三講函數(shù)與不等式問題的解題技巧

第三講函數(shù)與不等式問題的解題技巧【命題趨向】全國高考數(shù)學(xué)科《考試大綱》為走向高考的莘莘學(xué)子指明了復(fù)習(xí)備考的方向．考綱是考試法典,是命題的依據(jù),是備考的總綱．科學(xué)備考的首要任務(wù)，就是要認(rèn)真學(xué)習(xí)、研究考綱．對照2007年的考綱和高考函數(shù)試題有這樣幾個(gè)特點(diǎn)：1．通過選擇題和填空題,全面考查函數(shù)的基本概念,性質(zhì)和圖象．2．在解答題的考查中，與函數(shù)有關(guān)的試題常常是以綜合題的形式出現(xiàn)．3．從數(shù)學(xué)具有高度抽象性的特點(diǎn)出發(fā)，沒有忽視對抽象函數(shù)的考查．4．一些省市對函數(shù)應(yīng)用題的考查是與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用結(jié)合起來考查的．5．涌現(xiàn)了一些函數(shù)新題型．6．函數(shù)與方程的思想的作用不僅涉及與函數(shù)有關(guān)的試題，而且對于數(shù)列，不等式，解析幾何等也需要用函數(shù)與方程思想作指導(dǎo)．函數(shù)類試題在試題中所占分值一般為22———35分．而2007年的不等式試題則有這樣幾個(gè)特點(diǎn)：1．在選擇題中會繼續(xù)考查比較大小，可能與函數(shù)、方程、三角等知識結(jié)合出題.2．在選擇題與填空題中注意不等式的解法建立不等式求參數(shù)的取值范圍,以及求最大值和最小值應(yīng)用題。3．解題中注意不等式與函數(shù)、方程、數(shù)列、應(yīng)用題、解幾的綜合、突出滲透數(shù)學(xué)思想和方法。分值在27---32分之間，一般為2個(gè)選擇題，1個(gè)填空題，1個(gè)解答題．可以預(yù)測在2008年的高考試題中，會有一些簡單求函數(shù)的反函數(shù),與導(dǎo)數(shù)結(jié)合的函數(shù)單調(diào)性－函數(shù)極值－函數(shù)最值問題；選擇題與填空題中會出現(xiàn)一些與函數(shù)、方程、三角等知識結(jié)合的不等式問題，在解答題中會出現(xiàn)一些不等式的解法以及建立不等式求參數(shù)的取值范圍，和求最大值和最小值的應(yīng)用題特別是不等式與函數(shù)、方程、數(shù)列、應(yīng)用題、解幾的綜合題，這些題目會突出滲透數(shù)學(xué)思想和方法，值得注意?！究键c(diǎn)透視】1．了解映射的概念，理解函數(shù)的概念．2．了解函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的概念，掌握判斷一些簡單函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的方法，并能利用函數(shù)的性質(zhì)簡化函數(shù)圖象的繪制過程．3．了解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系,會求一些簡單函數(shù)的反函數(shù)．4．理解分?jǐn)?shù)指數(shù)的概念，掌握有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)．5．理解對數(shù)的概念，掌握對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，掌握對數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)．6．能夠運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡單的實(shí)際問題．7．在熟練掌握一元一次不等式(組)、一元二次不等式的解法基礎(chǔ)上,掌握其它的一些簡單不等式的解法．通過不等式解法的復(fù)習(xí)，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力以及計(jì)算能力． 8．掌握解不等式的基本思路，即將分式不等式、絕對值不等式等不等式,化歸為整式不等式(組),會用分類、換元、數(shù)形結(jié)合的方法解不等式． 9．通過復(fù)習(xí)不等式的性質(zhì)及常用的證明方法(比較法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法等)，使學(xué)生較靈活的運(yùn)用常規(guī)方法（即通性通法)證明不等式的有關(guān)問題． 10．通過證明不等式的過程，培養(yǎng)自覺運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)等基本數(shù)學(xué)思想方法證明不等式的能力． 11．能較靈活的應(yīng)用不等式的基本知識、基本方法，解決有關(guān)不等式的問題． 12．通過不等式的基本知識、基本方法在代數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何等各部分知識中的應(yīng)用,深化數(shù)學(xué)知識間的融匯貫通，從而提高分析問題解決問題的能力．在應(yīng)用不等式的基本知識、方法、思想解決問題的過程中,提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)及創(chuàng)新意識．【例題解析】1.函數(shù)的定義域及其求法函數(shù)的定義域及其求法是近幾年高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一.