高等數(shù)學(xué)-不定積分

不定積分求原來那個函數(shù)的問題.已知某曲線的切線斜率為2x,

本章研究微分運(yùn)算的逆運(yùn)算已會求已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分的運(yùn)算.解決相反的問題,就是已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分,例如某質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動,已知運(yùn)動速度函數(shù)

求路程函數(shù).常要求此曲線的方程.1.2.不定積分.

indefiniteintegral1第一節(jié)不定積分的概念與性質(zhì)原函數(shù)與不定積分的概念基本積分公式不定積分的性質(zhì)小結(jié)思考題作業(yè)

indefiniteintegral第四章不定積分2一、原函數(shù)與不定積分的概念幾何問題解例設(shè)曲線方程上任一點(diǎn)的切線斜率都等于切點(diǎn)處橫坐標(biāo)的兩倍,求曲線的方程.設(shè)曲線方程為滿足此條件的函數(shù)有無窮多個,如等都是.一般,所求曲線方程為C為任意常數(shù).不定積分的概念與性質(zhì)3定義1例1.原函數(shù)如果在區(qū)間I上,則稱或原函數(shù).一個或由知是原函數(shù).也是的原函數(shù),其中為任意常數(shù).不定積分的概念與性質(zhì)4一般,的原函數(shù)(C為任意常數(shù)).因一個函數(shù)如果有原函數(shù),就有無窮多個.在區(qū)間I上的一個在區(qū)間I上的任一原函數(shù)都其中C為某一常數(shù).則定理定理表明:的一整族函數(shù)形如是f(x)的全部原函數(shù).原函數(shù),

結(jié)論

的形式,不定積分的概念與性質(zhì)可表為5故證的另一個原函數(shù),則又只要找到f(x)的一個原函數(shù),就知道它的全部原函數(shù).在區(qū)間I上的一個原函數(shù),則f(x)在區(qū)間I上的任一原函數(shù)都可表為其中C為某一常數(shù).定理的形式,要證常數(shù)因?yàn)椴欢ǚe分的概念與性質(zhì)導(dǎo)數(shù)恒為零的函數(shù)必為常數(shù)某個常數(shù)6積分變量積分常數(shù)被積函數(shù)定義2被積表達(dá)式2.不定積分不定積分.(1)定義全部原函數(shù)的一般表達(dá)式稱為函數(shù)f(x)的

總和(summa)記為不定積分的概念與性質(zhì)積分號71.被積函數(shù)是原函數(shù)的導(dǎo)數(shù),被積表達(dá)式是原函數(shù)的微分.2.不定積分表示那些導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)的所或說其微分等于被積表達(dá)式的所有函數(shù).有函數(shù).因此絕不能漏寫積分常數(shù)C.3.求已知函數(shù)的原函數(shù)或不定積分的運(yùn)算稱

為積分運(yùn)算,它是微分運(yùn)算的逆運(yùn)算.不定積分的概念與性質(zhì)8例求解解例

?不定積分的概念與性質(zhì)9(2)不定積分的幾何意義積分曲線稱為的積分曲線.的圖形向平行于y軸的方向任意上下移動,得出的無窮多條曲線,稱為的圖形是平面的一條曲線,是將曲線族.不定積分的概念與性質(zhì)10

由于不論常數(shù)C取何值,同一x處其導(dǎo)數(shù)等于f(x),各切線相互平行.有積分曲線族即x不定積分的概念與性質(zhì)11不定積分的概念與性質(zhì)解故所求曲線方程為(3)積分常數(shù)的確定求通過點(diǎn)且其切線斜率為2x曲線.例

在求原函數(shù)的實(shí)際問題中,有時要從全部原函數(shù)中確定出所需要的具有某特性的一個原函數(shù),這時應(yīng)根據(jù)這個特性確定常數(shù)C的值,從而找出需要的原函數(shù).的曲線族為有12解例所以不定積分的概念與性質(zhì)13（原函數(shù)存在定理）連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).則它必有原函數(shù).(4)原函數(shù)存在問題定理2哪些函數(shù)有原函數(shù)?又如何求其原函數(shù)?不定積分的概念與性質(zhì)原函數(shù)是否必為連續(xù)函數(shù)?14

由不定積分的定義

結(jié)論微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是如(1)或或互逆的.二、不定積分的性質(zhì)不定積分的概念與性質(zhì)15證等式成立.（此性質(zhì)可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況）(2)(2)，(3)稱為線性性質(zhì).

