高考數(shù)學(xué)(考點(diǎn)解讀-命題熱點(diǎn)突破)專題21-分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想-文

PAGEPAGE4專題21分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想文【考點(diǎn)定位】分類討論思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想近幾年高考每年必考，一般體現(xiàn)在解析幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題中，難度較大.【命題熱點(diǎn)突破一】分類與整合思想1.分類討論思想的本質(zhì)是“化整為零，積零為整”.用分類討論的思維策略解數(shù)學(xué)問題的操作過程：明確討論的對(duì)象和動(dòng)機(jī)→確定分類的標(biāo)準(zhǔn)→逐類進(jìn)行討論→歸納綜合結(jié)論→檢驗(yàn)分類是否完備(即分類對(duì)象彼此交集為空集，并集為全集).做到“確定對(duì)象的全體，明確分類的標(biāo)準(zhǔn)，分類不重復(fù)、不遺漏”的分析討論.常見的分類討論問題有：(1)集合：注意集合中空集?討論.(2)函數(shù)：對(duì)數(shù)函數(shù)或指數(shù)函數(shù)中的底數(shù)a，一般應(yīng)分a＞1和0＜a＜1的討論；函數(shù)y＝ax2＋bx＋c有時(shí)候分a＝0和a≠0的討論；對(duì)稱軸位置的討論；判別式的討論.(3)數(shù)列：由Sn求an分n＝1和n＞1的討論；等比數(shù)列中分公比q＝1和q≠1的討論.(4)三角函數(shù)：角的象限及函數(shù)值范圍的討論.(5)不等式：解不等式時(shí)含參數(shù)的討論，基本不等式相等條件是否滿足的討論.(6)立體幾何：點(diǎn)線面及圖形位置關(guān)系的不確定性引起的討論.(7)平面解析幾何：直線點(diǎn)斜式中k分存在和不存在，直線截距式中分b＝0和b≠0的討論；軌跡方程中含參數(shù)時(shí)曲線類型及形狀的討論.(8)排列、組合、概率中的分類計(jì)數(shù)問題.(9)去絕對(duì)值時(shí)的討論及分段函數(shù)的討論等.例1、(1)設(shè)x∈R，[x]表示不超過x的最大整數(shù)．若存在實(shí)數(shù)t，使得[t]＝1，[t2]＝2，…，[tn]＝n同時(shí)成立，則正整數(shù)n的最大值是()A．3B．4C．5D．6(2)某聯(lián)歡晚會(huì)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，舉辦方設(shè)置了甲、乙兩種抽獎(jiǎng)方案，方案甲的中獎(jiǎng)率為eq\f(2,3)，中獎(jiǎng)可以獲得2分；方案乙的中獎(jiǎng)率為P0(0<P0<1)，中獎(jiǎng)可以獲得3分；未中獎(jiǎng)則不得分．每人有且只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)與否互不影響，晚會(huì)結(jié)束后憑分?jǐn)?shù)兌換獎(jiǎng)品．①張三選擇方案甲抽獎(jiǎng)，李四選擇方案乙抽獎(jiǎng)，記他們的累計(jì)得分為X，若X≤3的概率為eq\f(7,9)，求P0的值；②若張三、李四兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進(jìn)行抽獎(jiǎng)，則他們選擇何種方案抽獎(jiǎng)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大？【答案】(1)B(2)解：①由已知得，張三中獎(jiǎng)的概率為eq\f(2,3)，李四中獎(jiǎng)的概率為P0，且兩人中獎(jiǎng)與否互不影響．記“這2人的累計(jì)得分X≤3”為事件A，則事件A的對(duì)立事件為“X＝5”．因?yàn)镻(X＝5)＝eq\f(2,3)P0，所以P(A)＝1－P(X＝5)＝1－eq\f(2,3)×P0＝eq\f(7,9)，所以P0＝eq\f(1,3).②設(shè)張三、李四都選擇方案甲抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的次數(shù)為X1，都選擇方案乙抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的次數(shù)為X2，則這兩人選擇方案甲抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E(2X1)，選擇方案乙抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E(3X2)．由已知可得，X1～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(2,3)))，X2～B(2，P0)，所以E(X1)＝2×eq\f(2,3)＝eq\f(4,3)，E(X2)＝2P0，從而E(2X1)＝2E(X1)＝eq\f(8,3)，E(3X2)＝3E(X2)＝6P0.若E(2X1)>E(3X2)，則eq\f(8,3)>6P0，即0<P0<eq\f(4,9)；若E(2X1)<E(3X2)，則eq\f(8,3)<6P0，即eq\f(4,9)<P0<1；若E(2X1)＝E(3X2)，則eq\f(8,3)＝6P0，即P0＝eq\f(4,9).綜上所述，當(dāng)0<P0<eq\f(4,9)時(shí)，他們都選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大；當(dāng)eq\f(4,9)<P0<1時(shí)，他們都選擇方案乙進(jìn)行抽獎(jiǎng)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大；當(dāng)P0＝eq\f(4,9)時(shí)，他們選擇方案甲或方案乙進(jìn)行抽獎(jiǎng)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望相等．