高中教育matlab層次分析法

層次分析法建模8.1預(yù)備知識8.2層次分析法建模的根本步驟8.3層次分析法建模的應(yīng)用實例y層次分析模型背景

日常工作、生活中的許多決策問題作比較判斷時人的主觀選擇起相當(dāng)大的作用，各因素的重要性難以量化

Saaty于20世紀(jì)70年代末提出層次分析法AHP(AnalyticHierarchyProcess)

AHP——一種定性與定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化、層次化的分析方法8.1預(yù)備知識

1、正互反矩陣：設(shè),假設(shè)元素滿足那么稱為正互反矩陣。例如2、一致陣：假設(shè)陣，且滿足那么稱為一致陣。例如為一個正互反矩

3、一致陣的性質(zhì)：對應(yīng)的特征向量為那么，其余特；假設(shè)〔1〕的各行〔列〕的元素對應(yīng)成比例，從而〔2〕〔3〕的最大特征值為。征值均為零；注：1〕假設(shè)為一致陣，那么可表示為：2〕假設(shè)為一致陣，那么的任一列向量均為的特征向量。即也是特征向量。

4、定理：階正互反矩陣，那么為最大特征值，設(shè)當(dāng)時，為一致陣。注：階正互反陣為一致陣最大特征值5、正互反矩陣的最大特征值與特征向量的求法：〔1〕冪法：1〕任取歸一化初始向量w(0),k:=0，設(shè)置精度2)計算3）歸一化4〕假設(shè)5)計算歸一化：分量之和為1，停止；否那么轉(zhuǎn)2〔2〕和法：列向量歸一化按行求和精確結(jié)果:w=(0.588,0.322,0.090)T,=3.010例：歸一化8.2層次分析法的根本步驟例.選擇旅游地如何在3個目的地中按照景色、費用、居住、飲食和旅途條件等因素選擇.步驟：1、建立層次結(jié)構(gòu)模型：將決策問題分為3個層次：目標(biāo)層O，準(zhǔn)那么層C，方案層P；每層有假設(shè)干元素，各層元素間的關(guān)系用相連的直線表示。目標(biāo)層O(選擇旅游地)P2黃山P1桂林P3北戴河準(zhǔn)那么層方案層C3居住C1景色C2費用C4飲食C5旅途2.通過相互比較構(gòu)造判斷矩陣，確定各準(zhǔn)那么對目標(biāo)的權(quán)重，及各方案對每一準(zhǔn)那么的權(quán)重。3.將上述兩組權(quán)重進(jìn)行綜合，確定各方案對目標(biāo)的權(quán)重。層次分析法將定性分析與定量分析結(jié)合起來完成以上步驟，給出決策問題的定量結(jié)果?！惨弧吵杀日蛰^矩陣和權(quán)向量1、成比照較矩陣：因素之間兩兩比照，用個因素

C1,C2,…,Cn對上層一個因假設(shè)要比較某一層素O的影響，表示和對O的影響之比。全部比較結(jié)果可用成比照較矩陣來表示。成比照較矩陣A為正互反矩陣。關(guān)于選擇旅游地設(shè)要比較各準(zhǔn)那么C1,C2,…,C5對目標(biāo)O的重要性A~成比照較陣A是正互反陣選擇旅游地表示C1與C2對選擇旅游地這個目標(biāo)O的重要性之比為1：2；

表示C1與C3之比為4：1要由A確定C1,…,C5對O的權(quán)重2、比較尺度〔1－9尺度〕尺度13579相同稍強強明顯強絕對強2468Saaty等人提出1~9尺度——aij

取值1,2,…,9及其互反數(shù)1,1/2,…,1/9心理學(xué)家認(rèn)為成比照較的因素不宜超過9個用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p(p=2,3,4,5),d+0.1~d+0.9(d=1,2,3,4)等27種比較尺度對假設(shè)干實例構(gòu)造成比照較陣，算出權(quán)向量，與實際比照發(fā)現(xiàn)，1~9尺度較優(yōu)。3、一致性與權(quán)向量：一致比較不一致允許不一致，但要求不一致的程度在允許的范圍內(nèi)先考察完全一致的情況：即成比照較是不一致〔由于各種因素及主觀傾向的干擾〕。將一塊大石頭O砸成n塊小石頭

C1,C2,…,Cn，它們的重量為。作成比照較矩陣，令那么為一致陣。設(shè)，那么n塊小石頭對大石頭的權(quán)重〔即在大石頭中占的比重〕為而為的特征向量。注：當(dāng)成比照較矩陣A為一致陣時，A的特征值的歸一化的特征向量w為權(quán)向量。即權(quán)向量滿足：且〔二〕一致性檢驗：成比照較矩陣通常不是一致陣，不一致的程度要求在一定的范圍內(nèi)。設(shè)稱為一致性指標(biāo)。當(dāng)時，A為一致陣，大，A的不一致程度越嚴(yán)重。越設(shè)RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51

n1234567891110注：Saaty的結(jié)果如下〔100～500樣本〕稱為一致性比率，其中RI

為隨機一致性指標(biāo)，取值見下表：當(dāng)時，認(rèn)為A的不一致程度在容許范圍內(nèi)。這時，用成比照較矩陣A的歸一化的特征向量作為權(quán)向量〔層次排序權(quán)值〕?！斑x擇旅游地〞中準(zhǔn)那么層對目標(biāo)的權(quán)向量及一致性檢驗準(zhǔn)則層對目標(biāo)的成對比較陣最大特征根