思考:k=0,等式是否成立?(3)不定積分的概念與性質(zhì)16實(shí)例啟示能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式結(jié)論

要判斷一個不定積分公式是否正確,只要將右端的函數(shù)求導(dǎo),看是否等于被積函數(shù).求導(dǎo)公式?積分公式.?三、基本積分公式不定積分的概念與性質(zhì)積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，17基本積分公式(k是常數(shù))說明：簡寫為不定積分的概念與性質(zhì)18不定積分的概念與性質(zhì)19熟記不定積分的概念與性質(zhì)20例求積分解出一些簡單函數(shù)的不定積分,稱為利用不定積分的性質(zhì)和基本積分公式,可求由公式直接積分法.不定積分的概念與性質(zhì)21例求積分解不定積分的概念與性質(zhì)22例求積分解不定積分的概念與性質(zhì)23例求積分解

稱為分項(xiàng)積分法.分項(xiàng)積分法

利用線性性質(zhì)計(jì)算積分,上兩例是將被積函數(shù)作恒等變形,不定積分的概念與性質(zhì)24例求積分解不定積分的概念與性質(zhì)

以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行恒等變形,才能使用基本積分表.25解例

不定積分的概念與性質(zhì)26解所求曲線方程為不定積分的概念與性質(zhì)已知一曲線y=f(x)在點(diǎn)(x,f(x))處的切線例斜率為且此曲線與y軸的交點(diǎn)為(0,5),求此曲線的方程.xxxysinsecdd2+=Q27練習(xí)不定積分的概念與性質(zhì)28練習(xí)不定積分的概念與性質(zhì)29熟記基本積分公式不定積分的性質(zhì)

原函數(shù)的概念不定積分的概念求微分與求積分的互逆關(guān)系四、小結(jié)不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的幾何意義30應(yīng)先將絕對值符號化掉,即將|x|化作分段函數(shù):不定積分的概念與性質(zhì)思考題解所以上連續(xù)由于這個分段函數(shù)在,),(+￥-￥.原函數(shù)存在31因此在x=0處必連續(xù),由于原函數(shù)可導(dǎo),所以原函數(shù)必定連續(xù),于是有不定積分的概念與性質(zhì)32作業(yè)習(xí)題4-1(190頁)

1.(4)(10)(14)(18)(20)(21)(24)(26)3.4.不定積分的概念與性質(zhì)33與它們對應(yīng)的是本節(jié)和基本積分法復(fù)合函數(shù)微分法和乘積的微分.在積分運(yùn)算中,(兩種).微分運(yùn)算中有兩個重要法則:

下節(jié)的換元積分法和分部積分法第四章不定積分34第二節(jié)換元積分法第一換元積分法第二換元積分法小結(jié)思考題作業(yè)integrationbysubstitution第四章不定積分35解決方法將積分變量換成令?因?yàn)橐?、第一換元積分法換元積分法36定理第一類換元公式（湊微分法）證可導(dǎo),則有換元公式設(shè)具有原函數(shù),注

“湊微分”的主要思想是:將所給出的積分湊成積分表里已有的形式,合理選擇是湊微分的關(guān)鍵.換元積分法37第一換元積分法若遇到積分不易計(jì)算時,通過變換化為不定積分

來計(jì)算,積分后再將代入.換元積分法38例求法一

法二解換元積分法39

法三

同一個積分用不同的方法計(jì)算,可能得到表面上不一致的結(jié)果,但是實(shí)際上都表示同一族函數(shù).注換元積分法40例求解換元積分法41練習(xí)

對第一換元積分法熟練后,可以不再寫出中間變量.注換元積分法42例

解解練習(xí)換元積分法43小結(jié)常見的湊微分類型有換元積分法44小結(jié)換元積分法45練習(xí)換元積分法46例求解換元積分法47例求解換元積分法48例

解

換元積分法49且有很大的靈活性,加一項(xiàng)減一項(xiàng)、可通過三角恒等變換、一個因子等方法，第一換元積分法是不定積分的基礎(chǔ)，代數(shù)運(yùn)算、上，下同除以使積分變得易求.大體可分成兩類換元積分法1.某些有理函數(shù)和其他函數(shù)2.某些三角函數(shù)50例求解1.某些有理函數(shù)和其他函數(shù)換元積分法51例求解法一換元積分法52法二換元積分法53例

解原式=換元積分法54例求解換元積分法隱湊55例求原式解換元積分法56例

解原式=2.某些三角函數(shù)換元積分法57例求解（使用了三角函數(shù)恒等變形）分步湊法一換元積分法58類似可推出法二換元積分法59例求解換元積分法60例求解湊微分;用倍角公式降冪,再積分.