【特別提醒】分類與整合思想是最重要的數(shù)學(xué)思想方法之一，是高考考查的重點(diǎn)，涉及的試題各類題型均有．從高考看，在部分選擇題、填空題中也需要分類討論才能解決問題，高考中的分類與整合思想的考查已經(jīng)不僅僅局限在函數(shù)導(dǎo)數(shù)、概率的解答題中．【變式探究】(1)若集合E＝{(p，q，r，s)|0≤p<s≤4，0≤q<s≤4，0≤r<s≤4且p，q，r，s∈N}，F(xiàn)＝{(t，u，v，w)|0≤t<u≤4，0≤v<w≤4且t，u，v，w∈N}，用card(X)表示集合X中元素的個(gè)數(shù)，則card(E)＋card(F)＝()A．200B．150C．100D．50(2)已知函數(shù)f(x)＝mlnx＋eq\f(2m,x)－eq\f(ex,x2).①若m≤0，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；②若函數(shù)f(x)在(0，2)內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求m的取值范圍．【答案】(1)A(2)解：①函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝eq\f(m,x)－eq\f(2m,x2)－eq\f(ex·x2－ex·2x,x4)＝eq\f(（mx－ex）（x－2）,x3).當(dāng)m≤0時(shí)，mx－ex<0，所以當(dāng)x∈(0，2)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(2，＋∞)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減．綜上，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，2)，單調(diào)遞減區(qū)間為(2，＋∞)．②若m≤0，由(1)知，函數(shù)f(x)在(0，2)上單調(diào)遞增，故f(x)在(0，2)內(nèi)不存在極值點(diǎn)．當(dāng)m>0時(shí)，設(shè)函數(shù)g(x)＝mx－ex，則g′(x)＝m－ex.(i)當(dāng)0<m≤1，0<x<2時(shí)，g′(x)<0，∴g(x)<g(0)＝－1，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，故f(x)在(0，2)內(nèi)不存在兩個(gè)極值點(diǎn)．【命題熱點(diǎn)突破二】化歸與轉(zhuǎn)化思想(1)熟悉已知化原則：將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，將未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題，以便于我們運(yùn)用熟知的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和問題來解決.(2)簡單化原則：將復(fù)雜問題化歸為簡單問題，通過對(duì)簡單問題的解決，達(dá)到解決復(fù)雜問題的目的，或獲得某種解題的啟示和依據(jù).(3)和諧統(tǒng)一原則：轉(zhuǎn)化問題的條件或結(jié)論，使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內(nèi)部所表示的和諧統(tǒng)一的形式；或者轉(zhuǎn)化命題，使其推演有利于運(yùn)用某種數(shù)學(xué)方法或符合人們的思維規(guī)律.(4)正難則反原則：當(dāng)問題正面討論遇到困難時(shí)，應(yīng)想到問題的反面，設(shè)法從問題的反面去探討，使問題獲得解決.例2、(1)已知函數(shù)f(x)＝2x，g(x)＝x2＋ax(其中a∈R)．對(duì)于不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，設(shè)m＝eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)，n＝eq\f(g（x1）－g（x2）,x1－x2)，現(xiàn)有如下命題：①對(duì)于任意不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，都有m>0；②對(duì)于任意的a及任意不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，都有n>0；③對(duì)于任意的a，存在不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，使得m＝n；④對(duì)于任意的a，存在不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，使得m＝－n.其中的真命題有________(寫出所有真命題的序號(hào))．(2)P，Q為△ABC內(nèi)不同的兩點(diǎn)．若3eq\o(PA,\s\up6(→))＋2eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，3eq\o(QA,\s\up6(→))＋4eq\o(QB,\s\up6(→))＋5eq\o(QC,\s\up6(→))＝0，則S△PAB∶S△QAB＝________．【答案】(1)①④(2)2∶5(2)如圖所示，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，邊AB所在的直線為x軸，垂直于AB的直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系．