北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè) 2.2用配方法求解一元二次方程

2.2

用配方法求解一元二次方程

第二章一元二次方程第1課時(shí)直接開(kāi)平方法與配方法(1)1.

如果

x2=a，那么

x叫做

a的

.復(fù)習(xí)引入平方根2.

如果

x2=a(a≥0)，那么

x=

.3.

如果

x2=64，那么

x=

.±84.

任何數(shù)都可以作為被開(kāi)方數(shù)嗎？負(fù)數(shù)不可以作為被開(kāi)方數(shù).直接開(kāi)平方法

問(wèn)題：一桶油漆可以刷

1500dm2，小林用這桶油漆恰好刷完

10個(gè)同樣的正方體形狀的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱長(zhǎng)嗎？解：設(shè)盒子的棱長(zhǎng)為

xdm，則一個(gè)正方體盒子的表面積為6x2dm2．由此可列方程10×6x2=1500，即

x2=25．根據(jù)平方根的意義得

x=±5，即

x1=5，x2=－5．∵棱長(zhǎng)不能為負(fù)值，∴盒子的棱長(zhǎng)為5dm．試一試：

解下列方程，并與同伴交流，說(shuō)明你所用的方法.(1)x2=4；(2)x2

=0；(3)x2

+1=0.解：根據(jù)平方根的意義，得

x1=2，x2=-2.解：移項(xiàng)，得

x2=-1．∵負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根，∴原方程無(wú)解.解：根據(jù)平方根的意義，得

x1=x2=0.(2)當(dāng)

n

=0

時(shí)，方程

(I)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

x1

=x2=

0；(3)當(dāng)

n

＜0

時(shí)，因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)

x，都有

x2≥0

，所以方程

(I)無(wú)實(shí)數(shù)根.探究歸納一般的，對(duì)于可化為x2=n

(I)的方程，

(1)當(dāng)

n

＞0

時(shí)，根據(jù)平方根的意義，方程

(I)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

x1

=

，x2

=

；利用平方根的定義直接開(kāi)平方求一元二次方程的根的方法叫直接開(kāi)平方法.歸納例1

利用直接開(kāi)平方法解下列方程：(1)x2=6；(2)

x2

-

900=0.解：直接開(kāi)平方，得解：移項(xiàng)，得x2=900.直接開(kāi)平方，得x=±

30，∴

x1=30，x2=-30.典例精析方法點(diǎn)撥：通過(guò)移項(xiàng)把方程化為

x2=n

的形式，然后直接開(kāi)平方即可求解．在解方程(I)時(shí)，由方程

x2

=

25

得

x

=

±5.由此想到:(x

+

3)2

=

5，

②得對(duì)照上面方法，你認(rèn)為怎樣解方程(x

+

3)2

=

5探究交流于是，方程

(x

+

3)2

=

5

的兩個(gè)根為上面的解法中，由方程②得到③，實(shí)質(zhì)上是把一個(gè)一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程，這樣就把方程②轉(zhuǎn)化為我們會(huì)解的方程了.解題歸納例2

解下列方程：（1）(x＋1)2=2；

解析：第

1

小題中只要將

(x＋1)看成是一個(gè)整體，就可以運(yùn)用直接開(kāi)平方法求解.即

x1

=

?1+，x2

=

?1

?

解： ∵x+1是

2的平方根，∴x

+

1

=解析：第

2

小題先將－4

移到方程的右邊，再同第

1

小題一樣地解.（2）(x?

1)2

?

4=0；即

x1

=

3，x2

=?1.解：

移項(xiàng)，得

(x?1)2

=

4.∵x?1

是

4

的平方根，∴x?1

=

±2，1.能用直接開(kāi)平方法解的一元二次方程有什么特點(diǎn)？

如果一個(gè)一元二次方程具有

x2

=n

或(x＋m)2

=

n

(n≥0)的形式，那么就可以用直接開(kāi)平方法求解.2.任意一個(gè)一元二次方程都能用直接開(kāi)平方法求解嗎？請(qǐng)舉例說(shuō)明.探討交流不是所有的一元二次方程都能用直接開(kāi)平方法求解，如：x2+2x-3=0.配方的方法問(wèn)題1.下列完全平方公式你還記得嗎？試著填一填.(1)a2+

2ab

+

b2

=

(

)2；(2)a2

-

2ab

+

b2

=

(

)2.a

+

ba

-

b探究交流

填上適當(dāng)?shù)臄?shù)或式，使下列各等式成立.（1）x2+4x+

=(x+

)2；（2）x2?

6x

+

=(x?

)2；（3）x2

+

8x

+

=(x+

)2；（4）x2?

x

+

=(x?

