2021年湖北省恩施高中、龍泉中學(xué)、宜昌一中高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷

2021年湖北省恩施高中、龍泉中學(xué)、宜昌一中高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試

卷（4月份）

一、單項(xiàng)選擇題（每小題5分）.

1.命題“VxeR,的否定為（）

A.VxCR,x2>0B.V.rGR,^<0C.S.rGR,x2》。D.B.tGR,fVO

2.已知集合4={1,2},集合8={O,2},設(shè)集合C—｛z\z-xy,x&A,y&B｝,則下列結(jié)論

中正確的是（）

A.Anc=0B.AUC=CC.Bnc=8D.AUB=C

3.數(shù)列｛斯｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，3a2是43與2出的等差中項(xiàng)，則｛m｝的公比等于

（）

A.2B.C.3D.72

4.已知〃?，〃是兩條不同的直線，a,0是兩個(gè)不同的平面，則下列判斷正確的是（）

A.若a_LB，機(jī)ua,〃u°,則直線機(jī)與〃一定平行

B.若w_La,n±p,a_L0,則直線，”與〃可能相交、平行或異面

C.若，〃J_a,l//a,則直線，“與〃一定垂直

D.若"?ua,”u0,a〃0,則直線，〃與“一定平行

5.已知向量二3滿足|口=1,（L-2）,且|；+1|=2,則cosC：E>=（）

A.B.C.豆D.

5555

6.在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,則“反osA-c<0"是“△ABC為

銳角三角形”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.《算數(shù)書》是我國現(xiàn)存最早的系統(tǒng)性數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“困蓋”的術(shù)：置如其周,

令相乘也，又以高乘之，三十六成一，該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長L與高〃，

計(jì)算其體積V的近似公式用該術(shù)可求得圓率n的近似值.現(xiàn)用該術(shù)求得TT

36

的近似值，并計(jì)算得一個(gè)底面直徑和母線長相等的圓錐的表面積的近似值為27,則該圓

錐體積的近似值為（）

A.遂B.3C.3yD.9

8.已知實(shí)數(shù)mb滿足。=k）g34+k）g]29,5"+12a=13、則下列判斷正確的是（）

A.a>b>2B.b>a>2C.2>b>aD.a>2>b

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.設(shè)Z1,Z2是復(fù)數(shù)，則下列命題中的真命題是（）

A.若|zi-Z2|=0,則Z]=Z2

B.若zi=Z2，則Z]=Z2

C.若|Z]|=|Z2|,則Z]?Z[=Z2?Z2

D.若|Z1|=|Z2|,則Z]2=Z22

10.已知函數(shù)，（x）=2siaxcosx-2?cos2x+J§,則下列結(jié)論中正確的是（）

A.f（X）的對稱中心的坐標(biāo)是6r0）（依Z）

JT

B.7（x）的圖象是由y=2sin2i的圖象向右移丁個(gè)單位得到的

6

TT

c./（x）在[-石，0]上單調(diào)遞減

D.函數(shù)g（x）=/（x）+?在[0,10]內(nèi)共有7個(gè)零點(diǎn)

11.如圖，點(diǎn)M是棱長為1的正方體中的側(cè)面AOQiA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包

含邊界），則下列結(jié)論正確的是（）

A.存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)M滿足CMLAA

B.當(dāng)點(diǎn)M在棱0A上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最小值為?+1

C.在線段A2上存在點(diǎn)使異面直線囪M與CD所成的角是30°

D.滿足|AW|=2|M5|的點(diǎn)M的軌跡是一段圓弧

12.已知拋物線x2=2>，點(diǎn)M（3-1）,/Gly,1J,過何作拋物線的兩條切線AM,MB,

其中A,B為切點(diǎn)，且A在第一象限，直線AB與y軸交于點(diǎn)P,則下列結(jié)論正確的有（)

A.點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(0,1)

B.OAVOB

C.的面積的最大值為3y

D.愕卜的取值范圍是［2,2+731

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

13.寫出一個(gè)存在極值的奇函數(shù)/(x)=.