設(shè)△ABC的面積為S，P(x1，y1)，B(m，0)，C(a，b)，則3(x1，y1)＋2(x1－m，y1)＋(x1－a，y1－b)＝(0，0)，解得y1＝eq\f(b,6)，即△PAB的高為△CAB的高的eq\f(1,6)，故△PAB的面積為eq\f(1,6)S.設(shè)Q(x2，y2)，則3(x2，y2)＋4(x2－m，y2)＋5(x2－a，y2－b)＝(0，0)，解得y2＝eq\f(5,12)b，即△QAB的高為△CAB的高的eq\f(5,12)，故△QAB的面積為eq\f(5,12)S.所以S△PAB∶S△QAB＝eq\f(1,6)∶eq\f(5,12)＝2∶5.【特別提醒】化歸與轉(zhuǎn)化思想的實(shí)質(zhì)是把已知問題化為更容易解決的問題，如把數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為形的問題、把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題、把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題等．在數(shù)學(xué)方法中，換元法、割補(bǔ)法、坐標(biāo)法等都是化歸與轉(zhuǎn)化思想的具體體現(xiàn)．【變式探究】(1)已知x，y滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋6≥0，,x＋y≥0，,x≤3，))若z＝ax＋y的最大值為3a＋9，最小值為3a－3，則a的取值范圍為()A．a(chǎn)≥1B．a(chǎn)≤－1C．－1≤a≤1D．a(chǎn)≥1或a≤－1(2)一個(gè)直棱柱被一個(gè)平面截去一部分后所剩幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．9B．10C．11D.eq\f(23,2)【答案】(1)C(2)C【高考真題解讀】1．[2015·安徽卷]已知數(shù)列{an}是遞增的等比數(shù)列．a(chǎn)1＋a4＝9，a2a3＝8，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和等于________【答案】2n－1【解析】設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由a2a3＝a1a4＝8，a1＋a4＝9知a1，a4是一元二次方程x2－9x＋8＝0的兩根，解此方程得x＝1或x＝8.又?jǐn)?shù)列{an}遞增，因此a1＝1，a4＝a1q3＝8，解得q＝2，故數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(1×（1－2n）,1－2)＝2n－1.2．[2015·福建卷]函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋6，x≤2，,3＋logax，x>2))(a>0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【答案】(1，2]3．[2015·山東卷]若“?x∈[0，eq\f(π,4)]，tanx≤m”是真命題，則實(shí)數(shù)m的最小值為________．【答案】1【解析】∵y＝tanx在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上單調(diào)遞增，∴y＝tanxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))))的最大值為taneq\f(π,4)＝1.又∵“?x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，tanx≤m”是真命題，∴m≥1.4．[2015·四川卷]用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有________個(gè)．【答案】120【解析】由題意知，萬位上排4時(shí)，有2×Aeq\o\al(3,4)個(gè)大于40000的偶數(shù)，萬位上排5時(shí)，有3×Aeq\o\al(3,4)個(gè)，故共有5×Aeq\o\al(3,4)＝120(個(gè))．5．[2014·天津卷]在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知b－c＝eq\f(1,4)a，2sinB＝3sinC，則cosA的值為________．【答案】．－eq\f(1,4)【解析】∵2sinB＝3sinC，∴2b＝3c又∵b－c＝eq\f(a,4)，∴a＝2c，b＝eq\f(3,2)c，∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(\f(9,4)c2＋c2－4c2,2×\f(3,2)c×c)＝－eq\f(1,4).6．[2014·陜西卷改編]設(shè)函數(shù)f(x)＝lnx＋eq\f(m,x)，m∈R.若對(duì)任意b>a>0，eq\f(f（b）－f（a）,b－a)<1恒成立，則m的取值范圍是________．【答案】[eq\f(1,4)，＋∞)7．[2015·湖北卷改編]已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定義集合AB＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，則AB中元素的個(gè)數(shù)為________．【答案】45【解析】方法一：若x1＋x2＝－3，則只能x1＝－1，y1＝0，此時(shí)y1＋y2＝－2，－1，0，1，2，(x1＋x2，y1＋y2)有5種情況，根據(jù)對(duì)稱性知，當(dāng)x1＋x2＝3時(shí)，(x1＋x2，y1＋y2)也有5種情況；若x1＋x2＝－2，此時(shí)x1＝－1，0均可，y1可以等于0，－1，1，故y1＋y2＝－3，－2，－1，0，1，2，3，(x1＋x2，y1＋y2)有7