這里主要幫助考生靈活掌握求定義域的各種方法,并會應(yīng)用用函數(shù)的定義域解決有關(guān)問題.例1．（2007年廣東卷理)已知函數(shù)的定義域?yàn)镸，g（x)=的定義域?yàn)镹，則M∩N=（A）（B）(C)(D）命題意圖：本題主要考查含有分式、無理式和對數(shù)的函數(shù)的定義域的求法。解：函數(shù)的定義域M=g（x)=的定義域N=∴M∩N=．故選C例2.（2006年湖南卷）函數(shù)的定義域是（）（A)（3,+∞）（B）[3，+∞)(C）(4,+∞）（D）［4，+∞）命題意圖:本題主要考查含有無理式和對數(shù)的函數(shù)的定義域的求法。解：由,故選D.2。求函數(shù)的反函數(shù)求函數(shù)的反函數(shù),有助與培養(yǎng)人的逆向思維能力和深化對函數(shù)的定義域、值域，以及函數(shù)概念的理解。例3．（2006年安徽卷）函數(shù)的反函數(shù)是（）(A)（B)（C）（D）命題意圖：本題主要考查有關(guān)分段函數(shù)的反函數(shù)的求法.故選C。例4．（2007年湖北卷理）已知函數(shù)的反函數(shù)是，則；．命題意圖：本題主要考查反函數(shù)的求法及待定系數(shù)法等知識。解:與比較得6，故填3.復(fù)合函數(shù)問題復(fù)合函數(shù)問題,是新課程、新高考的重點(diǎn).此類題目往往分為兩類：一是結(jié)合函數(shù)解析式的求法來求復(fù)合函數(shù)的值。二是應(yīng)用已知函數(shù)定義域求復(fù)合函數(shù)的定義域.例5．（2007年北京卷文）對于函數(shù)①，②，③，判斷如下兩個(gè)命題的真假：命題甲：是偶函數(shù);命題乙:在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù);能使命題甲、乙均為真的所有函數(shù)的序號是（）Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．② Ｄ．③命題意圖:本題主要考查利用復(fù)合函數(shù)和函數(shù)單調(diào)性等知識解決問題的能力.解：是偶函數(shù)，又函數(shù)開口向上且在上是減函數(shù),在上是增函數(shù)．故能使命題甲、乙均為真的函數(shù)僅有．故選Ｃ例6．（2006年安徽卷)函數(shù)對于任意實(shí)數(shù)滿足條件，若則__________.命題意圖：本題主要考查代數(shù)式恒等變形和求復(fù)合函數(shù)的值的能力。解：由，得，所以，則.4.函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和周期性函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和周期性是高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，考查內(nèi)容靈活多樣.這里主要幫助讀者深刻理解奇偶性、單調(diào)性和周期性的定義，掌握判定方法，正確認(rèn)識單調(diào)函數(shù)與奇偶函數(shù)的圖象。例7．（2006年全國卷）已知函數(shù)，若為奇函數(shù)，則________.命題意圖：本題主要考查函數(shù)的解析式的求解以及函數(shù)的奇偶性應(yīng)用。常規(guī)解法：由f（x）為奇函數(shù),所以f（x)+f(—x）=0，即應(yīng)填。巧妙解法：因?yàn)閒（x)為奇函數(shù)，所以f（0)=0，即應(yīng)填。點(diǎn)評：巧妙解法巧在利用了f(x)為奇函數(shù)，所以f(0)=0，這一重要結(jié)論。例8．（2007年全國卷理I），是定義在上的函數(shù)，,則“,均為偶函數(shù)"是“為偶函數(shù)”的（）A．充要條件 B．充分而不必要的條件C．必要而不充分的條件 D．既不充分也不必要的條件命題意圖:本題主要考查兩個(gè)函數(shù)的加法代數(shù)運(yùn)算后的單調(diào)性以及充分條件和必要條件的相關(guān)知識。解先證充分性:因?yàn)?，均為偶函?shù),所以，有，所以為偶函數(shù)．反過來，若為偶函數(shù),不一定是偶函數(shù)．如,，故選B。方法二：可以選取兩個(gè)特殊函數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證．故選B點(diǎn)評：對充要條件的論證，一定既要證充分性，又要證必要性，二著缺一不可．同時(shí)，對于抽象函數(shù),有時(shí)候可以選取特殊函數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證．5。函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一，它是研究和記憶函數(shù)性質(zhì)的直觀工具，利用它的直觀性解題，可以起到化繁為簡、化難為易的作用.因此，讀者要掌握繪制函數(shù)圖象的一般方法,掌握函數(shù)圖象變化的一般規(guī)律，能利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì).此類題目還很好的考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想.例9．（2006年山東卷)函數(shù)y=1+ax(0<a<1）的反函數(shù)的圖象大致是(）（A）（B）（C）（D）命題意圖：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的圖象,互為反函數(shù)圖象間關(guān)系及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)等知識.