2021年湖南高考數(shù)學(xué)試卷

2021年湖南高考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的。

1.(★)(5分)設(shè)集合A={x|-2<x<4},B={2,3,4,5),則ACIB=()

A.⑵B.(2,3}C.[314}D.⑵3,4}

2.(★)(5分)已知z=2-i,則z(z+i)二()

A.6-2iB.4-2iC?6+2iD.4+2i

3.(★)(5分)已知圓錐的底面半徑為調(diào),其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓,則該圓錐的母線長(zhǎng)

為()

A.2B.2^2C.4D.45/2

4.(★★)(5分)下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)=7sin(x-單調(diào)遞增的區(qū)間是()

A.(0,§B.俳n)C.(n,竽)D.(蕓2TT)

0=1

5.(★★)(5分)已知F1,F?是橢圓C:卷+的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)M在C上，則|MF

/?IMF21的最大值為()

A.13B.12C.9D.6

6.(★★)(5分)若tan0h2,則嚅鬻=()

A6n2八26

BCD.

A--5?~5-55

7.(★★★)(5分)若過(guò)點(diǎn)(a,b)可以作曲線y=e"的兩條切線，則()

A.eb<aB.ea<bC.0<a<eD.0<b<ea

8.(★★)(5分)有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機(jī)取

兩次，每次取1個(gè)球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1",乙表示事件“第二次取出

的球的數(shù)字是2”，丙表示事件"兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球

的數(shù)字之和是7"，則()

A.甲與丙相互獨(dú)立B.甲與丁相互獨(dú)立

C.乙與丙相互獨(dú)立D.丙與丁相互獨(dú)立

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得。分。

9.(★★)(5分)有一組樣本數(shù)據(jù)xx3…，x由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)yI,y

2,y?,其中yi=xi+c(i=l,2,n),c為非零常數(shù)，則()

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同

B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同

D,兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同

10.(★★)(5分)已知0為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)Pi(cosa,sina),P2(cosP，-sinP),P3

(cos(a+P),sin(a+p)),A(1,0),則()

A.OP^\=\OP[B.AP\\^\AP^\

沙i卜》

C,II,II*II*hII*II*II*

OAOP3=OPl-OP2D.04'OP^OP^OPj

11.(★★★)(5分)已知點(diǎn)P在圓(x-5)2+(y-5)2=16上，點(diǎn)A(4,0),B(0,2),

則()

A.點(diǎn)P到直線AB的距離小于10

B.點(diǎn)P到直線AB的距離大于2

C.當(dāng)NPBA最小時(shí),PB|=3V2

D.當(dāng)1PBA最大時(shí),PB|=3V2

12.(★★★★)(5分)在正三棱柱ABC-AiB,C沖，AB=AA產(chǎn)1,點(diǎn)P滿足勵(lì)=入處+日

研其中入6[0,1],HG[O,1],則()

A.當(dāng)人=1時(shí)，AABF的周長(zhǎng)為定值

B.當(dāng)口=1時(shí)，三棱錐P-ABC的體積為定值

C.當(dāng)入=；時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得AFLBP

D.當(dāng)U弓時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得AB，平面ABT

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(★★)(5分)已知函數(shù)f(x)=x3(a?2-2x)是偶函數(shù)，則a=_J_.

14.(★★★)(5分)已知0為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：y?=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,P為C上

一點(diǎn)，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點(diǎn)，且PQLOP.若|FQ|=6,則C的準(zhǔn)線方程為x=-

3

2-,

15.(★★★)(5分)函數(shù)f(x)=|2xT|-21nx的最小值為_(kāi)1_.

16.(★★★)(5分)某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會(huì)沿紙的某條對(duì)稱

軸把紙對(duì)折.規(guī)格為20dmx12dm的長(zhǎng)方形紙，對(duì)折1次共可以得到10dmxl2dm,20dmx6dm兩種

規(guī)格的圖形，它們的面積之和Si=240dm；對(duì)折2次共可以得到5dmxl2dm,lOdmx6dm,

20dmx3dm三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和Sz=180dm；以此類(lèi)推.則對(duì)折4次共可以得到

不同規(guī)格圖形的種數(shù)為_(kāi)5_；如果對(duì)折n次，那么￡S后_240(3-中)_dm2.

k=l2

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

,a?+l?〃為奇數(shù)，

17.(★★★)(10分)已知數(shù)列｛a“｝滿足ai=l,a*I由,小拓

<a”+2,”為偶數(shù).

(1)記b產(chǎn)a2?,寫(xiě)出bI,b2,并求數(shù)列｛b0｝的通項(xiàng)公式；

(2)求｛aJ的前20項(xiàng)和.

18.(★★)(12分)某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A,B兩類(lèi)問(wèn)題.每位參加比賽

的同學(xué)先在兩類(lèi)問(wèn)題中選擇一類(lèi)并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；

若回答正確則從另一類(lèi)問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)

束.A類(lèi)問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得20分，否則得0分；B類(lèi)問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得

80分，否則得0分.

已知小明能正確回答A類(lèi)問(wèn)題的概率為0.8,能正確回答B(yǎng)類(lèi)問(wèn)題的概率為0.6,且能正確回答

問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān).

(1)若小明先回答A類(lèi)問(wèn)題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；

(2)為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類(lèi)問(wèn)題？并說(shuō)明理由.

19.(★★★)(12分)記aABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知b：ac,點(diǎn)D

在邊AC上，BDsinZABC=asinC.

(1)證明：BD=b；

(2)若AD=2DC,求cos2ABC.

20.(★★★)(12分)如圖，在三棱錐A-BCD中，平面ABD_L

平面BCD,AB=AD,0為BD的中點(diǎn).

(1)證明：0A1CD；

(2)若AOCD是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱AD上，DE=2EA,且二面角E-BC-D的大小為

45°,求三棱錐A-BCD的體積.

21.(★★★)(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)F,(-^17,0),F2(E,0),

點(diǎn)M滿足|MF,|-|MF)=2.記M的軌跡為C.

(1)求C的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)T在直線x=g上，過(guò)T的兩條直線分別交C于A,B兩點(diǎn)和P,Q