2023屆高考數(shù)學(xué)二輪精講三角與向量第2講三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)含解析

Page1第2講三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)知識(shí)與方法本專題主要知識(shí)為三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù).三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的基礎(chǔ)是正弦曲線,關(guān)鍵是利用其圖象來理解、認(rèn)識(shí)性質(zhì),并要掌握好“五點(diǎn)法”作圖;對(duì)函數(shù)圖象的研究,教材采取先討論某個(gè)參數(shù)對(duì)圖象的影響(其余參數(shù)相對(duì)固定),再整合成完整的問題解決的方法安排內(nèi)容.1.會(huì)用“五點(diǎn)法”作正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖,能借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)(周期性、奇偶性、單調(diào)性、最大值和最小值等);能借助正切線討論正切函數(shù)的性質(zhì)(周期性、奇偶性、單調(diào)性、值域等),理解利用正切線畫出正切曲線.能從圖象變換的觀點(diǎn)畫函數(shù)圖象,用變量代換的觀點(diǎn)討論函數(shù)的性質(zhì).(1)“五點(diǎn)法”作圖的關(guān)鍵在于抓好三角函數(shù)中的兩個(gè)最值點(diǎn),三個(gè)平衡位置(點(diǎn));（2）對(duì)周期函數(shù)與周期定義中的“當(dāng)取定義域內(nèi)每一個(gè)值時(shí)”,要特別注意“每一個(gè)值”的要求;(3)正切曲線是被相互平行的直線所隔開的無數(shù)支曲線組成的,正切曲線的對(duì)稱中心坐標(biāo)為.2.對(duì)于函數(shù),要注意以下幾點(diǎn).(1)會(huì)用“五點(diǎn)法”作函數(shù)的圖象.(2)理解并掌握函數(shù)圖象和函數(shù)圖象的變換關(guān)系,通常為:相位(平移)變換→周期變換→振幅變換.具體:注意,若周期變換在前,則一般公式為 .(3)當(dāng)函數(shù)表示一個(gè)振動(dòng)量時(shí),叫做振?,叫做周期,叫做頻率,叫做相位,叫做初相.一般結(jié)論:函數(shù)及函數(shù)(其中為常數(shù),且的周期.數(shù)形結(jié)合的思想方法貫穿了本專題的內(nèi)容,要熟練把握三角函數(shù)圖使的形狀特征,并能借典型例題【例1】求函數(shù)的定義域.【分析】將復(fù)合函數(shù)的定義域問題轉(zhuǎn)化為三角不等式問題求解,考慮用圖像或單位圓中三角函數(shù)線解決.【解析】利用的圖象(圖1)或單位圓(圖2)知:在一個(gè)周期內(nèi),滿足的解為,故所求函數(shù)的定義域?yàn)?圖1圖2【點(diǎn)睛】本題是求復(fù)合函數(shù)的定義域問題,應(yīng)先確定使二次根式、三角函數(shù)有意義的的取值范圍,易錯(cuò)誤提示：當(dāng)列出有關(guān)的式子時(shí),應(yīng)注意其中隱含的條件.如解,利用的圖象(圖3)或單位圓(圖4)得【例2】函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椤痉治觥勘绢}為含正切與余弦的三角函數(shù)在某一區(qū)間上求值域的問題,一般化為同角且同名的三角函數(shù),轉(zhuǎn)化為探討形如的式子在某一區(qū)間上的值域.【解析】由已知得.因?yàn)?所以,所以,所求值域?yàn)?【點(diǎn)睛】先利用三角函數(shù)公式將已知函數(shù)化為的形式,再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得所求的值域,解題時(shí)要注意定義域的范圍和的符號(hào).【例3】已知,則的最大值是_________.【分析】本題為由兩個(gè)不同角的三角函數(shù)關(guān)系，求解不同角、不同名、不同次函數(shù)的值域問題.一般解法為消元,根據(jù)已知條件將用表示,利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式將用表示,所求的式子昁般化為關(guān)于的二次式,其中整理得到,最后利用的取值范圍,結(jié)合二次函數(shù)圖象進(jìn)行求解.【解析】因?yàn)?所以.函數(shù).又因?yàn)?所以.當(dāng)時(shí),取最大值.【點(diǎn)睛】解本題主要利用了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、正角函數(shù)的有界性、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì).解題關(guān)鍵在于消元,將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次式,這里確定的取値范圍是一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn).事實(shí)上不成主,否則,矛盾.【例4】函數(shù)的值域是_________.【分析】令,借助的平方關(guān)系進(jìn)行換元,將三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù),由二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸和單調(diào)性求出最值.【解析】令,則.對(duì)平方,得,所以.所以,值域?yàn)?【點(diǎn)睛】三角函數(shù)運(yùn)算中和、差、積存在著密切的聯(lián)系.如等.在做題時(shí)要害于觀察,進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化.本題在換元時(shí),注意.【例5】函數(shù)的最大值是_______.【分析】本題涉及異名三角函數(shù)的分式型函數(shù),可用反解和三角函數(shù)的有界性求最大值;或用二倍角公式、萬能公式將正弦、余弦化為半角的正切,利用基本不等式求值;或用斜率的幾何?義求解.【解析】解法1：（反解與有界性)去分母可得,所以,故,其中.由三角函數(shù)的有界性知,所以,解得.故所求的最大值為.解法2：斜率的幾何意義)將化為,可看作動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率.易得在單位圓上,且,單位圓的圓心到直線的距離,可得.故所求的最大值為.