2021年湖北中考數(shù)學(xué)真題分類匯編之方程與不等式

2021年湖北中考數(shù)學(xué)真題分類匯編之方程與不等式

一.選擇題（共5小題）

1.（2021?襄陽）隨著生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步，某制藥廠生產(chǎn)成本逐年下降.兩年前生產(chǎn)一噸藥的

成本是5000元，現(xiàn)在生產(chǎn)一噸藥的成本是4050元.設(shè)生產(chǎn)成本的年平均下降率為x,下

面所列方程正確的是（）

A.5000(1+x)2=4050B.4050(1+x)2=5000

C.5000(1-x)2=4050D.4050(1-x)2=5000

2.（2021?荊門）我國古代數(shù)學(xué)古典名著《孫子算經(jīng)》中記載：“今有木，不知長短，引繩度

之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺，木長幾何？”其大意是：用一根繩子去量一

根長木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再量，木條還剩余1尺；問長木多少尺？如果設(shè)

木條長為x尺，繩子長為y尺，則下面所列方程組正確的是（）

y=x+4.5y=x-4.5

A.<1_1B.?=x+l

/X-l

y=x+4.5y=x-4.5

C.D.

2y=x-l2y=x+l

3.（2021?荊州）定義新運(yùn)算"※”:對于實數(shù)相，n,p,q.有［nz,p］※0ri\=mn+pq,其

中等式右邊是通常的加法和乘法運(yùn)算，例如：［2,3］派［4,5］=2X5+3X4=22.若關(guān)于x

的方程廿+1，8※［5-2鼠燈=0有兩個實數(shù)根，則上的取值范圍是（）

A.左＜5且右￡。B.k《互c.且上roD.上》回

4飛44

4.（2021?十堰）某工廠現(xiàn)在平均每天比原計劃多生產(chǎn)50臺機(jī)器，現(xiàn)在生產(chǎn)400臺機(jī)器所需

時間比原計劃生產(chǎn)450臺機(jī)器所需時間少I天，設(shè)現(xiàn)在平均每天生產(chǎn)x臺機(jī)器，則下列

方程正確的是（）

A.400.450=B450-400=1

xx-50x-50x

C.40°-45°=50D.450_400=50

xx+1x+1x

5.（2021?恩施州）分式方程」_+1==旦的解是（)

X-1X-1

A.x=lB.x=-2C.x=_3D.冗=2

4

填空題（共4小題）

6.（2021?湖北）我國明代數(shù)學(xué)讀本《算法統(tǒng)宗》一書中有這樣一道題：一支竿子一條索,

索比竿子長一托，對折索子來量竿，卻比竿子短一托.如果1托為5尺，那么索長為

尺.

（其大意為：現(xiàn)有一根竿和一條繩索，如果用繩索去量竿，繩索比竿長5尺；如果將繩

索對折后再去量竿，就比竿短5尺，則繩索長幾尺.）

7.（2021?湖北）關(guān)于x的方程/-2蛆+序-機(jī)=。有兩個實數(shù)根a,p,且」_則

ap

m=.

8.（2021?襄陽）不等式組卜+2>4*-1的解集是____________________.

I2x>l-x—

9.（2021?隨州）已知關(guān)于x的方程/-（A+4）x+4A=0（%W0）的兩實數(shù)根為x\,xi,若

X1x2

=3,則4=.

三.解答題（共4小題）

10.（2021?湖北）（1）計算，（3-V2）°X4-（273-6）+3^Zg+V12；

（2）解分式方程：—2—^^=1.

2x-ll-2x

11.（2021?荊門）已知關(guān)于x的一元二次方程f-6X+2〃L1=0有xi,X2兩實數(shù)根.

（1）若Xl=l,求X2及膽的值；

（2）是否存在實數(shù)m,滿足Cxi-1）（^2-1）=2?若存在，求出實數(shù)m的值；若

m-5

不存在，請說明理由.

12.（2021?荊州）已知：。是不等式5（a-2）+8<6（?-1）+7的最小整數(shù)解，請用配方

法解關(guān)于x的方程x2+2ar+a+l=0.