注換元積分法61例求解

不同角度的正弦、余弦之積的積分常用積化和差公式來化簡.注換元積分法62例求解換元積分法63例求解換元積分法64解令對此類題,一般可用下列各種解法法一思考題1換元積分法65法二令則換元積分法它是函數(shù)此方法中應(yīng)注意的涵義,66求解

思考題2換元積分法原式=67作業(yè)習(xí)題4-2(204頁)

2.雙數(shù)至(32)換元積分法68二、第二換元積分法有根式解決方法

消去根式,困難即則

回代換元積分法69對積分作變換有公式第二類換元公式第二換元積分法不易計(jì)算時,可作適當(dāng)變換化為不定積分積分后再將若積分

計(jì)算,代入.換元積分法70例求解令輔助三角形

回代換元積分法71例求解令

回代輔助三角形換元積分法72通過變換利用相應(yīng)的三角變換,相仿地,可算出還可得到重要公式換元積分法73注以上幾例所使用的均為三角代換的目的當(dāng)被積函數(shù)中含有令令令雙曲代換

回代時,一定要借助輔助三角形.三角代換.是化掉根式.一般規(guī)律:雙曲函數(shù)的恒等式換元積分法74例

（三角代換很繁瑣）令解

回代換元積分法75三角代換(或雙曲代換)注需根據(jù)被積函數(shù)的情況來定.積分中為了化掉根式是否一定采用并不是絕對的,換元積分法76例求解令法一原式=

回代換元積分法77法二原式=回代換元積分法78例求解令回代換元積分法79例

令解法一回代換元積分法倒代換注可用來消去分母中的變量.一些情況下(如被積函數(shù)是分式,分母的方冪較高時),80法二回代還有別的方法嗎？換元積分法81法三換元積分法82如:倒代換對如下形式都適用.換元積分法83例求解令（分母的階較高）換元積分法84回代換元積分法85為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)）注當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式時，可采用令（其中換元積分法86例令解換元積分法87基本積分表(2)換元積分法88希自己添加!換元積分法89練習(xí)解換元積分法90

下列各題求積方法有何不同?思考題換元積分法91兩類換元積分法湊微分三角代換、倒代換、根式代換熟記基本積分表(2)三、小結(jié)換元積分法第一換元積分法:第二換元積分法:92解{換元積分法思考題求積分93作業(yè)習(xí)題4-2(205頁)

2.單數(shù)(33)--(39),(40)換元積分法94第三節(jié)分部積分法分部積分公式例題小結(jié)思考題作業(yè)integrationbyparts第四章不定積分95解決思路利用兩個函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則.分部積分公式???特點(diǎn)被積函數(shù)是兩個不同函數(shù)的乘積具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).兩邊積分一、分部積分公式分部積分法96

恰當(dāng)選取u和dv是一個關(guān)鍵,v要易求;分部積分公式選取u和dv的一般原則是:(1)(2)易求.分部積分法97例求解顯然,法一法二二、例題選擇不當(dāng),積分更難進(jìn)行.分部積分法98例求解（再次使用分部積分法）分部積分法99分部積分法100例求解?分部積分法101例求解

化簡型分部積分法102注利用可把的積分化為分部積分法103分部積分法例求解注意循環(huán)形式uudvuudv

應(yīng)用分部積分法時,可不明顯地寫出如何選取u、dv,而直接套用公式.(對較簡單的情況)104注意前后幾次所選的應(yīng)為同類型函數(shù).分部積分法105例求解udv

循環(huán)型分部積分法106

使用分部積分法的關(guān)鍵是正確地選取(因?yàn)椤皟缛浮焙梅e,分部積分法把被積函數(shù)視為兩個函數(shù)的乘積,按“反對冪三指”的順序,前者為后者為常用的方法:自己簡單.)小結(jié)“反對”的導(dǎo)數(shù)比它107有時在用分部積分之前,須先變形.例求解分部積分法108分部積分法2002年考研數(shù)學(xué)三,6分解令則有于是練習(xí)在積分過程中常常兼用各種積分法.109曾用換元積分做過,現(xiàn)可用分部積分做!例u分部積分法110dvu

利用分部積分法可以得到一些遞推公式:例試證遞推公式

證由分部積分法得分部積分法111由此推出分部積分法112

利用這個遞推公式及公式

遞推型如遞推型

遞推公式,雖然積分沒有具體求出來,但每用一次公式n就降低一次至兩次,連續(xù)應(yīng)用.分部積分法113練習(xí)解試比較一下哪種做法簡單.分部積分法114分部積分公式1.原則:2.

經(jīng)驗(yàn):3.題目類型

:化簡型;循環(huán)型;遞推型.三、小結(jié)分部積分法v要易求;易求.“反對冪三指”的順序,前為后為115兩邊同時對x求導(dǎo)，得分部積分解分部積分法思考題,)(2xexf-的一個原函數(shù)為已知ò￠xxfxd)(求ò-=xxfxfxd)()(116作業(yè)習(xí)題4-3(210頁)

4.5.7.9.10.18.19.20.21.分部積分法117第四節(jié)有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分小結(jié)思考題作業(yè)可化為有理函數(shù)的積分舉例rationalfunction第四章不定積分118基本積分法:

換元積分法;分部積分法初等函數(shù)求導(dǎo)初等函數(shù)積分例如,下列函數(shù)積分都不是初等函數(shù)直接積分法;在概率論、數(shù)論、光學(xué)、傅里葉分析等領(lǐng)域有重要應(yīng)用的積分,都屬于“積不出”的范圍.119有理函數(shù)的定義兩個多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)稱之.有理函數(shù)的積分一、有理函數(shù)的積分假定分子與分母之間沒有公因式真分式;假分式.nnnaxaxa+++-L110mmmbxbxb+++-L110120例多項(xiàng)式的積分容易計(jì)算.真分式的積分.只討論:多項(xiàng)式真分式有理函數(shù)的積分有理函數(shù)相除多項(xiàng)式+真分式分解若干部分分式之和121

對一般有理真分式的積分,代數(shù)學(xué)中下述定理起著關(guān)鍵性的作用.定理有理函數(shù)的積分122部分分式(最簡分式).有理函數(shù)的積分123

用此定理有理函數(shù)的積分就易計(jì)算了.且由下面的例題可看出:

有理函數(shù)的積分是初等函數(shù).注系數(shù)的確定,一般有三種方法:(1)等式兩邊同次冪系數(shù)相等;(2)賦值;(3)求導(dǎo)與賦值結(jié)合使用.有理函數(shù)的積分124例求解由多項(xiàng)式除法,有

說明:當(dāng)被積函數(shù)是假分式時,應(yīng)把它分為一個多項(xiàng)式和一個真分式,分別積分.假分式有理函數(shù)的積分125例求解

比較系數(shù)

因式分解有理函數(shù)的積分126有理函數(shù)的積分127代入特殊值來確定系數(shù)取取取并將值代入例求解(1)(1)

賦值有理函數(shù)的積分128于是有理函數(shù)的積分129例求解

比較系數(shù)

二次質(zhì)因式有理函數(shù)的積分130有理函數(shù)的積分131注任意有理真分式的不定積分都?xì)w納為下列其中A,B,a,p,q都為常數(shù),

分別討論上述幾種類型的不定積分.并設(shè)四種典型部分分式的積分之和.n為大于1的正整數(shù).有理函數(shù)的積分132有理函數(shù)的積分133有理函數(shù)的積分134有理函數(shù)的積分135有理函數(shù)的積分136用遞推公式有理函數(shù)的積分137應(yīng)重點(diǎn)提高計(jì)算的(1)部分分式法;此法一般運(yùn)算較繁.(2)拆項(xiàng)法;(分項(xiàng)積分法)(3)換元法;(4)配方法.有理函數(shù)積分是三角函數(shù)有理式積分、無理函數(shù)積分的基礎(chǔ),熟練程度和技巧,一般有以下方法:有理函數(shù)的積分138例求分析解原式=

分項(xiàng)

湊微分從理論上看,可用部分分式法,但計(jì)算復(fù)雜,故不宜輕易使用,應(yīng)盡量考慮其它方法.

約去公因子有理函數(shù)的積分

配方139

例求解原式=這是有理函數(shù)的積分.如按部分分式法很麻煩.使分母為單項(xiàng),作變換分析分母是100次多項(xiàng)式,如作一個適當(dāng)?shù)淖儞Q,而分子為多項(xiàng),除一下,化為和差的積分.有理函數(shù)的積分140或

分項(xiàng)有理函數(shù)的積分141技巧有理函數(shù)的積分

例求解原式=142例求解是二次質(zhì)因式,原式=遞推公式法一不能再分解.有理函數(shù)的積分143

求解原式=回代遞推公式法二有理函數(shù)的積分144

求解令練習(xí)指數(shù)代換有理函數(shù)的積分145有理函數(shù)的積分146

求

求

求練習(xí)有理函數(shù)的積分147三角有理式的定義：

由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)稱之.一般記為如有理函數(shù)的積分二、可化為有理函數(shù)的積分舉例1.三角函數(shù)有理式的積分和分部積分法討論過一些.對于三角函數(shù)有理式的積分,曾用換元法

是否任何一個三角函數(shù)有理式的積分都有原函數(shù)

回答是肯定的.?148

由三角學(xué)知識可通過變換事實(shí)上,由半角變換(或稱萬能代換）則表示.化為有理函數(shù)的積分.有理函數(shù)的積分149u的有理函數(shù)有理函數(shù)的積分150例求解由萬能代換有理函數(shù)的積分151回代有理函數(shù)的積分152例求解法一回代有理函數(shù)的積分153

法二修改萬能代換公式令有理函數(shù)的積分說明及的有理式的積分時,更方便.用代換通常求含154

法三不用萬能代換公式

比較以上三種解法,便知萬能代換不一定是最佳方法,故三角有理式的計(jì)算中先考慮其它手段,不得已才用萬能代換.結(jié)論有理函數(shù)的積