指數(shù)的運算和指數(shù)函數(shù)

指數(shù)的運算與指數(shù)函數(shù)4.1指數(shù)的運算【知識梳理】1.整數(shù)指數(shù)冪1）定義：我們把叫做的次冪，叫做冪的底數(shù)，叫做冪的指數(shù)。在上述定義中，為整數(shù)時，這樣的冪叫做整數(shù)指數(shù)冪。2）整數(shù)指數(shù)冪的運算法則：（1）=（2）（3）（4）3)另外，我們作以下規(guī)定：零次冪：；負整數(shù)指數(shù)冪：；2.根式：1）次方根：普通地，如果，那么叫做的次方根，其中>1，且∈*。注：=1\*GB3①當是偶數(shù)時，正數(shù)的次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù)，分別表達為，；負數(shù)的偶次方根在實數(shù)范疇內(nèi)不存在；=2\*GB3②當是奇數(shù)時，正數(shù)的次方根是一種正數(shù)；負數(shù)的次方根是一種負數(shù)，都表達為；=3\*GB3③0的任何次方根都是0，記作。2）正數(shù)的正次方根叫做的次算數(shù)根。當故意義時，叫做根式，這里叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù)．注：當是奇數(shù)時，；當是偶數(shù)時，；3.有理指數(shù)冪1）我們進行以下規(guī)定：（）那么，我們就將整數(shù)指數(shù)冪推廣到分數(shù)指數(shù)冪。另外，下面定義也成立：注：0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒故意義。2）規(guī)定了分數(shù)指數(shù)冪的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)冪推廣到了有理數(shù)指數(shù)冪。3)有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)：（1）·；（2） ；（3）題型一根式與冪的化簡與求值【例1】.求下列各式的值：（1）（2）【例2】.計算下列各式的值：（1）（2）【例3】.化簡下列各式：（1）（2）【過關練習】1.求值：（1）（2）2.化簡：（1）（2）3.下列關系式中，根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化對的的是_____.題型二含附加條件的求值問題【例1】（1）若，則下列等式對的的是（）A.B.C.D.（2）若則的值是_____.【例2】（1）已知求的值；（2）已知是方程的兩個根，且，求的值.【過關練習】1.已知2.已知，求的值.已知，求的值題型三解含冪的方程與等式的證明【例1】解下列方程（2）【例2】已知，且，求證【過關練習】1.解下列方程（1）（2）2.設都是正數(shù)，且，求證.4.2指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)【知識梳理】1.指數(shù)函數(shù)函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù).2.指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（1）定義域:實數(shù)集合；（2）值域：;（3）奇偶性：指數(shù)函數(shù)是非奇非偶函數(shù)（4）單調(diào)性：時，函數(shù)在上為增函數(shù)；時，函數(shù)在上為減函數(shù)；（5）函數(shù)值：時，,圖象恒過點（0，1）；（6）當時；時，.當,時，;時，.題型一指數(shù)函數(shù)的概念.已知指數(shù)函數(shù)的圖像通過點（2,4），求a的值.【過關練習】.若指數(shù)函數(shù)的圖像通過點（2,9），求的解析式及的值.題型二指數(shù)型復合函數(shù)的定義域和值域【例1】.求下列函數(shù)的定義域和值域（2）（3）（4）【例2】.求函數(shù)的值域.【例3】.如果函數(shù)上有最大值14，試求a的值.【過關練習】1.求函數(shù)的定義域和值域.2.已知集合,則滿足的集合B能夠是（）B.C.D.3.函數(shù)的定義域為M，值域，則下列結論一定對的的個數(shù)是（

）。①；②；③；④；⑤；⑥

A.2

個B.

3個C.

4個D.

5個題型三指數(shù)函數(shù)的圖像及應用【例1】.如圖是指數(shù)函數(shù)：①，②，③，④的圖象，則a、b、c、d與1的大小關系是（

）。A:

B:C:

D:

【例2】.二次函數(shù)y=ax2+bx與指數(shù)函數(shù)y=()x的圖象只能是下圖中的（）【例3】.函數(shù)（，且）的圖象恒過定點P，則定點P的坐標是_____.【例4】.畫出函數(shù)y=2|x-1|的圖像，并根據(jù)圖象指出這個函數(shù)的某些重要性質(zhì).【例5】.定義：區(qū)間

的長度為

.已知函數(shù)