13.（2021?黃石）我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》記載：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，

下有九十四足，問雞兔各幾何？”譯文：有若干只雞與兔在同一個籠子里，從上面數(shù)有

35個頭，從下面數(shù)有94只腳，問籠中各有幾只雞和兔？根據(jù)以上譯文，回答以下問題：

（1）籠中雞、兔各有多少只？

（2）若還是94只腳，但不知道頭多少個，籠中雞兔至少30只且不超過40只.雞每只

值80元，兔每只值60元，問這籠雞兔最多值多少元？最少值多少元？

2021年湖北中考數(shù)學(xué)真題分類匯編之方程與不等式

參考答案與試題解析

一.選擇題（共5小題）

1.(2021?襄陽)隨著生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步，某制藥廠生產(chǎn)成本逐年下降.兩年前生產(chǎn)一噸藥的

成本是5000元，現(xiàn)在生產(chǎn)一噸藥的成本是4050元.設(shè)生產(chǎn)成本的年平均下降率為x,下

面所列方程正確的是()

A.5000(1+x)2=4050B.4050(1+x)2=5000

C.5000(1-x)2=4050D.4050(1-x)2=5000

【考點】由實際問題抽象出一元二次方程.

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【分析】等量關(guān)系為：2年前的生產(chǎn)成本X(1-下降率)2=現(xiàn)在的生產(chǎn)成本，把相關(guān)數(shù)

值代入計算即可.

【解答】解：設(shè)這種藥品成本的年平均下降率是x,根據(jù)題意得：

5000(1-%)2=4050,

故選：C.

【點評】此題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，平均增長率問題，一般形式為a

(1+x)2=b,a為起始時間的有關(guān)數(shù)量，匕為終止時間的有關(guān)數(shù)量.

2.(2021?荊門)我國古代數(shù)學(xué)古典名著《孫子算經(jīng)》中記載：“今有木，不知長短，引繩度

之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺，木長幾何？”其大意是：用一根繩子去量一

根長木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再量，木條還剩余I尺；問長木多少尺？如果設(shè)

木條長為x尺，繩子長為y尺，則下面所列方程組正確的是()

y=x+4.5y=x-4.5

B.<i

產(chǎn)x+l

,/y=x+4.5Djy=x-4.5

12y=x-l12y=x+l

【考點】數(shù)學(xué)常識；由實際問題抽象出二元一次方程組.

【專題】一次方程(組)及應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【分析】直接利用“繩長=木條+45上繩子=木條-1”分別得出等式求出答案.

2

，y=x+4.5

【解答】解：設(shè)木條長無尺，繩子長y尺，那么可列方程組為：1

/X-1

故選：A.

【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，正確得出等量關(guān)系是解題

關(guān)鍵.

3.(2021?荊州)定義新運(yùn)算"※”:對于實數(shù)n,p,q.有pn,p]※匕，n]=mn+pq,其

中等式右邊是通常的加法和乘法運(yùn)算，例如：[2,3忤[4,51=2X5+3X4=22.若關(guān)于x

的方程[7+1,劉※[5-2晨燈=0有兩個實數(shù)根，則4的取值范圍是()

A.無<5且上去0B.y旦C.且無#0D.上)§

4飛4飛44

【考點】實數(shù)的運(yùn)算；根的判別式.

【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；運(yùn)算能力.

【分析】先根據(jù)新定義得到k(f+1)+(5-2Z)x=0,再整理為-一般式，接著根據(jù)一元

二次方程的定義和判別式的意義得到上#0且4=(5-2A)2-4&220,然后解不等式即

可.

【解答】解：根據(jù)題意得k(/+1)+(5-2k)x=0,

整理得k^+(5-2k)x+k=0,

因為方程有兩個實數(shù)解，

所以上#0且4=(5-2k)2-4后20,解得上且�.

4

故選：C.

【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程a?+6x+c=0(“W0)的根與△=砂-4ac

有如下關(guān)系：當(dāng)△>()時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△=()時，方程有兩個相等的

實數(shù)根；當(dāng)△<()時，方程無實數(shù)根.把有新定義運(yùn)算的方程化為一元二次方程的一般式

是解決問題的關(guān)鍵.

