第11講 等參單元

第6章等參單元等參變換的條件等參單元評(píng)價(jià)二十節(jié)點(diǎn)三維等參元簡(jiǎn)介平面八節(jié)點(diǎn)曲邊四邊形等參元平面四節(jié)點(diǎn)等參單元等參單元

§6.1引言第二是單元幾何上的限制，矩形和六面體（長(zhǎng)方體）單元要求單元的邊（面）平行于坐標(biāo)軸（面），因此都不能模擬任意形狀和方位的結(jié)構(gòu)。此外，線性單元都是直線邊界，處理曲邊界幾何體誤差較大?；仡櫱懊娴母鞣N二、三維單元，這些單元受到兩個(gè)方面的限制：第一是單元的精度，顯然單元的節(jié)點(diǎn)數(shù)越多，單元精度越高。因此在這一點(diǎn)上，矩形單元優(yōu)于3節(jié)點(diǎn)三角形單元，六面體單元優(yōu)于四面體單元；§6.1引言任意四邊形和任意六面體單元的位移模式、形函數(shù)的構(gòu)造和單元列式的導(dǎo)出不能沿用前面構(gòu)造簡(jiǎn)單單元的方法，必須引入所謂的等參變換，采用相同的插值函數(shù)對(duì)單元的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)和節(jié)點(diǎn)位移在單元上進(jìn)行插值。這種單元稱為等參單元。解決上述矛盾的出路就是突破矩形單元和六面體單元幾何上的限制，使其成為平面任意四邊形和空間任意六面體單元，如果再增加邊中間節(jié)點(diǎn)，還可以成為曲邊四邊形和曲面六面體高精度單元。等參單元的提出對(duì)于有限元法在工程實(shí)踐中的應(yīng)用具有重要意義?！?.2平面四節(jié)點(diǎn)等參單元1、局部坐標(biāo)系與位移模式建立位移模式時(shí)的新問題：如果直接用x，y坐標(biāo)系下的雙線性位移模式，由于任意四邊形單元的邊界與坐標(biāo)軸不平行，因此位移沿邊界呈二次函數(shù)變化，單元在公共邊界上不滿足協(xié)調(diào)性。下圖為一個(gè)4節(jié)點(diǎn)任意四邊形單元，單元有8個(gè)自由度。將矩形單元放松為4節(jié)點(diǎn)任意四邊形單元將帶來許多好處?！?.2平面四節(jié)點(diǎn)等參單元因此在任意四邊形單元上建立一種局部坐標(biāo)系ξ-η（如圖），使得4條邊上有一個(gè)局部坐標(biāo)為常數(shù)（±1），顯然，該局部坐標(biāo)系隨單元形狀變化，兩組坐標(biāo)線一般不正交。單元內(nèi)，所有點(diǎn)的坐標(biāo)ξ、η皆在-1與+1之間，四個(gè)節(jié)點(diǎn)的局部坐標(biāo)為+1或-1。該坐標(biāo)系也稱為自然坐標(biāo)系。建立了局部坐標(biāo)系后，在ξ-η平面內(nèi)單元就是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形?！?.2平面四節(jié)點(diǎn)等參單元稱ξ-η平面內(nèi)的正方形單元為基本單元或母單元。x-y平面內(nèi)的任意四邊形單元稱為實(shí)際單元或子單元。顯然，母單元的節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于不同的x，y坐標(biāo)就得到不同的任意四邊形單元。該局部坐標(biāo)系使得在x-y平面上的任意四邊形與ξ-η平面上的正方形之間形成了1-1對(duì)應(yīng)的映射。正方形的4個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)任意四邊形單元的四個(gè)節(jié)點(diǎn)；4條邊對(duì)應(yīng)任意四邊形單元的4條邊；正方形內(nèi)任一點(diǎn)p(ξ,η)對(duì)應(yīng)于任意四邊形內(nèi)一點(diǎn)p(x,y)?！?.2平面四節(jié)點(diǎn)等參單元建立了局部坐標(biāo)系或映射后，我們可以在ξ-η平面上的母單元中描述實(shí)際單元的位移模式和力學(xué)特性。任意四邊形單元在母單元中的位移模式插值公式（或者稱為ξ-η坐標(biāo)系下的位移模式）就是矩形單元的位移模式，寫為：(i=1,2,3,4)其中，形函數(shù)為：為i節(jié)點(diǎn)的局部坐標(biāo)。顯然該位移模式在ξ,η坐標(biāo)系下是雙線性位移模式，在x，y坐標(biāo)系下不是雙線性位移模式。由于實(shí)際單元的邊界上有一個(gè)局部坐標(biāo)為常數(shù)，因此位移沿單元邊界線性變化，能保證單元的協(xié)調(diào)性?！?.2平面四節(jié)點(diǎn)等參單元為了得到上述映射的數(shù)學(xué)表達(dá)式，在母單元上引入x，y坐標(biāo)插值的思想：母單元上任意一點(diǎn)在實(shí)際單元中對(duì)應(yīng)點(diǎn)的x，y坐標(biāo)由節(jié)點(diǎn)的x，y坐標(biāo)插值得到，并采用與位移插值相同的插值函數(shù)。從而得到一個(gè)數(shù)學(xué)變換式：(i=1,2,3,4)2、坐標(biāo)變換§6.2平面四節(jié)點(diǎn)等參單元上述映射是利用母單元描述實(shí)際單元力學(xué)特性的橋梁。由于該坐標(biāo)變換式中采用了與位移插值相同的節(jié)點(diǎn)和參數(shù)（插值函數(shù)），因此稱為等參變換。而所有采用等參變換的單元稱為等參單元。等參單元是一個(gè)單元家族，目前在通用程序中廣泛采用。這樣就得到一個(gè)事實(shí)上的映射，只要驗(yàn)證該映射把母單元映射成實(shí)際單元，就是所需要的映射，實(shí)際單元上局部坐標(biāo)系就滿足前面規(guī)定的要求。而事實(shí)上正是如此?！?.2平面四節(jié)點(diǎn)等參單元3、單元?jiǎng)偠染仃囉?jì)算1）形函數(shù)導(dǎo)數(shù)的坐標(biāo)變換等參單元中形函數(shù)是局部坐標(biāo)ξ,η的顯函數(shù)，而計(jì)算應(yīng)變時(shí)需要形函數(shù)對(duì)x,y坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)。根據(jù)等參變換式，ξ,η和x,y之間有一定函數(shù)關(guān)系，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)規(guī)則有：§6.2平面四節(jié)點(diǎn)等參單元從上式解出：從而可以計(jì)算應(yīng)變矩陣：§6.2平面四節(jié)點(diǎn)等參單元2）剛度矩陣積分式的坐標(biāo)變換對(duì)平面問題的四節(jié)點(diǎn)等參元，單元?jiǎng)偠染仃囉上率經(jīng)Q定：