14.二項(xiàng)式(島-5)6的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為.

2222

15.己知橢圓Ci：￥座萬=1與雙曲線C2：^--^-=1(/?>0,〃>0)有相同的焦點(diǎn)

ab4IR/n

且兩曲線在第一象限的交點(diǎn)為P，若PFzLFR,且a=2b,則雙曲線C2的離心率

為.

16.已知紅箱內(nèi)有3個(gè)紅球、2個(gè)白球，白箱內(nèi)有2個(gè)紅球、3個(gè)白球，所有小球大小、形

狀完全相同.第一次從紅箱內(nèi)取出一球后再放回去，第二次從與第一次取出的球顏色相

同的箱子內(nèi)取出一球，然后再放回去，依此類推，第〃+1次從與第〃次取出的球顏色相

同的箱子內(nèi)取出一球，然后再放回去.則第4次取出的球是紅球的概率

為.

四、解答題：(本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟

17.已知a,b,c分別為AABC內(nèi)角A,B,C的對邊，且上N■工

ca+b

(I)求B的值；

(H)若b=2&,求△48C的面積的最大值.

18.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”s=4,S?=^an+i+2.

(I)證明：數(shù)列｛￡-2｝為等比數(shù)列，并求出S,；

(II)求數(shù)列｛」-｝的前〃項(xiàng)和

an

jr

19.如圖，四棱錐P-ABC。中，底面ABC。是菱形，ZBAD=—,M是棱PB上的點(diǎn)，O

是AO中點(diǎn)，且P。，底面ABC。，OP=^OA.

(I)求證：BC1OM；

9

(II)若PM=^PB,求二面角B-OM-C的余弦值.

p

20.為落實(shí)中央“堅(jiān)持五育并舉，全面發(fā)展素質(zhì)教育，強(qiáng)化體育鍛煉”的指示精神，小明和

小亮兩名同學(xué)每天利用課余時(shí)間進(jìn)行羽毛球比賽.規(guī)定每一局比賽中獲勝方記2分，失

敗方記0分，沒有平局，誰先獲得10分就獲勝，比賽結(jié)束.假設(shè)每局比賽小明獲勝的概

9

率都是多

（1）求比賽結(jié)束時(shí)恰好打了7局的概率；

（2）若現(xiàn)在是小明以6：2的比分領(lǐng)先，記X表示結(jié)束比賽還需打的局?jǐn)?shù)，求X的分布

列及期望.

22

21.已知橢圓C的方程為三三=1（心匕＞0）,P（1,在橢圓上，離心率e=4,

az-22

左、右焦點(diǎn)分別為尸卜F2.

（I）求橢圓C的方程；

（II）直線＞="（4＞0）與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，連接AQ,并延長交橢圓C于

D、E兩點(diǎn)，連接。E,求酶的值.

k

22.已知函數(shù)/（x）=siru+e

（I）求函數(shù)/（X）在［卓，2冗］的最大值；

（II）證明：函數(shù)g（X）--^-x+2e'x-f（x）在（0,2ir）有兩個(gè)極值點(diǎn)x”X2,并判斷

xi+X2與2n的大小關(guān)系.

參考答案

一、單項(xiàng)選擇題（共8小題）.

1.命題“VxeR,N20”的否定為（）

A.VxCR,B.VxeR,/<0C.SAGR,心0D.3AGR,/<0

解：因?yàn)槿Q命題的否定是特稱命題，所以：命題“V€R,爐20"的否定是A6R,

0.

故選：D.

2.已知集合4={1,2},集合8={0,2},設(shè)集合C={Z[Z=A>:xeA,yEB},則下列結(jié)論

中正確的是（）

A.AnC=0B.AUC=CC.BC\C=BD.AUB=C

解：..工={1,2],8={0,2}；

.,.C={0,2,4）；

:.BCC=B.

故選：C.