解：∵y=1+ax(0〈a〈1)，∴.此函數(shù)圖象是由函數(shù)向右平移一個(gè)單位得到的.故選A.6.函數(shù)綜合問題函數(shù)綜合問題是歷年高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)內(nèi)容之一,一般難度較大，考查內(nèi)容和形式靈活多樣。這里主要幫助考生在掌握有關(guān)函數(shù)知識的基礎(chǔ)上進(jìn)一步深化綜合運(yùn)用知識的能力，掌握基本解題技巧和方法,并培養(yǎng)讀者的思維和創(chuàng)新能力.例10．（2007年浙江卷文）已知(Ⅰ）若k=2，求方程的解;（Ⅱ)若關(guān)于x的方程在（0，2)上有兩個(gè)解x1，x2，求k的取值范圍,并證明命題意圖:本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)、方程與函數(shù)的關(guān)系等基礎(chǔ)知識，以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識、分類討論等思想方法分析和解決問題的能力。滿分15分.（I）解：當(dāng)分兩種情況討論：①當(dāng)，方程化為②當(dāng)，方程化為1+2x=0,解得，由①②得，（II）解：不妨設(shè)，因?yàn)樗允菃握{(diào)遞函數(shù)，故上至多一個(gè)解，方法一：方法二：因?yàn)? ①因?yàn)椋?②由①②消去k，得7。以集合為背景的不等式以集合為背景的不等式,以考查不等式的解法和集合的有關(guān)概念與運(yùn)算為目的，解題時(shí)應(yīng)注意將不等式的解法與集合的有關(guān)概念和運(yùn)算相結(jié)合,準(zhǔn)確解題。例11。（2007年北京卷文）記關(guān)于的不等式的解集為，不等式的解集為．（I）若,求;（II）若，求正數(shù)的取值范圍．命題意圖:本題主要考查集合的有關(guān)概念和運(yùn)算及分式不等式和含絕對值的不等式的解法。解：(I)由,得．（II)．由,得，又，所以，即的取值范圍是．8。以線性規(guī)劃形式出現(xiàn)的不等式以線性規(guī)劃形式出現(xiàn)的不等式,重在考查數(shù)形結(jié)合的解題能力。這種題目解題時(shí)要注意根據(jù)已知不等式組作出圖形，分析求解。例12。（2006年遼寧卷）雙曲線的兩條漸近線與直線圍成一個(gè)三角形區(qū)域,表示該區(qū)域的不等式組是(A） （B） （C） （D）命題意圖：本題主要考查利用雙曲線的圖象性質(zhì)和線性規(guī)劃的知識，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合能力。解:作圖可知三角形區(qū)域在第一象限.即滿足故選(A）9。。以簡易邏輯為背景的不等式以簡易邏輯為背景的不等式，解題時(shí)往往以不等式為工具,來確定命題,用簡易邏輯知識解決問題.例13。（2006年山東卷)設(shè)，則是的（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件（C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件命題意圖：本題主要考查利用不等式和簡易邏輯知識解決問題的能力.解：由題設(shè)可得：故選（A）10..與函數(shù)知識結(jié)合的不等式與函數(shù)知識結(jié)合的不等式，解題時(shí)往往以不等式為工具,結(jié)合函數(shù)知識,通過推理來解決問題.例14。（2006年山東卷）設(shè)（A）0 (B)1 （C)2 （D）3命題意圖：本題主要考查利用不等式和函數(shù)知識解決問題的能力。解：故選（C）12.。與平面向量知識結(jié)合的不等式與平面向量知識結(jié)合的不等式,解題時(shí)往往以不等式為工具,結(jié)合平面向量知識和坐標(biāo)運(yùn)算，通過和坐標(biāo)運(yùn)算和推理來解決問題。例15.（2006年遼寧卷）設(shè)，,，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動點(diǎn),,若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是(A） （B)(C） （D)命題意圖：本題主要考查利用不等式和平面向量知識解決問題的能力。解：設(shè)P（x，y），則由得,又點(diǎn)是線段上的一個(gè)動點(diǎn)，故選（B)13..與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)知識結(jié)合的不等式.與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)知識結(jié)合的不等式，解題時(shí)往往以不等式和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為工具，結(jié)合函數(shù)知識，通過推理來解決問題。例16。（2006年江西卷)已知函數(shù)在與時(shí)都取得極值.（1） 求、的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;（2） 若對，不等式恒成立，求的取值范圍。命題意圖：本小題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)，函數(shù)極值的判定，給定區(qū)間上二次函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識的綜合運(yùn)用,考查就數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想分析問題，解決問題的能力.