4.(2021?十堰)某工廠現(xiàn)在平均每天比原計劃多生產(chǎn)50臺機(jī)器，現(xiàn)在生產(chǎn)400臺機(jī)器所需

時間比原計劃生產(chǎn)450臺機(jī)器所需時間少1天，設(shè)現(xiàn)在平均每天生產(chǎn)x臺機(jī)器，則下列

方程正確的是()

A.400_450=1B.45p_400=1

xx-50x-50x

C.400-450=50D.450-400=50

xx+1x+1X

【考點】由實際問題抽象出分式方程.

【專題】分式方程及應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【分析】設(shè)現(xiàn)在平均每天生產(chǎn)X臺機(jī)器，則原計劃平均每天生產(chǎn)(x-50)臺機(jī)器，根據(jù)

“現(xiàn)在生產(chǎn)400臺機(jī)器所需時間比原計劃生產(chǎn)450臺機(jī)器所需時間少1天”列出方程即

可.

【解答】解：設(shè)現(xiàn)在平均每天生產(chǎn)X臺機(jī)器，則原計劃平均每天生產(chǎn)（x-50）臺機(jī)器，

根據(jù)題意，得衛(wèi)區(qū)L-%=1.

x-50x

故選：B.

【點評】此題主要考查了由實際問題抽象出分式方程，利用本題中“生產(chǎn)400臺機(jī)器所

需時間比原計劃生產(chǎn)450臺機(jī)器所需時間少1天”這一個等量關(guān)系，進(jìn)而得出分式方程

是解題關(guān)鍵.

5.（2021?恩施州）分式方程1_+1=_"的解是（）

x-lx-l

A.x=lB.x--2C.X——D.x—2

4

【考點】解分式方程.

【專題】分式方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可

得到分式方程的解.

【解答】解：去分母得：X+X-1=3,

解得：x=2,

經(jīng)檢驗x=2是分式方程的解.

故選：D.

【點評】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗.

二.填空題（共4小題）

6.（2021?湖北）我國明代數(shù)學(xué)讀本《算法統(tǒng)宗》一書中有這樣一道題：一支竿子一條索，

索比竿子長一托，對折索子來量竿，卻比竿子短一托.如果1托為5尺，那么索長為3

尺.

（其大意為：現(xiàn)有一根竿和一條繩索，如果用繩索去量竿，繩索比竿長5尺；如果將繩

索對折后再去量竿，就比竿短5尺，則繩索長幾尺.）

【考點】二元一次方程組的應(yīng)用.

【專題】一次方程（組）及應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【分析】設(shè)索長為x尺，竿子長y尺，根據(jù)''索比竿子長5尺，對折索子來量竿，卻比

竿子短5尺”，即可得出關(guān)于x,y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)索長為x尺，竿子長y尺,

x-y=5

依題意得：1

y—^x=5

解得：卜=20.

ly=15

故答案為：20.

【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組

是解題的關(guān)鍵.

1

7.(2021?湖北)關(guān)于x的方程7一2阿計加2-團(tuán)=0有兩個實數(shù)根。，p,且」一-則

D=1

aP

tn3

【考點】根的判別式；根與系數(shù)的關(guān)系.

【專題】判別式法；一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【分析】根據(jù)△的意義得到△，()，即(-2/n)2-420,可得加20,根據(jù)根

1

與系數(shù)的關(guān)系得到a+B=2,*,呻="2-m,再將」一D=1變形得到關(guān)于m的方程,

QP

解方程即可求解.

【解答】解：..?關(guān)于x的方程7-2〃優(yōu)+"-〃?=0有兩個實數(shù)根a,p,

.*.△=(-2m)2-4(瓶2-機(jī))，0,解得相20,

a+0=2〃z,a^=nr-m,

即。+B=i,

a乍a8

..2m=],

m2-m

解得加1=0,加2=3,

經(jīng)檢驗，加1=0不合題意，"22=3符合題意,

.?.機(jī)=3.

故答案為：3.

【點評】本題考查了一元二次方程/+-+C=0(a#0)的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程的兩

根分別為XI,X2,則用+垃=-電，也考查了一元二次方程根的判別式以及代

aa

數(shù)式的變形能力.