3.數(shù)列{斯}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，3s是“3與2a4的等差中項(xiàng)，則{&}的公比等于

（）

A.2B.1-C.3D.A/2

解：設(shè)正數(shù)等比數(shù)列{%}的公比為

因?yàn)?。2是〃3與2〃4的等差中項(xiàng)，

23

所以6a2=〃3+2。4,即6a\q=a\q+2a\qf

所以2/+q-6=0,解得夕=^■或g=-2（舍）.

故選：B.

4.已知〃z,〃是兩條不同的直線，a,0是兩個(gè)不同的平面，則下列判斷正確的是（）

A.若a_L0,mua,〃u0,則直線相與〃一定平行

B.若機(jī)_La,n±p,a±p,則直線機(jī)與〃可能相交、平行或異面

C.若機(jī)_La,/〃a,則直線〃?與鹿一定垂直

D.若mua,〃u0,a〃d則直線相與〃一定平行

解：，小〃是兩條不同的直線，a,0是兩個(gè)不同的平面，

對于A,若a_L0,〃?ua,nep,則直線相與〃相交、平行或異面，故A錯(cuò)誤;

對于B,若n±p,a±p,則由線面垂直、面面垂直的性質(zhì)得直線，”與〃垂直，

故8錯(cuò)誤；

對于C,若機(jī)_La,l//a,則由線面垂直、線面平行的性質(zhì)得直線〃?與〃一定垂直，故C

正確；

對于。，若mua,nep,a〃B，則直線，〃與”平行或異面，故。錯(cuò)誤.

故選：C.

5.已知向量之，芯滿足|』=1,b=(1，-2),且心+力=2,則cose：3>=()

2代R遙「西D2我

5555

解：根據(jù)題意，b=<1--2),則忘=加，

若1；+3=2，則QE)2=:+官+2之虧=6+2倔osV：4>=4，

變形可得cosV』翁=-咯

5

故選：B.

6.在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,則“氏osA-c<0”是“△ABC為

銳角三角形”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解:在ZkABC中，bcosA-c<0,則sinBeosA-sinC<0,

所以sinC=sin(A+B)=sinAcos8+cosAsinB>sinBcosA,

則有sinAcosB>0,

因?yàn)閟inA>0,

所以cos8>0,故角8為銳角，

當(dāng)8為銳角時(shí)，△ABC不一定是銳角三角形，

當(dāng)aABC為銳角三角形時(shí)，8為銳角，

故"仇:osA-cV0”是“△ABC為銳角三角形”的必要不充分條件.

故選：B.

7.《算數(shù)書》是我國現(xiàn)存最早的系統(tǒng)性數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“困蓋”的術(shù)：置如其周，

令相乘也，又以高乘之，三十六成一，該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長L與高力，

計(jì)算其體積V的近似公式與u九用該術(shù)可求得圓率n的近似值.現(xiàn)用該術(shù)求得n

的近似值，并計(jì)算得一個(gè)底面直徑和母線長相等的圓錐的表面積的近似值為27,則該圓

錐體積的近似值為（）

A.A/3B.3C.3yD.9

解：設(shè)圓錐的底面半徑為r,則乙=2irr,可得r=占，

2冗

2

???V-|Krh-|n（奈）2八七年乙2〃，整理得RN3.

???該圓錐的底面直徑和母線長相等，且圓錐的表面積的近似值為27,

設(shè)該圓錐的底面半徑為R,母線長為/,高為力，

則S表=兀R2,?（2兀R）=3R2吊?6R?2R=27,解得R=M.

又2R=l,.,?/!=V12-R2=V3R=3-

...該圓錐體積的近似值為V=^-jiR2h^yX3X3X3=9.

故選：D.

