高考數(shù)學(xué)(考點(diǎn)解讀-命題熱點(diǎn)突破)專題03-不等式與線性規(guī)劃-文

PAGEPAGE9專題03不等式與線性規(guī)劃文【考向解讀】不等式的性質(zhì)、求解、證明及應(yīng)用是每年高考必考的內(nèi)容，對(duì)不等式的考查一般以選擇題、填空題為主.(1)主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值及線性規(guī)劃求最值；(2)不等式相關(guān)的知識(shí)可以滲透到高考的各個(gè)知識(shí)領(lǐng)域，往往作為解題工具與數(shù)列、函數(shù)、向量相結(jié)合，在知識(shí)的交匯處命題，難度中檔；在解答題中，特別是在解析幾何中求最值、范圍或在解決導(dǎo)數(shù)問題時(shí)經(jīng)常利用不等式進(jìn)行求解，但難度偏高.【命題熱點(diǎn)突破一】不等式的解法1．一元二次不等式的解法先化為一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相應(yīng)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根據(jù)相應(yīng)二次函數(shù)圖象與x軸的位置關(guān)系，確定一元二次不等式的解集．2．簡(jiǎn)單分式不等式的解法(1)eq\f(fx,gx)>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0)；(2)eq\f(fx,gx)≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.3．指數(shù)不等式、對(duì)數(shù)不等式及抽象函數(shù)不等式，可利用函數(shù)的單調(diào)性求解．例1、【2016高考新課標(biāo)1卷】若,則()（A）（B）（C）（D）【答案】C【感悟提升】(1)對(duì)于和函數(shù)有關(guān)的不等式，可先利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化；(2)求解一元二次不等式的步驟：第一步，二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)；第二步，解對(duì)應(yīng)的一元二次方程；第三步，若有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則利用“大于在兩邊，小于夾中間”得不等式的解集；(3)含參數(shù)的不等式的求解，要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論．【變式探究】(1)關(guān)于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集為(x1，x2)，且x2－x1＝15，則a＝________.(2)已知f(x)是R上的減函數(shù)，A(3，－1)，B(0,1)是其圖象上兩點(diǎn)，則不等式|f(1＋lnx)|<1的解集是________________．【答案】(1)eq\f(5,2)(2)(eq\f(1,e)，e2)【命題熱點(diǎn)突破二】基本不等式的應(yīng)用1.利用基本不等式求最值的注意點(diǎn)(1)在運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)，必須保證“一正，二定，三相等”，湊出定值是關(guān)鍵.(2)若兩次連用基本不等式，要注意等號(hào)的取得條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò).2.結(jié)構(gòu)調(diào)整與應(yīng)用基本不等式基本不等式在解題時(shí)一般不能直接應(yīng)用，而是需要根據(jù)已知條件和基本不等式的“需求”尋找“結(jié)合點(diǎn)”，即把研究對(duì)象化成適用基本不等式的形式.常見的轉(zhuǎn)化方法有(1)x＋eq\f(b,x－a)＝x－a＋eq\f(b,x－a)＋a(x>a).(2)若eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)＝1，則mx＋ny＝(mx＋ny)×1＝(mx＋ny)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)＋\f(b,y)))≥ma＋nb＋2eq\r(abmn)(字母均為正數(shù)).例2、【2016高考天津理數(shù)】設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（）（A） （B）6 （C）10 （D）17【答案】B【解析】可行域?yàn)橐粋€(gè)三角形ABC及其內(nèi)部，其中，直線過點(diǎn)B時(shí)取最小值6，選B.【感悟提升】在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤．【變式探究】(1)定義運(yùn)算“?”：x?y＝eq\f(x2－y2,xy)(x，y∈R，xy≠0)，當(dāng)x＞0，y＞0時(shí)，x?y＋(2y)?x的最小值為________.(2)函數(shù)y＝eq\f(\r(x－1),x＋3＋\r(x－1))的最大值為________.【答案】(1)eq\r(2)(2)eq\f(1,5)【點(diǎn)評(píng)】求條件最值問題一般有兩種思路：一是利用函數(shù)單調(diào)性求最值；二是利用基本不等式.在利用基本不等式時(shí)往往都需要變形，變形的原則是在已知條件下通過變形湊出基本不等式應(yīng)用的條件，即“和”或“積”為定值.等號(hào)能夠取得.【命題熱點(diǎn)突破三】簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題解決線性規(guī)劃問題首先要找到可行域，再注意目標(biāo)函數(shù)表示的幾何意義，數(shù)形結(jié)合找到目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最值時(shí)可行域的頂點(diǎn)(或邊界上的點(diǎn))，但要注意作圖一定要準(zhǔn)確，整點(diǎn)問題要驗(yàn)證解決．例3、【2016年高考北京理數(shù)】若，滿足，則的最大值為（）A.0B.3C.4D.5【答案】C【解析】作出如圖可行域，則當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，取最大值，而，∴所求最大值為4，故選C.【感悟提升】(1)線性規(guī)劃問題一般有三種題型：一是求最值；二是求區(qū)域面積；三是確定目標(biāo)函數(shù)中的字母系數(shù)的取值范圍．(2)一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得．【變式探究】若x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,x－y≤0，,x＋y－4≤0，))則eq\f(y,x)的最大值為________.【答案】3【高考真題解讀】1.【2016高考新課標(biāo)1卷】若,則()（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】用特殊值法，令，，得，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，，選項(xiàng)B錯(cuò)誤，，選項(xiàng)C正確，，選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選C．