解：極大值 極小值 所以函數(shù)的遞增區(qū)間為與;遞減區(qū)間為。14..與數(shù)列知識結(jié)合的不等式與數(shù)列知識結(jié)合的不等式，解題時(shí)往往以不等式和數(shù)列知識結(jié)合為工具,結(jié)合函數(shù)知識，通過計(jì)算和推理來解決問題。例17。（2006年湖北卷)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)均在函數(shù)的圖像上.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，是數(shù)列的前項(xiàng)和，求使得對所有都成立的最小正整數(shù)。命題意圖:本小題主要是考查等差數(shù)列、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識和基本的運(yùn)算技能，考查分析問題能力和推理能力。解:（I）依題意得，即。當(dāng)n≥2時(shí)，;當(dāng)n=1時(shí)，×-2×1—1—6×1—5。所以。（II）由(I)得，故=。因此，使得﹤成立的m必須滿足≤，即m≥10,故滿足要求的最小整數(shù)m為10.15..不等式的實(shí)際應(yīng)用不等式的實(shí)際應(yīng)用題,解題時(shí)往往以不等式為工具，結(jié)合函數(shù)知識和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,通過建立不等式模型，利用計(jì)算和推理來解決問題。例18．（2007年重慶卷文）（本小題滿分12分）用長為18m的鋼條圍成一個(gè)長方體形狀的框架,要求長方體的長與寬之比為2：1，問該長方體的長、寬、高各為多少時(shí)，其體積最大?最大體積是多少？命題意圖：本小題主要考查利用函數(shù)的最大值和最小值的基礎(chǔ)知識，以及運(yùn)用不等式知識解決實(shí)際問題的能力．解：設(shè)長方體的寬為x（m），則長為，高為故長方體的體積為從而令（舍去)或x=1，因此x=1。當(dāng),故在x=1處取得極大值,并且這個(gè)極大值就是的最大值。從而最大體積此時(shí)長方體的長為2m，高為1.5m答：當(dāng)長體的長為2m,寬為1m,高為1.5m時(shí),體積最大，最大體積為3m3.【專題訓(xùn)練與高考預(yù)測】一.選擇題1.y=的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A。（－∞，－3)B。(－∞,－1)C。[1,+∞］D。[－3，－1］2。下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，1)上是增函數(shù)的是(）A。y=－B.y=C。y=3－2xD.y=－x2+2x+13。設(shè)f（x)是定義在A上的減函數(shù)，且f(x）＞0，則下列函數(shù)：y=3－2f（x),y=1+，y=f2(x），y=1－，其中增函數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C。3 D。44．關(guān)于x的方程9x+（a+4)?3x+4=0有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．(—∞，-8]∪［0，+∞）B、(-∞,—4）[-8，4）D、（-∞，—8］5．若a〉0,b〉0，且2a+b=1，則S=2—4a2-b2的最大值是（)A． B、C、 D、6．已知不等式m2＋(cos2θ－5)m＋4sin2θ≥0恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A.0≤m≤4B.1≤m≤4C．m≥4或x≤0D。m≥1或m≤0二.填空題7。設(shè)f（x)=x2－1(x≤－2），則f－1(4)=__________。8。已知f(x）=3x－2,則f－1（3x－2）=__________.9.已知f（x）是奇函數(shù),當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f(x）＝lg,那么當(dāng)x∈（－1,0）時(shí),f（x）的表達(dá)式是_____．10。記S=，則S與1的大小關(guān)系是。11.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是_________。12.實(shí)數(shù)滿足,則的取值范圍是__________.三。解答題13.設(shè)函數(shù)f（x）=log2(x+1），當(dāng)點(diǎn)（x，y）在y=f(x）的反函數(shù)圖象上運(yùn)動時(shí)，對應(yīng)的點(diǎn)（）在y=g（x）的圖象上.(1)求g（x）的表達(dá)式；(2)當(dāng)g(x）-f—1（x）0時(shí),求u（x)=g（x）-f—1（x）的最小值.14。在某產(chǎn)品的制造過程中，次品率p依賴于日產(chǎn)量x,已知其中x為正整數(shù)，又該廠每生產(chǎn)一正品可贏利A元，但每生產(chǎn)出一件次品就要損失元.（1)將該廠的日贏利額T（元)表示為日產(chǎn)量x(個(gè)）的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域;(2）為了獲得最大盈利,該廠的日產(chǎn)量應(yīng)定為多少？15．已知的單調(diào)區(qū)間； （2）若16．某人上午7時(shí)乘摩托艇以勻速V千米