8.已知實(shí)數(shù)mh滿足。=log34+log】29,5"+12”=13〃，則下列判斷正確的是（）

A.a>b>2B.b>a>2C.2>b>aD.a>2>b

log392

lo

解：V6r=log34+logi29=log34+]°g戛=g34+i+iog^4，

_(log4)2-log4

2233

故°-2=1哨4+訴不

1+1og34

2

Vlog34>log33=l,.,.(log34)>log34,

故a-2>0,即a>2,

V5a+12a=13\且a>2,

.,.13/,>52+122=132,：.b>2,

令g(x)=5*+12*-13*(x>2),

則g(x)-52?5V-2+122*12A-2-132?13A"2<(52+122)?12x-2-169?13x2<0,

故13〃=50+12。<13",即a>b,

故a>b>2,

故選：A.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.設(shè)Z],Z2是復(fù)數(shù)，則下列命題中的真命題是（）

A.若|z1-Z2|=0,則Z[=Z2

B.若z】=Z2，則Z]=Z2

C.若|Z1|=|Z2|,則Z1?Z[=Z2?Z2

D.若|Z||=|Z2|,則Z[2=Z22

解：對（A）,若|Z|-Z2|=0,則Z]-Z2=0,Z]=Z2,所以Z[=Z2為真;

對（B）若Z]怎，則zi和Z2互為共甑復(fù)數(shù)，所以五'=z2為真；

對（C）設(shè)zi=0+6ii,Z2=s+岳'若%|=彷|,則

22z=a2+b2,

Zi?Z1=a1+b1,z2*222所以Z[.Z[=Z2"Z2為真；

2

對（。）若Z|=1,Z2=i,則|Z||=|Z2|為真，而Z[2=l,Z2=-1，所以Z12=Z22為假.

故選：ABC.

10.已知函數(shù)/(x)=2sinxcosx-2?COS2X+F，則下列結(jié)論中正確的是()

A.f(x)的對稱中心的坐標(biāo)是(號［《，0)(依Z)

TT

B./(x)的圖象是由y=2sin2x的圖象向右移二，個(gè)單位得到的

6

JT

C./(x)在［-虧，0］上單調(diào)遞減

O

D.函數(shù)g(x)=/(x)+、/§在［0,10］內(nèi)共有7個(gè)零點(diǎn)

解:函數(shù)f（x）=2sinxcosx⑵

2x--^-=kn1攵€Z,止匕時(shí)工=卜ZcZ時(shí)，f(x)=2sin(2x---)=2sin加=0,

3263

所以/(x)的對稱中心的坐標(biāo)是(野吟，0)(依Z),所以A正確；

1IJIJI

y=2sin2x的圖象向右移一h個(gè)單位得到，y=2sin2(x--—)=2sin(2x--?),所以3

663

正確;

當(dāng)“=-彳^-時(shí)，f(1)=2sin(2x--)=-2,函數(shù)取得最小值，所以f(x)在[—-

aL乙OO

0］上不是單調(diào)函數(shù)，所以C不正確；

函數(shù)g（X）=f（X）+正=2sin（2x-+正的周期為IT,R=0時(shí)，f（0）=0,函數(shù)

在一個(gè)周期內(nèi)由兩個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)在［0,10J內(nèi)共有7個(gè)零點(diǎn)，所以D正確.

故選：ABD.

11.如圖，點(diǎn)用是棱長為1的正方體43（7-48。|0］中的側(cè)面4?！辏┌?上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包

含邊界），則下列結(jié)論正確的是（）

A.存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)M滿足CMLA2

B.當(dāng)點(diǎn)M在棱上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最小值為?+1

C.在線段AZZ上存在點(diǎn)M,使異面直線與CO所成的角是30°

D.滿足|M￡>|=2|M9|的點(diǎn)M的軌跡是一段圓弧

解：對于4,當(dāng)M點(diǎn)在4。時(shí)，因?yàn)槠矫鍭QCBi,且CMu平面AQCBi,所以

存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)M滿足CMLAD1,所以A對；

對于B,作平面展開圖如圖，|MA|+|M-|的最小值為83=，12+（1+近）24后1,所

以8錯(cuò);

對于C,因?yàn)镃￡）〃AB,AB/ZA^Bi,所以于是異面直線與。所成的角

為NABiM,

>p所以NAiSM>30°,所以C錯(cuò);

對于。，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，2（1,0）,設(shè)M（x,y）,

因?yàn)檠圪?2|MQ|,所以Jx2+y2均G_1）2+丫2,整理得3f+3產(chǎn)-8x+4=0,所以點(diǎn)

例的軌跡是一段圓弧，所以。對.

