新教材2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章空間向量與立體幾何1.2空間向量在立體幾何中的應(yīng)用1.2.4二面角課件新人教B版選擇性必修第一冊

第一章1.2.4二面角課程標(biāo)準(zhǔn)1.掌握二面角的概念;2.理解二面角的平面角的含義;3.能用向量法解決二面角的計算問題.基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升目錄索引

成果驗收·課堂達標(biāo)檢測基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)知識點1二面角及其度量半平面

二面角棱面二面角的平面角過關(guān)自診1.

如圖,AB是圓的直徑,PA⊥AC,PA⊥BC,C是圓上一點(不同于A,B),且PA=AC,則二面角P-BC-A的平面角為(

)A.∠PAC B.∠CPAC.∠PCA D.∠CABC解析

∵C是圓上一點(不同于A,B),AB是圓的直徑,∴AC⊥BC.又PA⊥BC,AC∩PA=A,AC,PA?平面PAC,∴BC⊥平面PAC.又PC?平面PAC,∴BC⊥PC.又平面ABC∩平面PBC=BC,PC∩AC=C,∴由二面角的定義知∠PCA為二面角P-BC-A的平面角.故選C.2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,平面B1C1DA與平面BCDA所形成的平面角大小為

.

45°知識點2用空間向量求二面角的大小(1)如果n1,n2分別是平面α1,α2的一個法向量,設(shè)α1與α2所成角的大小為θ,則有θ=<n1,n2>或θ=π-<n1,n2>,特別地,sinθ=

.

(2)設(shè)二面角α-l-β為θ,平面α,β的法向量分別為n1,n2,有|cosθ|=|cos<n1,n2>|=

成立.

sin<n1,n2>名師點睛利用公式cos<n1,n2>=

(n1,n2分別為兩平面的法向量)進行求解,注意<n1,n2>與二面角大小的關(guān)系,是相等還是互補,需結(jié)合圖形進行判斷.如圖②④中<n1,n2>就是二面角α

-l-β的平面角的補角;如圖①③中<n1,n2>就是二面角α

-l-β的平面角.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)二面角的大小就是該二面角兩個半平面的法向量的夾角.(

)(2)若二面角兩個半平面的法向量的夾角為120°,則該二面角的大小等于60°或120°.(

)×√2.已知兩平面的法向量分別為m=(0,1,0),n=(0,1,1),則兩平面所成的二面角的大小為(

)A.45°

B.135°C.45°或135° D.90°C重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一二面角的平面角問題【例1】如圖所示,在三棱錐P-ABC中,PC⊥平面ABC,AB=BC=CA=PC,求二面角B-PA-C的平面角的正切值.解

∵PC⊥平面ABC,PC?平面PAC,∴平面PAC⊥平面ABC,交線為AC.作BD⊥AC于點D(圖略),可得BD⊥平面PAC.作DE⊥PA于點E,連接BE(圖略),據(jù)三垂線定理,則BE⊥PA,從而∠BED是二面角B-PA-C的平面角.設(shè)PC=a,依題意知△ABC是邊長為a的正三角形,規(guī)律方法

1.本題解法使用了三垂線定理來作出二面角的平面角后,再用解三角形的方法來求解.2.二面角的求法變式訓(xùn)練1已知△ABC和△BCD均為邊長為a的等邊三角形,且AD=a,則二面角A-BC-D的大小為(

)A.30°

B.45°

C.60°

D.90°C探究點二利用空間向量求二面角【例2】如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長都相等,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形.(1)證明:O1O⊥底面ABCD;(2)若∠CBA=60°,求二面角C1-OB1-D的余弦值.(1)證明

因為四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形,所以CC1⊥AC,DD1⊥BD.又CC1∥DD1∥OO1,所以O(shè)O1⊥AC,OO1⊥BD.因為AC∩BD=O,所以O(shè)1O⊥底面ABCD.(2)解

因為四棱柱的所有棱長都相等,所以四邊形ABCD為菱形,AC⊥BD.又O1O⊥底面ABCD,所以O(shè)B,OC,OO1兩兩垂直.如圖,以O(shè)為原點,OB,OC,OO1所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)棱長為2.因為∠CBA=60°,設(shè)平面OC1B1的法向量為m=(x,y,z),變式探究如果本例條件不變,求二面角B-A1C-D的余弦值.規(guī)律方法

利用向量方法求二面角的大小時,多采用法向量法,即求出兩個面的法向量,然后通過法向量的夾角來得到二面角的大小,但利用這種方法求解時,要注意結(jié)合圖形觀察分析,不能將兩個法向量的夾角與二面角的大小完全等同起來.變式訓(xùn)練2[北師大版教材例題]如圖,在空間直角坐標(biāo)系中有單位正方體ABCD-A'B'C'D',求二面角A'-DC-A的平面角.解

由AA'⊥平面ABCD,可知n1=(0,0,1)是平面ABCD的一個法向量.成果驗收·課堂達標(biāo)檢測12341.已知平面α內(nèi)有一個以AB為直徑的圓,PA⊥α,點C在圓周上(異于點A,B),點D,E分別是點A在PC,PB上的射影,則(

)A.∠ADE是二面角A-PC-B的平面角B.∠AED是二面角A-PB-C的平面角C.∠DAE是二面角B-PA-C的平面角D.∠ACB是二面角A-PC-B的平面角B12342.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,二面角D1-AC-D的正切值為(

)D解析

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長為1,易求得平面ACD1的一個法向量為n1=(1,-1,1),平面ACD的一個法向量為n2=(0,0,1),所12343.

如圖所示,點A,B,C分別在空間直角坐標(biāo)系Oxyz的三條坐標(biāo)軸上,

=(0,0,2),平面ABC的一個法向量為n=(2,1,2).設(shè)二面角C-AB-O的大小為θ,則cosθ=

.

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