解法3：(代數(shù)法)由得.令,可得.故所求的最大值為.解法4：(半角公式、萬能公式、基本不等式)因?yàn)?(分子分母同除以)要使函數(shù)最大,則.從而,當(dāng)且為當(dāng)時(shí)取等號(hào).故所求的最大值為.解法5：由【解析】4得,將其化為.當(dāng)時(shí),,成立;當(dāng)時(shí),,則,得.故所求的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查分式型函數(shù)最大值的求法,用到多種方法求解,體現(xiàn)代數(shù)、幾何的統(tǒng)一.【例6】已知函數(shù),求：（1）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.(2)函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞減區(qū)間.【分析】本題研究三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),在求單調(diào)區(qū)間時(shí),一般將看作一個(gè)整體,將正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間代入求解,同時(shí)注意的符號(hào)對(duì)增減的影響.【解析】(1)原函數(shù)化為,求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間等價(jià)于求的單調(diào)遞增區(qū)間.令,解得.故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)函數(shù)的單調(diào)遞?區(qū)間與區(qū)間取交集即可.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,經(jīng)分析可得只能取0和.故在區(qū)間上的單調(diào)遞減區(qū)間為和.【點(diǎn)睛】解本題的關(guān)健是先把所給函數(shù)式化為標(biāo)準(zhǔn)形式,應(yīng)注意0,把看作一個(gè)整體,根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性列出不等式,求得函數(shù)的遞減區(qū)間的通解.若要求某一個(gè)區(qū)間上的單?區(qū)間,則對(duì)通解中的進(jìn)行取值,便可求得函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上的單調(diào)區(qū)間.【例7】已知函數(shù)的最小正周期為,則函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸方程是（） A. B. C. D. 【分析】本題已知函數(shù)的最小正周期,先利用周期性求得三角函數(shù)的【解析】式,再進(jìn)一步研究其圖象對(duì)稱軸方程的求法.【解析】1結(jié)合函數(shù)的周期公式,得,所以.由于函數(shù)在對(duì)稱軸處取到最值,將選項(xiàng)代人的【解析】式檢驗(yàn)即可,故選 C.【解析】2由【解析】1知.令,解得.所以直線是圖象的一條對(duì)稱軸,故選 C.【點(diǎn)睛】本題解題的關(guān)鍵是先由周期公式求得的值,再解決對(duì)稱軸問題.求解對(duì)稱軸方程有兩種方法:一種是直接求出對(duì)稱軸方程;另一種是根據(jù)對(duì)稱軸的特征(即對(duì)稱軸處的函數(shù)值為函數(shù)的最值)解決.同樣地,求解對(duì)稱中心也類似.【例8】若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,則實(shí)數(shù)______.【分析】三角函數(shù)的圖象直觀體現(xiàn)了三角函數(shù)的性質(zhì),主要特征是對(duì)稱性、值域和單調(diào)性.解決問題時(shí)應(yīng)先把三合函數(shù)的綜合表達(dá)式轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)式,再進(jìn)行處理.【解析】解法1：若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,則為最大值,即,解得.故填.解法2:若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,則,解得.故填.解法3：若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,則.又,即,解得.故填.【點(diǎn)睛】正弦函數(shù)在對(duì)稱軸處取到最值.解本題的關(guān)?是求的值,由圖象關(guān)于直線對(duì)稱得,從而求求的值,過程比較復(fù)雜.若換用特殊值點(diǎn)來求,小,注意,則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱;而與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.【例9】若函數(shù)對(duì)于任意,都有,則的最小值為（） A. B. C.1 D.2 【分析】本題考查三?函數(shù)定義,三角函數(shù)周期的求法,以及計(jì)算能力和理解能力.【解析】由題意知和分別為函數(shù)的最小值和最大值,故的最小值為函數(shù)的半周期.又周期,故的最小值為1.答案為.的最小值就是函數(shù)的半周期,求解即可.*一般地,函數(shù)的周期為和的最小公倍數(shù),但函數(shù)不是周期函數(shù),不存在周?.易錯(cuò)警示:考慮到的周期均為,則的周期為.此為錯(cuò)誤解法.【例10】已知函數(shù).(1)求它的振幅、周期和初相.(2)用“五點(diǎn)法”作出它的圖象.(3)的圖象可由的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到?【分析】熟悉三角函數(shù)圖象的特征,掌用“五點(diǎn)法”作圖不圖象變換.【解析】(1)的振幅為、周期為、初相為.(2)列表如下.所作圖象如下.(3)【解析】解法1：(先平移后伸縮)先將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得;再將橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?縱坐標(biāo)不變,得;最后將縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,橫坐標(biāo)保持不變,得.解法2：(先伸縮后平移)先將函數(shù)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?