故選：AD.

Gx

12.已知拋物線/=2)，，點(diǎn)MG,-1),re[p1],過M作拋物線的兩條切線MA,MB,

其中A,B為切點(diǎn)，且4在第一象限，直線AB與y軸交于點(diǎn)P,則下列結(jié)論正確的有()

A.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,1)

B.OALOB

C.的面積的最大值為3y

D.耨-的取值范圍是[2,2+小目

IPBI

解：/=2y即丫=去2的導(dǎo)數(shù)為y'=x,

設(shè)A(x”yi),B(X2,”)，則婷=2%，K=2y2,

可得A處的切線的方程為y-yi=xi(x-xi),即為xix=y+yi,

同理可得B處的切線的方程為xjr=)4獎(jiǎng)，

又切線MA,MB都過M(6-1),可得xM=-1+y”X2t--1+”，

由兩點(diǎn)確定一條直線，可得AB的方程為xf=y-1,

可得P(0,-1),故A正確；

f2_

聯(lián)立，X2了,可得/-2fx-2=0,即有xi+x2=2f,xiX2=-2,

xt=y-l

(vv")2

由xtX2+yiy2—-2+,12=-2+1--1#0,

4

即OA不垂直于OB,故8錯(cuò)誤;

由MG,-1),1],M到直線A8的距離為4=~~\AB\=V1+t2*V4t2+8)

所以△MAB的面積5=/小依用=(P+2)

1]遞增，可得S的最大值為

3晶，故C正確;

|PA|_'l+t2lx】|_Xi

2-x設(shè)X1=-Xitn,

[PB]V1+tIx2|2

x,可得f2=（『m）2日」,

由X\+X2=2t,X\X2=-2,消去x”21]，

2m4

解得，”日2,2+73],故。正確.

故選：ACD.

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

13.寫出一個(gè)存在極值的奇函數(shù)/（X）=sinx.

解：根據(jù)題意，要求函數(shù)為奇函數(shù)且存在極值，則f（x）可以為正弦函數(shù),

即f（x）=sinx,

故答案為：sinx（答案不唯一）.

14.二項(xiàng)式（3-"I）6的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為60.

解：展開式的通項(xiàng)公式為。+產(chǎn)金?

令3,J=0,解得r=2,

所以展開式的常數(shù)項(xiàng)為C2-22-（-1）2=60,

故答案為：60.

2222

15.已知橢圓Ci：號表=1與雙曲線C2：%-%=1（機(jī)>0,”>0）有相同的焦點(diǎn)尸”

Fi,且兩曲線在第一象限的交點(diǎn)為P,若PF2，QF2,且。=26,則雙曲線C2的離心率為

273

~3~~'

解：令x=c,由橢圓的方程，可得y=±〃Jl-\=±_L_,

Va?a

設(shè)小尸2|=玫=止=3

a2b2

由橢圓的定義可得|PQ|=2a-\PF2\=4b-±b=/,

由雙曲線的定義可得|PFi|-\PF2\=-^b-■^b=3b=2m,

又?=平不=如乩

,,?9r-

所以雙曲線的離心率為￡=?一

myb3

故答案為：3?.

3

16.已知紅箱內(nèi)有3個(gè)紅球、2個(gè)白球，白箱內(nèi)有2個(gè)紅球、3個(gè)白球，所有小球大小、形

狀完全相同.第一次從紅箱內(nèi)取出一球后再放回去，第二次從與第一次取出的球顏色相

同的箱子內(nèi)取出一球，然后再放回去，依此類推，第〃+1次從與第“次取出的球顏色相

同的箱子內(nèi)取出一球，然后再放回去.則第4次取出的球是紅球的概率為毒.

