙袋中，充分摻混后再從乙袋中隨機(jī)取出一個球放回甲袋，則甲袋中白球沒有減少的概率為()37 35 25 9(A)44(B)44(C)9(D)443、將一顆質(zhì)地均勻的骰子(它是一種各面上分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1,2,3,4,5,6的正方體玩具)先后拋擲3次，至少出現(xiàn)一次6點(diǎn)向上和概率是 ( )(A)216 (B)216 (C)216 (D)2164、10張獎券中只有3張有獎，5個人購買，至少有1人中獎的概率是( )3A10B.-1C.1D.12 211125、某人射擊一次擊中的概率為0.6,經(jīng)過3次射擊,此人至少有兩次擊中目標(biāo)的概率為()81 54 36 27A，125 B125C,125D,1256、某人射擊一次擊中的概率為0.6，經(jīng)過3次射擊，此人恰有兩次擊中目標(biāo)的概率為()81 54 36 27A，125 B125C,125D,1257、某班共有40名學(xué)生，其中只有一對雙胞胎，若從中一次隨機(jī)抽查三位學(xué)生的作業(yè)，則這對雙胞胎的作業(yè)同時被抽中的概率是(結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示).8、某班有50名學(xué)生，其中15人選修A課程，另外35人選修B課程.從班級中任選兩名學(xué)生，他們是選修不同課程的學(xué)生的概率是 .(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示)9、某射手射擊1次，擊中目標(biāo)的概率是0.9，他連續(xù)射擊4次，且他各次射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒有影響，有下列結(jié)論：①他第3次擊中目標(biāo)的概率是0.9；②他恰好擊中目標(biāo)3次的概率是0.93×0.1③他至少擊中目標(biāo)1次的概率是1-0.14其中正確結(jié)論的序號是 (寫出所有正確結(jié)論的序號)，10、一個口袋中裝有大小相同的2個白球和3個黑球，(I)從中摸出兩個球，求兩球恰好顏色不同的概率；(II)從中摸出一個球，放回后再摸出一個球，求兩球恰好顏色不同的概率.1111、甲、乙兩個人獨(dú)立地破譯一個密碼，他們能譯出密碼的概率分別為力和;，求:34①恰有一個人譯出密碼的概率；②至多一個人譯出密碼的概率；12、排球比賽的規(guī)則是5盤3勝制，A、B兩隊(duì)每盤比賽獲勝的概率都相等且分別為3和3.(I)前2盤中B隊(duì)以2:0領(lǐng)先，求最后A、B隊(duì)各自獲勝的概率;(II)B隊(duì)以3:2獲勝的概率.13、在某次考試中，甲、乙、丙三人合格(互不影響)的概率分別是2,-,1，考試結(jié)束543后，最容易出現(xiàn)幾人合格的情況？14、獵人射擊距離100米遠(yuǎn)處的靜止目標(biāo)命中的概率為0.6(1)如果獵人射擊距離100米遠(yuǎn)處的靜止目標(biāo)3次，求至少有一次命中的概率；(2)如果獵人射擊距離100米遠(yuǎn)處的動物，假如第一次未命中，則進(jìn)行第二次射擊，但由于槍聲驚動動物使動物逃跑從而使第二次射擊時動物離獵人的距離變?yōu)?50米，假如第二次仍未命中，則必須進(jìn)行第三次射擊，而第三次射擊時動物離獵人的距離為200米。假如擊中的概率與距離成反比，。求獵人最多射擊三次命中動物的概率。答案：(一)1、 (1)8164242、363、(1)7204~9D10、72(2)3600(3)1440C(4)2520 (5)1440(二)1、(三)1、CD2、2、7、B3、D12608、3、B374、9、10、解：(I)記“摸出兩個球摸出兩個球共有方法Cr10種，C①③5、2004A 6、B兩球恰好顏色不同”為A,其中，兩球一白一黑有c2?c3=6種.BCBACD，C1C1 3.?.P(A)=_2-3=—C2 55(II)法一：記摸出一球，放回后再摸出一個球“兩球恰好顏色不同”為B,23摸出一球得白球的概率為5=0.4，摸出一球得黑球的概率為5=0.6,“有放回摸兩次，顏色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”，??.P(B)=0.4X0.6+0.6X0.4=0.48.法二：有放回地摸兩次，互相獨(dú)立.摸一次得白球的概率為P=2,???“有放回摸兩次，顏色不同”的概率為???P⑴=Ci?P-(1-P)=0.48.21 3 1 2 5 1 1 1111、解：^?_X—+_X= ② 1—(_X—)=—^3 4 4 3 12 3 4 12212、解：(I)設(shè)最后A獲勝的概率為P,設(shè)最后B獲勝的概率為P.122 8 12122119 19.?.P=C3(—)3= ;P=-+-X-+-X-X-= .(或P=1—P= )1 3、3 27 233333327 2 12712 8(II)設(shè)B隊(duì)以3:2獲勝的概率為P????P=C2(-)3(-)2=—3 3 433 8113、解：按以下四種情況計(jì)算概率,概率最大的就是最容易出現(xiàn)的情況.231 1⑴三人都合格的概率P="x7x不=；543103 11⑵三人都不合格的概率為P=(1—-)X(1—-)X(1—-)=-2 5 4 3 10⑶恰有兩人合格的概率3 1 2 3 1 2 3 123P=-X-X(1——)+—X(1——)X-+(1——)X—X—=——54 3 5 4 3 5 4 3601 1 2325⑷恰有一人合格的概率P=1— — ——=一4 10106060由此可知，最容易出現(xiàn)恰有1人合格的情況14、解：(1)記事件“獵人射擊距離100米遠(yuǎn)處的靜止目標(biāo)3次，至少有一次命中”為A事件，則P(A)=1-P(Z)=1-0.4×0