縱坐標(biāo)不變,得;再將圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得;最后將縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,橫坐標(biāo)保持不變,得.【點(diǎn)睛】本題主要考查的圖象,以“五點(diǎn)法”作圖求解最為方便,但必須清楚它的圖象與函數(shù)圖象問的關(guān)系,弄清怎樣由函?圖象變換得到.要注意,在不同的變換中順序可以不同,平移的單位長(zhǎng)度可能不同.【例11】已知函數(shù)的一個(gè)周期的圖象如圖所示.(1)寫出解析式.(2)求該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程及對(duì)稱中心坐標(biāo).(3)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【分析】本題為已知函數(shù)的部分圖象求三角函數(shù)的解析式等問題.一般觀點(diǎn)(“五點(diǎn)法”)求.【解析】(1)由圖象知振幅,周期,所以,所以.代人初始點(diǎn),得.又,所以,函數(shù)的解析式為.(2)令,得,對(duì)稱軸方程為.令,得,對(duì)稱中心坐標(biāo)為.(3)令,得.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.令,得.所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.【點(diǎn)睛】由函數(shù)的圖象求函數(shù)的解析式,一般將“五點(diǎn)法”逆用求解,注意對(duì)影響,進(jìn)而由研究的性質(zhì).【例12】已知,且在區(qū)間上有最小值,無最大值,則________________.【分析】由三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)確定參數(shù)的值.【解析】因?yàn)樵趨^(qū)間上有最小值,無最大值,所以,故,所以.又直線為函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸,且,故,所以.結(jié)合知,.【點(diǎn)睛】由三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)確定參數(shù)的值,注意區(qū)間范圍.【例13】設(shè)函數(shù),則在下列區(qū)間上,函數(shù)不存在零點(diǎn)的是（）A.B.C.D.【分析】由三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)確定方程的根或零點(diǎn).【解析】解法1：畫出函數(shù)與的圖象,它們?cè)趨^(qū)間上沒有交點(diǎn).故選A.解法2：考慮方程在指定區(qū)間上是否有解.令,則.考慮方程在區(qū)間上是否有解.作圖發(fā)現(xiàn)函數(shù)和的圖象在區(qū)間上無交點(diǎn),從而方程在區(qū)間上無解.故選A.【點(diǎn)睛】將求方程的根變換為求和圖象的交點(diǎn).強(qiáng)化訓(xùn)練求函數(shù)的定義域.【解析】定義域?yàn)橛傻媒堑慕K邊位于圖中的軸下方;由得角的終邊位于圖中的陰影部分(包含).在函數(shù)的一個(gè)周期內(nèi),滿足以上兩個(gè)條件的的范圍是.故定義域?yàn)榛?.已知的最大值為,最小值為,求實(shí)數(shù)與的值.【解析】當(dāng)時(shí),因?yàn)榈淖畲笾禐?、最小值?所以,解得.當(dāng)時(shí),因?yàn)榈淖畲笾禐椤⒆钚≈禐?所以,解得.當(dāng)時(shí),不滿足條件.綜上所述,或.已知,則的最大值為_______,最小值為___________.【答案】【解析】由得所以.由于,由已知條件知,所以,故函數(shù)的值域是________.【答案】【解析】令,則.因?yàn)?所以,,則.對(duì)平方得,所以.所以,值域?yàn)?函數(shù)的值域是________.【答案】【解析】解法(反解表示與有界性)去分母可得,即.由三角函數(shù)的有界性知,,整理得,解得.故值域是.解法2：(常數(shù)分離法)函數(shù).因?yàn)?所以,,則.故值域是.已知是正數(shù),函數(shù)在區(qū)號(hào)上是增函數(shù),求的取值范圍.【解析】解法函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),故且,從而.解法2：由題意知.因?yàn)?所以即故.7.若函數(shù)是偶函數(shù),則等于（） A. B. C. D. 【答案】C【解析】為偶函數(shù),函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,則.又,得.故選C.8.若函數(shù)為常數(shù),在處取得最小值,則函數(shù)是（） A.偶函數(shù),且它的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B.偶函數(shù),且它的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 C.奇函數(shù),且它的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D.奇函數(shù),且它的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)圖象的對(duì)稱軸是直線,則,得,所以.所以為奇函數(shù)且其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.故選C9.為了使函數(shù)在區(qū)間上至少出現(xiàn)50次最大值,則的最小值是________.【答案】【解析】至少需要個(gè)周期,即.10.已知是實(shí)數(shù),則函數(shù)的圖像不可能是（）【答案】D【解析】對(duì)于選項(xiàng),可得振幅,則周期;對(duì)于選項(xiàng),可得當(dāng)振幅時(shí),周期;對(duì)于選項(xiàng),可得,圖象符合;選項(xiàng)不符合要求,它的振幅,則,但周期反而大于了.故選D.11.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示,則__________. A.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 C.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 【分析】本題為已知三角函數(shù)與,研究?jī)烧邎D象間的變換問的