一625-

解：設(shè)第〃(?GN*)次取出紅球的概率為匕，則取出白球的概率為1-P“，

考慮第n+1次取出紅球的概率為P“+i,

①若第n次取出的球?yàn)榧t球，則第n+1次在紅箱內(nèi)取出紅球的概率為?|尸“,

5

②若第〃次取出的球?yàn)榘浊?，則第八+1次在白箱內(nèi)取出紅球的概率為(1-尸“)，

5

Q919q

故Pn+\——(1-PH)=—,且Pl=M，

55555

故”白《后喑看

13P、=—12—=—1X13?263

2555525后125

19631,2_313

故P^——Py+—=x

551255~5~~^25

故答案為:313

625

四、解答題：(本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟

17.已知a,6,c分別為△ABC內(nèi)角A,B,C的對邊，且…=岳+上

ca+b

(I)求8的值；

(II)若b=2近,求AABC的面積的最大值.

解：(I)?.?■^■=叵+。,

ca+b

Aa^c2-b2=-

由余弦定理知，cos8=.&+c.b.=，丫2cle=_

2ac2ac2

371

?:BE(0,TT),

4

(II)由余弦定理知,b2=a2+(r-2ac*cosB,

??=2&，8=等

.\8=a2+c2-2acX（-^2ac+2acX（2+A/^）ac,

，“cW555=4°-&），當(dāng)且僅當(dāng)。=。時(shí)，等號成立，

AAABC的面積S="|ac?sinB<a?4（2-正）?唱=2&-2,

故△4BC的面積的最大值為2&-2.

18.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”t/2=4,Sn=^-a?+i+2.

（1）證明：數(shù)列｛*-2｝為等比數(shù)列，并求出S,;

（II）求數(shù)列｛」一｝的前幾項(xiàng)和7k

an

【解答】（I）證明：由題意，當(dāng)〃=1時(shí)，SI="^S+2=-^X4+2=4,

根據(jù)已知條件，S"="^S+l+2="^（Sn+I-Sn）+2,

整理，得S"+i=3S"-4,

兩邊同時(shí)減去2,可得Si+i-2=3S"-4-2=3（Sn-2）,

VSI-2=4-2=2,

二數(shù)列｛S.-2｝是以2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，

.?$-2=2?3"7,

：.Sn=2-3ni+2,neN*.

（II）解：由（I）知，當(dāng)〃=1時(shí)，ai=Si=4,

n2n2

當(dāng)時(shí)，an=S?-S,,.i=2-3'+2-2-3"--2=4-3-,

’4,n=l

故a,,—<一,

%、嗎嚴(yán)，n》2

當(dāng)”=1時(shí)，?=」-=」，

a14

,41111

當(dāng)"N2時(shí)，T———+——+—+???+——

ala2a3an

=LLL（A）i+...++A.（A）?-2

444343

叫

干一

3

=5]

~8~8?非-2，

?.,當(dāng)”=1時(shí)，Ti=',

19.如圖，四棱錐P-ABC。中，底面ABC。是菱形，ZBAD=—,M是棱PB上的點(diǎn)，0

是4。中點(diǎn)，且尸0J_底面ABC。，OP=?OA.

(I)求證：BC±OM；

(II)若PM[PB,求二面角B-OM-C的余弦值.

O

【解答】(I)證明：在菱形48CD中，/54。=60°,所以△48。為等邊三角形，

又因?yàn)?。?。的中點(diǎn)，所以08LAD,

又因?yàn)锳C〃BC,所以O(shè)BLBC,

因?yàn)槭?,底面ABC。，BCu平面A8CQ,所以0PLBC,

因?yàn)?PC0B=0,OP,08u平面P0B,所以8C_L平面P08,

因?yàn)镸是棱PB上的點(diǎn)，所以O(shè)Mu平面P08,所以8CL0M；

(II)解：因?yàn)镻。，底面ABCQ,0B1AD,建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

設(shè)OA=1,則OP=OB=?,

所以

0(0,0,0),A(l,0,0),B(0,加，0),C(-2,孤，0),P(0,0,如),

貝慶=(-2,V3.0)，由而。由於S，如，-正)，

所以而=而4屈=（o,

0

設(shè)平面OMC的法向量為m=（x,y,z）.