=5.073權(quán)向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指標(biāo)隨機一致性指標(biāo)RI=1.12(查表)一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1通過一致性檢驗〔三〕層次總排序及其一致性檢驗：1、層次總排序計算某一層次所有因素對于總目標(biāo)相對重要性的排序權(quán)值的過程稱為層次總排序〔從高到低計算〕。

設(shè)上一層A

包含m個因素A1,A2,…,Am，其層次總權(quán)值為，下一層B

包含n個因素B1,B2,…,Bn，它們對于的層次排序權(quán)值分別為，B層總排序權(quán)值〔對于總目標(biāo)〕為：

層次層次ABB層次總排序權(quán)值2、層次總排序的一致性檢驗B層次總排序的一致性比率為：要求。目標(biāo)層O(選擇旅游地)P2黃山P1桂林P3北戴河準(zhǔn)那么層方案層C3居住C1景色C2費用C4飲食C5旅途“選擇旅游地〞中方案層〔第3層〕對準(zhǔn)那么層〔第2層〕的權(quán)向量及一致性檢驗方案層對C1(景色)、C2(費用)、C3(居住)、C4(飲食)、C5(旅途)的成比照較陣分別為層次P的權(quán)向量與一致性比率分別為:所有的均可通過一致性檢驗RI=0.58(n=3)

層次層次CP

C1C2C3C4C5P1P2

P30.5950.0820.4290.6330.1660.2770.2360.4290.1930.1660.1290.6820.1420.1750.668

CI0.0030.00100.0050

CR0.0050.00200.0090

層次層次CPC1C2C3C4C5層次P總排序權(quán)值0.2630.4750.0550.0900.110P1P2

P30.5950.0820.4290.6330.1660.2770.2360.4290.1930.1660.1290.6820.1420.1750.6680.3000.2460.456

CI0.0030.00100.0050

“選擇旅游地〞中方案層〔第3層〕對總目標(biāo)〔第1層〕的總排序的權(quán)向量與一致性檢驗方案P1對目標(biāo)的權(quán)重為0.5950.263+0.0820.475…=0.300方案層對目標(biāo)的總排序的權(quán)向量為(0.300,0.246,0.456)TRI=0.58(n=3)方案層總排序的一致性比率為：

層次層次CPC1C2C3C4C5層次P總排序權(quán)值0.2630.4750.0550.0900.110P1P2

P30.5950.0820.4290.6330.1660.2770.2360.4290.1930.1660.1290.6820.1420.1750.6680.3000.2460.456

CI0.0030.00100.0050

例1資金的合理利用某工廠有一筆企業(yè)留成利潤要由廠領(lǐng)導(dǎo)決定如何使用?？晒┻x擇的方案有：給職工發(fā)獎金、擴(kuò)建企業(yè)的福利設(shè)施〔改善企業(yè)環(huán)境、改善食堂等〕和引進(jìn)新技術(shù)新設(shè)備。如何分配這筆資金？10、建立層次結(jié)構(gòu)模型〔如圖〕8.3層次分析法建模的應(yīng)用實例合理利用企業(yè)利潤調(diào)動職工積極性C1提高企業(yè)技術(shù)水平C2改善職工生活條件C3擴(kuò)建福利事業(yè)P2引進(jìn)新技術(shù)新設(shè)備P3發(fā)獎金P1目標(biāo)層Z準(zhǔn)則層C措施層P20、求解〔1〕構(gòu)造判斷矩陣〔成比照較矩陣〕Z–CZC1C2C3wC1C2C311/51/351331/310.1050.6370.258Z–C的最大特征值為w=(0.105,0.637,0.258)TRI=0.58〔2〕構(gòu)造判斷矩陣C1–P、C2–P、C3–PC1P1P2wP1P2131/310.750.25權(quán)向量依次為w1=(0.75,0.25)TC2P2P3wP2P311/5510.1670.833C3P1P2wP1P2121/210.6670.333上述三個矩陣均為一致陣，，故。w2

=(0.167,0.833)Tw3

=(0.667,0.333)T〔3〕方案層的總排序的權(quán)值表為

層次層次CPC1C2C3層次P總排序權(quán)值0.1050.6370.258P1P2

P30.7500.6670.250.1670.33300.83300.2510.2180.531

CI00030、檢驗：總排序的一致性檢驗從而40、結(jié)論：從30知層次總排序結(jié)果具有滿意的一致性利潤分配方案為：P1占25.1％，P2占21.8％，P3占53.1％。例2科研工程的選擇某科研單位現(xiàn)有三個科研工程，限于人力及物力的條件，只能選擇其中一個工程，主要考慮以下三個因素：〔1〕成果奉獻(xiàn)的大?。弧?〕工程的可行性；〔3〕對人才的培養(yǎng)，試作出合理的選擇。1．建立層次結(jié)構(gòu)模型將決策問題分解成三個層次，最上層為目標(biāo)層，即選擇科研工程；最下層為方案層，即三個工程P1，P2，P3；中間層為準(zhǔn)那么層，包含成果奉獻(xiàn)C1、工程的可行性C2及對人才的培養(yǎng)C3等三個因素〔如圖8.1〕。選擇科研項目可行性C2項目P2人才培養(yǎng)C3成果貢獻(xiàn)C1

項目P3項目P1目標(biāo)層O

準(zhǔn)則層C

方案層P

2．模型求解1〕構(gòu)造判斷矩陣O－C：將準(zhǔn)那么層中三個因素C1,C2,C3兩兩比較，得成比照較矩陣易得,且權(quán)向量為由公式得CI=0.005，于是通過了一致性檢驗。2〕構(gòu)造判斷矩陣C1－P,C2－P,C3－P