X工？的解集是

8.(2021?襄陽)不等式組.

【考點】解一元一次不等式組.

【專題】一元一次不等式(組)及應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【分析】先求出每個不等式的解集，再求出不等式組的解集即可.

【解答】解:卜1它4女①,

[2x>l-x②

解不等式①，得xWl,

解不等式②，得x>L,

3

所以不等式組的解集是工1，

3

故答案為：1<X<1.

3

【點評】本題考查了解一元一次不等式組，能根據(jù)不等式的解集求出不等式組的解集是

解此題的關(guān)鍵.

9.(2021-隨州)已知關(guān)于x的方程--(%+4)x+4k=0(k^0)的兩實數(shù)根為xi,X2,若2+2

X1x2

=3,貝壯=A.

一5一

【考點】根與系數(shù)的關(guān)系.

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到Xl+X2=A+4,X1?X2=4A,將其代入已知等式，列出關(guān)

于人的方程，解方程即可.

【解答】解：,??關(guān)于x的方程(Z+4)x+4Z=0(ZW0)的兩實數(shù)根為xi,必

?\XI+X2=A+4,Xi?x2=4k,

.22_2(X1+X2)_2(k+4)

??-----Ix-'l-~~------------J?

X1x2X1，x24k

解得k=￡

5

經(jīng)檢驗，z=4是原方程的解.

5

故答案為：1.

5

【點評】此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程0?+瓜+°=0QWO)的根與系

數(shù)的關(guān)系為：Xt+X2—-―,Xl*X2——.

aa

三.解答題(共4小題)

10.（2021?湖北）（1）計算，（3-&）0X4-（273-6）+3^+712：

(2)解分式方程：，——^=1.

2x-ll-2x

【考點】實數(shù)的運(yùn)算；零指數(shù)累；解分式方程.

【專題】實數(shù)；分式方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【分析】(1)原式利用零指數(shù)幕法則，算術(shù)平方根、立方根定義計算，去括號合并即可

得到結(jié)果；

(2)分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到

分式方程的解.

【解答】解：(1)原式=1*4-2心6-2+2立

—4-2A/§+6-2+2-\/3

=8；

(2)去分母得：2-x=2x-1,

解得：x=\,

檢驗：當(dāng)x=l時，2x-lW0,

.?.分式方程的解為x=l.

【點評】此題考查了解分式方程，實數(shù)的運(yùn)算，以及零指數(shù)累，解分式方程利用了轉(zhuǎn)化

思想，注意要檢驗.

11.(2021?荊門)已知關(guān)于x的一元二次方程7-6五+2m-1=()有箱，兩實數(shù)根.

(1)若加=1,求X2及m的值；

(2)是否存在實數(shù)m,滿足(Xi-1)(&-1)=_0_?若存在，求出實數(shù)m的值；若

m-5

不存在，請說明理由.

【考點】一元二次方程的解；根與系數(shù)的關(guān)系.

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【分析】(1)先利用判別式的意義得到機(jī)W5,再利用根與系數(shù)的關(guān)系得到XI+X2=6,*也

—2m-1,然后利用xi=1可求出和膽的值：

(2)利用(xi-1)(A2-1)=-^得到2山-1-6=-^,整理得m2-8〃?+12=0,解

m-5m-5

得叫=2,m2=6,然后利用加的范圍確定機(jī)的值.

【解答】解：(1)根據(jù)題意得△=(-6)2-4(2m-1)20,解得加近5,

xi+x2=6fx\x2=2m-1,

Vxi=l,

，1+A2=6,xi=2m-1,

??X2=5,m=3；

(2)存在.

?:(XI-1)(X2-1)=-6,

m-5

??X\X2~(X1+X2)+1=0,

m-5

即2/77-1-6+1=—

m-5

整理得m2-8m+12=0,解得"〃=2,加2=6,

?.?"zW5且mW5,

工m=2.