積分區(qū)域是x-y坐標(biāo)系下的任意四邊形。進(jìn)行積分變量替換，用坐標(biāo)作為積分變量。由二維重積分變量替換公式得到：§6.2平面四節(jié)點(diǎn)等參單元3）剛度矩陣的數(shù)值積分由于等參單元?jiǎng)偠染仃嚪e分式中被積函數(shù)很難導(dǎo)出解析表達(dá)式，因此等參單元的計(jì)算都采用數(shù)值積分求積分的近似值，有限元中對(duì)四邊形和六面體等參單元采用高斯數(shù)值積分。一維積分高斯求積公式：§6.2平面四節(jié)點(diǎn)等參單元關(guān)于高斯積分的結(jié)論：對(duì)于二、三維高斯積分，有：沿不同的坐標(biāo)方向可以取不同積分階L,M,N，對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)位置（積分點(diǎn)）和權(quán)重分別按一維積分表選取。采用N階高斯積分，如果被積函數(shù)是2N-1階及以下的多項(xiàng)式，則高斯求積公式給出精確結(jié)果?！?.2平面四節(jié)點(diǎn)等參單元對(duì)于平面四節(jié)點(diǎn)等參元，剛度矩陣積分通常在ξ,η方向各采用2個(gè)積分點(diǎn)（2×2積分）：

§6.3平面八節(jié)點(diǎn)曲邊四邊形等參元平面8節(jié)點(diǎn)曲邊四邊形等