2.【2016高考天津理數(shù)】設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（）（A） （B）6 （C）10 （D）17【答案】B【解析】可行域?yàn)橐粋€(gè)三角形ABC及其內(nèi)部，其中，直線過點(diǎn)B時(shí)取最小值6，選B.3.【2016高考山東理數(shù)】若變量x，y滿足則的最大值是（）（A）4 （B）9 （C）10 （D）12【答案】C4.【2016高考浙江理數(shù)】在平面上，過點(diǎn)P作直線l的垂線所得的垂足稱為點(diǎn)P在直線l上的投影．由區(qū)域中的點(diǎn)在直線x+y2=0上的投影構(gòu)成的線段記為AB，則│AB│=（）A．2B．4C．3D．【答案】C【解析】如圖為線性區(qū)域，區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)在直線上的投影構(gòu)成了線段，即，而，由得，由得，．故選C．5.【2016年高考北京理數(shù)】若，滿足，則的最大值為（）A.0B.3C.4D.5【答案】C6.【2016年高考四川理數(shù)】設(shè)p：實(shí)數(shù)x，y滿足，q：實(shí)數(shù)x，y滿足則p是q的()（A）必要不充分條件（B）充分不必要條件（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件【答案】A【解析】畫出可行域（如圖所示），可知命題中不等式組表示的平面區(qū)域在命題中不等式表示的圓盤內(nèi)，故選A.7.【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】若滿足約束條件則的最大值為_____________.【答案】 8.【2016高考新課標(biāo)1卷】某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5個(gè)工時(shí)；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3個(gè)工時(shí)．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤(rùn)為2100元,生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤(rùn)為900元．該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg,乙材料90kg,則在不超過600個(gè)工時(shí)的條件下,生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤(rùn)之和的最大值為元．【答案】【解析】設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品、產(chǎn)品分別為、件,利潤(rùn)之和為元,那么 ①目標(biāo)函數(shù).二元一次不等式組①等價(jià)于 ②作出二元一次不等式組②表示的平面區(qū)域（如圖）,即可行域.將變形,得,平行直線,當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí),取得最大值.解方程組,得的坐標(biāo).所以當(dāng),時(shí),.故生產(chǎn)產(chǎn)品、產(chǎn)品的利潤(rùn)之和的最大值為元.9.【2016高考江蘇卷】已知實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是▲.【答案】1.(2015·重慶卷)“x＞1”是“l(fā)ogeq\s\do9(\f(1,2))(x＋2)＜0”的()A.充要條件 B.充分而不必要條件C.必要而不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由x＞1x＋2＞3logeq\s\do9(\f(1,2))(x＋2)＜0，logeq\s\do9(\f(1,2))(x＋2)＜0x＋2＞1x＞－1，故“x＞1”是“l(fā)ogeq\s\do9(\f(1,2))(x＋2)＜0”成立的充分不必要條件.因此選B.2.(2015·北京卷)若x，y滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y≤0，,x＋y≤1，,x≥0，))則z＝x＋2y的最大值為()A.0 B.1 C.eq\f(3,2) D.2【答案】D3.(2015·陜西卷)設(shè)f(x)＝lnx，0＜a＜b，若p＝f(eq\r(ab))，q＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))，r＝eq\f(1,2)(f(a)＋f(b))，則下列關(guān)系式中正確的是()A.q＝r＜p B.q＝r＞pC.p＝r＜q D.p＝r＞q【答案】C【解析】∵0＜a＜b，∴eq\f(a＋b,2)＞eq\r(ab)，又∵f(x)＝lnx在(0，＋∞)上為增函數(shù)，故feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))＞f(eq\r(ab))，即q＞p.又r＝eq\f(1,2)(f(a)＋f(b))＝eq\f(1,2)(lna＋lnb)＝eq\f(1,2)lna＋eq\f(1,2)lnb＝ln(ab)eq\s\up6(\f(1,2))＝f(eq\r(ab))＝p.故p＝r＜q.選C.4.(2015·全國(guó)Ⅰ卷)若x，y滿足約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,x－y≤0，,x＋y－4≤0，))則eq\f(y,x)的最大值為________.【答案】35.(2015·四川卷)如果函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))上單調(diào)遞減，那么mn的最大值為()A.16 B.18 C.25 D.eq\f(81,2)【答案】B6.(2015·山東卷)已知x，y滿足約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,x＋y≤2，,y≥0，))若z＝ax＋y的最大值為4，則a＝()A.3 B.2 C.－2 D.－3【答案】B【解析】不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示.易知A(2，0)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,x＋y＝2，))得B(1，1).由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z.∴當(dāng)a＝－2或a＝－3時(shí)，z＝ax＋y在O(0，0)處取得最大值，最大值為zmax＝0，不滿足題意，排除C，D選項(xiàng)；當(dāng)a＝2或3時(shí)，z＝ax＋y在A(2，0)處取得最大值，∴2a＝4，∴a＝2，排除A，故選B.7.(2015·天津卷)設(shè)x∈R，則“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A8.(2015·廣東卷)若變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋5y≥8，,1≤x≤3，,0≤y≤2，))則z＝3x＋2y的最小值為()A.eq\f(31,5) B.6 C.eq\f(23,5) D.4【答案】C【解析】不等式組所表示的可行域如下圖所示，由z＝3x＋2y得y＝－eq\f(3,2)x＋eq\f(z,2)，