的定義域為

，值域為

，則區(qū)間

的長度的最大值與最小值的差為_________.【過關練習】已知函數(shù)

在

內(nèi)的值域是

，則函數(shù)

的圖像大致是

（

）

2.已知y1=

,y2=3x,y3=10-x,y4=10x,則在同一坐標系內(nèi),它們的圖象為…(

)3.設x＞0，且1＜b

x＜a

x，則（）A.0＜b＜a＜1B.0＜a＜b＜1C.1＜b＜aD.1＜a＜b4.已知函數(shù)

的圖象如圖所示，其中

為常數(shù)，則下列結論對的的是（

）

A.B．C．D．5.已知，函數(shù)的圖象不通過（

）。A:第一象限B:第二象限C:第三象限D(zhuǎn):第四象限6.若函數(shù)的圖像不通過第二象限，則有（）B.C.D.題型四指數(shù)及指數(shù)型復合函數(shù)的單調(diào)性的應用【例1】.函數(shù)f(x)=ax（a>0，且a≠1）在[1，3]上的最大值比最小值大，則a=____?！纠?】.比較下列各題中兩個值的大小：（1）（2）（3）【例3】.求滿足下列條件的x的取值范疇（2）（3）【例4】.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【例5】判斷函數(shù)在區(qū)間（0,1）上的單調(diào)性，并證明【過關練習】1.比較下列各值的大?。?.已知函數(shù)，若，則實數(shù)a的取值范疇是_____.3.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范疇.4.討論函數(shù)的單調(diào)性5.已知函數(shù)，是定義在R上的單調(diào)遞減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范疇是_____.題型五指數(shù)型復合函數(shù)的奇偶性【例1】設函數(shù)f(x)=kax-a-x（a＞0，且a≠1）是奇函數(shù).（1）求常數(shù)k的值；（2）若a＞1，試判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性（不需要證明），并求不等式的解集.【例2】.已知是定義在（-1,1）上的奇函數(shù)，當時，（1）求在（-1,1）上的解析式；（2）求的值域.【過關練習】1.若函數(shù)是奇函數(shù)，則使>3成立的的x的取值范疇是____.2.已知是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞增.若實數(shù)a滿足則a的取值范疇是____.3.函數(shù)則該函數(shù)為（）A.單調(diào)遞增函數(shù),奇函數(shù)B.單調(diào)遞減函數(shù)，偶函數(shù)C.單調(diào)遞增函數(shù)，偶函數(shù)D單調(diào)遞減函數(shù)，奇函數(shù)【題型六】指數(shù)函數(shù)模型的實際應用【例1】.某地下車庫在排氣扇發(fā)生故障的狀況下，測得空氣中一氧化碳含量達成了危險狀態(tài)，經(jīng)搶修排氣扇恢復正常.排氣4分鐘后測得車庫內(nèi)的一氧化碳濃度為64ppm，繼續(xù)排氣4分鐘，又測得濃度為32ppm，經(jīng)檢查知該地下車庫一氧化碳濃度y(ppm)與棑氣時間t(分鐘)存在函數(shù)關系：y＝c

(c，m為常數(shù)).(1)求c，m的值；(2)若空氣中一氧化碳濃度不高于0.5ppm為正常，問最少排氣多少分鐘，這個地下車庫中的一氧化碳含童才干達成正常狀態(tài)？【過關練習】1.某工廠12月份的產(chǎn)值是這年1月份產(chǎn)值的k倍，則該廠在產(chǎn)值的月平均增加率為_____我國底的人口總數(shù)為M,人口的年平均自然增加率為p,到我國人口總數(shù)是_____.【補救練習】1.下列各式對的的是（）A.B.C.D.2.求下列各式的值：（1）（2）（3）3.化簡下列各式（1）（2）4.設，則a，b，c的大小關系是_____。【鞏固練習】1.已知函數(shù)的圖像通過點（2,4），其中，求a的值以及的值域.2.已知函數(shù)，若，則a=_____.3.定義運算為：，如，則函數(shù)的值域為______.4.函數(shù)的圖象的大致形狀是(

)

A.

B.

C.

D.

5.設，求函數(shù)的最大值和最小值．已知函數(shù)，在區(qū)間上的最大值是，求的值【拔高練習】1.已知函數(shù)，滿足．

（1）求常數(shù)c的值；

（2）解有關x的不等式f（x）＞+