一元二次方程及其解法

第2學(xué)時(shí)一元二次方程及其解法一·基本概念理解1一元二次方程的定義：含有一種未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程的普通形式：，它的特性是：等式左邊加一種有關(guān)未知數(shù)x的二次多項(xiàng)式，等式右邊是零，其中叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)，b叫做一次項(xiàng)系數(shù)；c叫做常數(shù)項(xiàng)。2、一元二次方程的解法（1）、直接開平辦法:運(yùn)用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的辦法叫做直接開平辦法。直接開平辦法合用于解形如的一元二次方程。根據(jù)平方根的定義可知，是b的平方根，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)b<0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。（2）、配辦法:配辦法的理論根據(jù)是完全平方公式，把公式中的a看做未知數(shù)x，并用x替代，則有。配辦法的環(huán)節(jié)：先把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，再把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1，再同時(shí)加上1次項(xiàng)的系數(shù)的二分之一的平方，最后配成完全平方公式（3）、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的辦法，它是解一元二次方程的普通辦法。一元二次方程的求根公式：公式法的環(huán)節(jié)：就把一元二次方程的各系數(shù)分別代入，這里二次項(xiàng)的系數(shù)為，一次項(xiàng)的系數(shù)為，常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為（4）、因式分解法因式分解法就是運(yùn)用因式分解的手段，求出方程的解的辦法，這種辦法簡(jiǎn)樸易行，是解一元二次方程最慣用的辦法。分解因式法的環(huán)節(jié)：把方程右邊化為0，然后看看與否能用提取公因式，公式法（這里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果能夠，就能夠化為乘積的形式、韋達(dá)定理若，是一元二次方程的普通形式：的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則，。以上的就稱為韋達(dá)定理（或稱為根與系數(shù)的關(guān)系）運(yùn)用韋達(dá)定理去理解，韋達(dá)定理就是在一元二次方程中，二根之和=，二根之積=也能夠表達(dá)為,。運(yùn)用韋達(dá)定理，能夠求出一元二次方程中的各系數(shù)，在題目中很慣用3、一元二次方程根的鑒別式根的鑒別式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的鑒別式，普通用“”來(lái)表達(dá)，即I當(dāng)△>0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；II當(dāng)△=0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)相似的實(shí)數(shù)根；III當(dāng)△<0時(shí)，一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根4、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，那么，。也就是說(shuō)，對(duì)于任何一種有實(shí)數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商。5、普通解一元二次方程，最慣用的辦法還是因式分解法，在應(yīng)用因式分解法時(shí)，普通要先將方程寫成普通形式，同時(shí)應(yīng)使二次項(xiàng)系數(shù)化為\t"C:\Users\Administrator\Desktop\知行教育\基礎(chǔ)運(yùn)算能力篇\有關(guān)資料\_blank"正數(shù)。直接開平辦法是最基本的辦法。公式法和配辦法是最重要的辦法。公式法合用于任何一元二次方程（有人稱之為萬(wàn)能法），在使用公式法時(shí)，一定要把原方程化成普通形式，方便擬定系數(shù)，并且在用公式前應(yīng)先計(jì)算根的鑒別式的值，方便判斷方程與否有解。配辦法是推導(dǎo)公式的工具，掌握公式法后就能夠直接用公式法解一元二次方程了，因此普通不用配辦法解一元二次方程。但是，配辦法在學(xué)習(xí)其它數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)有廣泛的應(yīng)用，是初中規(guī)定掌握的三種重要的\t"C:\Users\Administrator\Desktop\知行教育\基礎(chǔ)運(yùn)算能力篇\有關(guān)資料\_blank"數(shù)學(xué)辦法之一，一定要掌握好。（三種重要的數(shù)學(xué)辦法：\t"C:\Users\Administrator\Desktop\知行教育\基礎(chǔ)運(yùn)算能力篇\有關(guān)資料\_blank"換元法，配辦法，待定系數(shù)法）。二．例題解說(shuō)：例1：解一元二次方程（1）（2）（3）【例題解析】：（1）能夠運(yùn)用直接開辦法或運(yùn)用因式分解法或公式法；（2）能夠運(yùn)用配辦法或公式法或因式分解法；（3）能夠運(yùn)用配辦法或公式法或因式分解法。解：（1）a直接開辦法：b因式分解法：a配辦法：解：b公式法：使用該辦法首先要將方程轉(zhuǎn)化為，再精確找出該一元二次方程中的的值是做對(duì)該題的重要前提和確保。由題可知：因此辦法一：（配辦法）辦法二：（公式法）由題可知：因此：辦法三：（因式分解）注：在求一元二次方程的根之前，首先要將方程轉(zhuǎn)化成原則形式，再對(duì)它的的取值狀況進(jìn)行鑒定；最后再對(duì)求根的辦法進(jìn)行選用，如配方，公式，還是因式分解法，特別是配辦法的知識(shí)基礎(chǔ)是建立在完全平方公式：之上的。例2：用直接開辦法解一元二次方程(2)(3)(4)解析：（1）由題可知：由題可知：由題可知：（4）由題可知：注：求一元二次不等式的根辦法中，直接開辦法是最基礎(chǔ)的辦法?！揪氁痪殹浚河弥苯娱_平辦法解下列一元二次方程。（2）（3）（4）例3：用配辦法解一元二次方程（1）（2）（3）（4）解析：（1）由題可知：由題可知：由題可知：由題可知：注解：配辦法的知識(shí)基礎(chǔ)是建立在完全平方公式：之上的?！揪氁痪殹浚河门滢k法解下列一元二次方程。1、.2、3、4、5、6、7、8、例4：用公式法解一元二次方程（1）（2）（3）（4）解析（1）由題可知：因此：（2）由題可知：因此：（3）由題可知：因此：（4）由題可知：因此：注解：使用公式法求一元二次方程的根，要將方程轉(zhuǎn)化為的形式，再精確找出對(duì)應(yīng)的的值?！揪氁痪殹坑霉浇夥ń庀铝蟹匠?。1、2、3、4、5、6、7、8、例5：用因式分解法解一元二次方程（1）（2）（3）（4）解析：多項(xiàng)式因式分解的普通環(huán)節(jié)：先考慮能否提公因式，再考慮能否運(yùn)用公式或十字相乘法，最后考慮分組分解法．對(duì)于一種還能繼續(xù)分解的多項(xiàng)式因式仍然用這一環(huán)節(jié)重復(fù)進(jìn)行．以上環(huán)節(jié)可用口訣概括以下：“首先提取公因式，然后考慮用公式、十字相乘試一試，分組分解要適宜，四種辦法重復(fù)試，成果應(yīng)是乘積式”．對(duì)于用因式分解法求一元二次方程根的問(wèn)題，首先將方程轉(zhuǎn)化為或的形式，第一種形式再考慮用因式分解中十字相乘法，第二種形式就只需提取公因數(shù)（式）即可。（1）由題可知：因此后來(lái)做得非常純熟之后，其解答過(guò)程可直接寫成：從而方程的根就為（2）由題可知因此（3）由題可知：該題符合的形式，則只需提取公因式即可，故因此方程的根為（4）由題可知：首先將方程轉(zhuǎn)化為因此注解：要使用因式分解法求一元二次方程的根，首先將方程轉(zhuǎn)化為或的形式，第一種形式再考慮用因式分解中十字相乘法，第二種形式就只需提取公因數(shù)（式）即可。【練一練】用因式分解法解下列一元二次方程。1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、第1練一元二次方程及其解法用適宜的辦法解下列一元二次方程。1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、23、x2+4x-12=024、25、26、27、28、3x2+5(2x+1)=029、30、