【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若XI,X2是一元二次方程o^+fex+cuO(“羊0)的

兩根時，陽+m=-上，XIX2=￡.也考查了判別式.

aa

12.(2021?荊州)已知：〃是不等式5(a-2)+8<6(a-1)+7的最小整數(shù)解，請用配方

法解關(guān)于x的方程，+2ar+a+l=0.

【考點】解一元二次方程-配方法；一元一次不等式的整數(shù)解.

【專題】一元二次方程及應(yīng)用；一元一次不等式(組)及應(yīng)用；運(yùn)算能力.

【分析】解不等式5(a-2)+8<6(a-1)+7,得a>-3,所以最小整數(shù)解為-2,于

是將a=-2代入方程/-4x-1=0.利用配方法解方程即可.

【解答】解：解不等式5(a-2)+8<6(?-1)+7,得”>-3,

最小整數(shù)解為-2,

將“=-2代入方程x1+2ax+a+\=0,得/-4x-1=0,

配方，得(x-2)2=5.

直接開平方，得x-2=土旄.

解得xi=2+旄，X1—2-^5.

【點評】本題主要考查了配方法解一元二次方程和一元一次不等式的整數(shù)解.配方法的

一般步驟：

(1)把常數(shù)項移到等號的右邊；

(2)把二次項的系數(shù)化為1；

(3)等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方.

選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1,一次項的系數(shù)是2

的倍數(shù).

13.（2021?黃石）我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》記載：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，

下有九十四足，問雞兔各幾何？”譯文：有若干只雞與兔在同一個籠子里，從上面數(shù)有

35個頭，從下面數(shù)有94只腳，問籠中各有幾只雞和兔？根據(jù)以上譯文，回答以下問題:

（1）籠中雞、兔各有多少只？

（2）若還是94只腳，但不知道頭多少個，籠中雞兔至少30只且不超過40只.雞每只

值80元，兔每只值60元，問這籠雞兔最多值多少元？最少值多少元？

【考點】數(shù)學(xué)常識；二元一次方程組的應(yīng)用；一元一次不等式組的應(yīng)用；一次函數(shù)的應(yīng)

用.

【專題】一次方程（組）及應(yīng)用；一元一次不等式（組）及應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【分析】（1）設(shè)籠中雞有x只，兔有y只，根據(jù)“從上面數(shù)有35個頭，從下面數(shù)有94

只腳”，即可得出關(guān)于x,y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；

（2）設(shè)籠中雞有m只，則兔有絲21只，根據(jù)籠中雞兔至少30只且不超過40只，即

4

可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍，設(shè)這籠雞兔共值w元,

根據(jù)總價=單價X數(shù)量，即可得出關(guān)于w關(guān)于小的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)

即可解決最值問題.

【解答】解：（1）設(shè)籠中雞有x只，兔有y只,

依題意得：（X+y=35，

\2x+4y=94

解得：產(chǎn)3.

ly=12

答：籠中雞有23只，兔有12只.

（2）設(shè)籠中雞有〃，只，則兔有些空?只,

4

94-2m

>30

依題意得:

94-2m

<40

解得：13W/W33.

設(shè)這籠雞兔共值卬元，則w=80w+60X94~2m=50/n+1410.

4

V50>0,

隨m的增大而增大,

.,.當(dāng)〃?=13時，w取得最小值，最小值=50X13+1410=2060；

當(dāng)機(jī)=33時，w取得最大值，最大值=50X33+1410=3060.

答：這籠雞兔最多值3060元，最少值2060元.

【點評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用、數(shù)學(xué)常識以及

一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）

根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組.

考點卡片

1.數(shù)學(xué)常識

數(shù)學(xué)常識

此類問題要結(jié)合實際問題來解決，生活中的一些數(shù)學(xué)常識要了解.比如給出一個物體的高度

要會選擇它合適的單位長度等等.

平時要注意多觀察，留意身邊的小知識.

2.實數(shù)的運(yùn)算

(1)實數(shù)的運(yùn)算和在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣，值得一提的是，實數(shù)既可以進(jìn)行加、減、乘、除、

乘方運(yùn)算，又可以進(jìn)行開方運(yùn)算，其中正實數(shù)可以開平方.

(2)在進(jìn)行實數(shù)運(yùn)算時，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算

乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行.