ON?m=02y+z=0

則有，

即4,

OC?m=02x-Vsy=0

令y=l,則x=^^*，z=-2，故1,-2），

又因?yàn)槠矫鍼OB的法向量為3=（1,0,0）.

所以Icos—,>1陪著

Im||n|

由圖可知，二面角B-OM-C為銳二面角,

所以二面角B-OM-C的余弦值為逗.

23

20.為落實(shí)中央“堅(jiān)持五育并舉，全面發(fā)展素質(zhì)教育，強(qiáng)化體育鍛煉”的指示精神，小明和

小亮兩名同學(xué)每天利用課余時(shí)間進(jìn)行羽毛球比賽.規(guī)定每一局比賽中獲勝方記2分，失

敗方記0分，沒有平局，誰先獲得10分就獲勝，比賽結(jié)束.假設(shè)每局比賽小明獲勝的概

率都是母

（1）求比賽結(jié)束時(shí)恰好打了7局的概率；

（2）若現(xiàn)在是小明以6：2的比分領(lǐng)先，記X表示結(jié)束比賽還需打的局?jǐn)?shù)，求X的分布

列及期望.

解:（1）恰好打了7局小明獲勝的概率是Pi=C：

）25=1

恰好打了7局小亮獲勝的概率為P2=Cg仔、康與

15X25+15X2220

比賽結(jié)束時(shí)恰好打了7局的概率為P=Pi+P2=

37811

(2)X的可能取值為2,3,4,5,

P(X=2)=(-|)2=|,

P(X=3)=C；X(鋁.嘲,

P(X=4)=C；X/)2Xg)2+C：X(1)4得,

P(X=5)=C^X-lxQ)3=±

43381

??.X的分布列如下：

X2345

p8138

-927比

E（X）=2X—+3X—+4X^+5X—=-^-.

927818181

22

21.已知橢圓C的方程為t以=1Ca>h>0）,P（1,得）在橢圓上，離心率e=口,

a"b"22

左、右焦點(diǎn)分別為B、B.

（I）求橢圓C的方程；

（II）直線y=fcr（*>0）與橢圓C交于48兩點(diǎn)，連接AQ,BQ并延長交橢圓C于

D、E兩點(diǎn)，連接。E,求酶的值.

k

解：（I）由尸（1,弓）在橢圓上，

因?yàn)殡x心率e=￡=《，所以“=2c,

a2

又a2=b2+c2,

可得。=2,8=f，c=l,

22

所以橢圓C的方程為工+工_=1.

43

(II)設(shè)A(xo,加)，則3(-xo,-yo),

XO+1

直線A。的方程為一1,

y。

代入C：A_+_X_=1,得[3(xo+1)2+4yo2]y2-6(&+1)yoy-9yo2=O,

43

22

因?yàn)闊o_+E_=l,

43

代入化簡得(2xo+5)y2-2(xo+1)yoy-3yo2=O,

設(shè)￡)(xi,yi),E(X2,〉2),

2

x(]+l

則yoy=°、°，所以yi=―—―p-

?X|■yi-i,

2x0+52XQ+5y。

Xn-1

直線BE的方程為x=」-y-1

VO-

同理可得[3(xo-1)2+4yo2]y2-6(xo-1)yoy-9yo2=0,

化簡得(5-2xo)/-2(xo-1)yoy-3yo2=O,

所以-聞A衛(wèi)，即”=:”，及=血二4-1,

5-2x05-2X0y0-

丫「丫2yf

所以o+1xo-1Xn丫產(chǎn)2

一（丫1一了2）+

—。y1-------。---y?12

y1y2y0Vo

]

x01了1+丫2,

—+-----,------------

y。y。丫42

-3y(j+%

了1+丫22x0+5卜5-2X02

又-------=----------------=--XQ

丫「丫2'3yo5

2xg+55-2x0

________]

=壇衛(wèi)