另外，有理數(shù)的運(yùn)算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.

【規(guī)律方法】實數(shù)運(yùn)算的“三個關(guān)鍵”

1.運(yùn)算法則：乘方和開方運(yùn)算、幕的運(yùn)算、指數(shù)(特別是負(fù)整數(shù)指數(shù)，0指數(shù))運(yùn)算、根

式運(yùn)算、特殊三角函數(shù)值的計算以及絕對值的化簡等.

2.運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運(yùn)算中要從

左到右依次運(yùn)算，無論何種運(yùn)算，都要注意先定符號后運(yùn)算.

3.運(yùn)算律的使用：使用運(yùn)算律可以簡化運(yùn)算，提高運(yùn)算速度和準(zhǔn)確度.

3.零指數(shù)幕

零指數(shù)幕：a°=l(aWO)

由""+""=1,可推出J=1(a#0)

注意：0°#l.

4.由實際問題抽象出二元一次方程組

(1)由實際問題列方程組是把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”的重要方法，它的關(guān)鍵是把已知量

和未知量聯(lián)系起來，找出題目中的相等關(guān)系.

(2)一般來說，有兒個未知量就必須列出兒個方程，所列方程必須滿足：①方程兩邊表示

的是同類量；②同類量的單位要統(tǒng)一；③方程兩邊的數(shù)值要相符.

（3）找等量關(guān)系是列方程組的關(guān)鍵和難點，有如下規(guī)律和方法：

①確定應(yīng)用題的類型，按其一般規(guī)律方法找等量關(guān)系.②將問題中給出的條件按意思分割成

兩個方面，有”時一般“；”前后各一層，分別找出兩個等量關(guān)系.③借助表格提供信息

的，按橫向或縱向去分別找等量關(guān)系.④圖形問題，分析圖形的長、寬，從中找等量關(guān)系.

5.二元一次方程組的應(yīng)用

（-）列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟：

（1）審題：找出問題中的已知條件和未知量及它們之間的關(guān)系.

（2）設(shè)元：找出題中的兩個關(guān)鍵的未知量，并用字母表示出來.

（3）列方程組：挖掘題目中的關(guān)系，找出兩個等量關(guān)系，列出方程組.

（4）求解.

（5）檢驗作答：檢驗所求解是否符合實際意義，并作答.

（二）設(shè)元的方法：直接設(shè)元與間接設(shè)元.

當(dāng)問題較復(fù)雜時，有時設(shè)與要求的未知量相關(guān)的另一些量為未知數(shù)，即為間接設(shè)元.無論怎

樣設(shè)元，設(shè)幾個未知數(shù)，就要列幾個方程.

6.一元二次方程的解

（1）一元二次方程的解（根）的意義：

能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.又因為只含有一個未知

數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根.

（2）一元二次方程一定有兩個解，但不一定有兩個實數(shù)解.這xi,是一元二次方程^^bx+c

=0（4#0）的兩實數(shù)根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個等式求解未知量.

67Jcr+tei+c=O（aWO）,ax21+hx2+c=O（aWO）.

7.解一元二次方程-配方法

（1）將一元二次方程配成（x+?。?ri的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二

次方程的方法叫配方法.

（2）用配方法解一元二次方程的步驟：

①把原方程化為辦2+—+。=0（aWO）的形式；

②方程兩邊同除以二次項系數(shù)，使二次項系數(shù)為1,并把常數(shù)項移到方程右邊；

③方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；

④把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；

⑤如果右邊是非負(fù)數(shù),就可以進(jìn)一步通過直接開平方法來求出它的解,如果右邊是一個負(fù)數(shù)，

則判定此方程無實數(shù)解.

8.根的判別式

利用一元二次方程根的判別式(△=房-4改)判斷方程的根的情況.

一元二次方程〃/+法+c=0(a#0)的根與△=序-4ac有如下關(guān)系：

①當(dāng)△>?時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；

②當(dāng)△=()時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；

③當(dāng)AVO時，方程無實數(shù)根.

上面的結(jié)論反過來也成立.

9.根與系數(shù)的關(guān)系

(1)若二次項系數(shù)為1,常用以下關(guān)系：