)2.你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？222323424填一填

對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為

1的單字母二次三項(xiàng)式，將常數(shù)項(xiàng)配成一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方時(shí)，可得完全平方公式.二次項(xiàng)系數(shù)為

1的完全平方式：

常數(shù)項(xiàng)等于一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.歸納總結(jié)填一填：x2

+px

+

(

)2

=

(x+

)2配方的方法用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程探究交流解方程：x2

+6x+4=0.(1)問(wèn)題1

方程

(1)怎樣變成(x+n)2=p的形式呢？解：x2+6x+4=0x2+6x=-4移項(xiàng)x2+6x+9=-4+9兩邊都加上

9二次項(xiàng)系數(shù)為

1的完全平方式，常數(shù)項(xiàng)等于一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方方法歸納在方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方

——注意是在二次項(xiàng)系數(shù)為

1的前提下進(jìn)行的.問(wèn)題2

為什么在方程

x2+6x=-4的兩邊加上

9？加其他數(shù)行嗎？不行，只有在方程兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，方程左邊才能變成完全平方式

x2

+2mx+m2的形式.一元二次方程配方的方法：要點(diǎn)歸納

通過(guò)配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，這種解一元二次方程的方法稱為配方法.配方法的定義配方法解方程的基本思路

把一元二次方程化為(x+m)2=n的形式，通過(guò)開(kāi)平方將方程降次，轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解．例3解方程x2

+8x-9=0

解：可以把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，得x2

+8x=9，兩邊都加

42（一次項(xiàng)系數(shù)

8

的一半的平方），得x2

+8x+42

=9+42，即

(x

+

4)2

=25.兩邊開(kāi)平方，得x+4=±5

，即x+4=5

或

x+4=-5.所以 x1=1，

x2=-9.試一試：解方程

x2

+12x-

15=0

.解：可以把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，得x2

+12x=15，兩邊都加

62（一次項(xiàng)系數(shù)

12

的一半的平方），得x2

+12x+62

=15+62，即

(x

+

6)2

=51.兩邊開(kāi)平方，得x+6=，即x+6=或

x+6=.所以x1=，

x2=.C.解方程

4(x

-

1)2

=

9，得

4(x

-

1)

=±3，x1

=，x2

=D.解方程

(2x

+

3)2

=

25，得

2x

+

3

=±5，x1

=1，

x2

=

-4

1.下列解方程的過(guò)程中，正確的是（

）A.解方程

x2

=

-2，得

x

=±B.解方程

(x

-

2)2

=

4，得

x

-

2

=

2，x

=

4

D(1)方程

x2

=0.25的根是

.(2)方程

2x2

=18的根是

.(3)方程

(2x-1)2=9的根是

.3.解下列方程：

(1)x2

-

81＝0；(2)2x2＝50；

(3)(x＋1)2＝4.

x1＝0.5，x2＝-0.5x1＝3，x2＝-3x1＝2，x2＝-12.填空:x1＝9，x2＝-9.x1＝5，x2＝-5.x1＝1，x2＝-3.4.(請(qǐng)你當(dāng)小老師)下面是小李同學(xué)解答的一道一元二次方程的具體過(guò)程，你認(rèn)為他解的對(duì)嗎？如果有錯(cuò)，指出具體位置并幫他改正.①②③④解：解：不對(duì)，從②開(kāi)始錯(cuò)，應(yīng)改為解：方程的兩根為5.解下列方程：解：

移項(xiàng)，得x2

-

8x=

-

1，配方，得x2

-

8x

+

42=

-

1

+

42，(x

-

4)2

=15.由此可得即解方程：挑戰(zhàn)自我解：∴方程的兩根為或用配方法解一元二次方程直接開(kāi)平方法：基本思路：解二次項(xiàng)系數(shù)為

1

的一元二次方程步驟形如

(x+m)2=n(n≥0)將方程轉(zhuǎn)化為(x+m)2

=n

(n≥0)的形式，在用直接開(kāi)平方法，直接求根.1.移項(xiàng)3.直接開(kāi)平方求解2.配方2.2

用配方法求解一元二次方程第二章一元二次方程第2課時(shí)

配方法(2)復(fù)習(xí)引入(1)9x2=1；(2)(x-

2)2

=2.2.下列方程能用直接開(kāi)平方法來(lái)解嗎?1.用直接開(kāi)平方法解下列方程:(1)x2

+

6x

+

9=5；(2)

x2

+

3x

-

4=0.把兩題轉(zhuǎn)化成(x

+

m)2

=

n(n≥0)的形式，再利用開(kāi)平方用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)不為1的一元二次方程問(wèn)題1：觀察下面兩個(gè)一元二次方程的聯(lián)系和區(qū)別：①x2+6x+8=0；

②3x2

+

8x

-

3=0.問(wèn)題2：用配方法來(lái)解x2

+6x+8=0.

解：移項(xiàng)，得x2

+6x=-8，

配方，得

(x+3)2

=1.

開(kāi)平方，得x+3=±1.

解得

x1

=-2，

x2

=

-4.想一想怎么來(lái)解3x2

+

8x

-

3=0.試一試：解方程：3x2+8x-

3=0.

解：兩邊同除以3，得

配方，得

開(kāi)方，得

即

所以x1

=，x2

=-3.可以先將二次項(xiàng)系數(shù)化為

1.配方，得由此可得二次項(xiàng)系數(shù)化為

1，得解：移項(xiàng)，得2x2

-3x=-1.即移項(xiàng)和二次項(xiàng)系數(shù)化為

1這兩個(gè)步驟能不能交換呢?例1

解下列方程：配方，得∵實(shí)數(shù)的平方不會(huì)是負(fù)數(shù)，∴x取任何實(shí)數(shù)時(shí)，上式都不成立．∴原方程無(wú)實(shí)數(shù)根．解：移項(xiàng)，得二次項(xiàng)系數(shù)化為

1，得為什么方程兩邊都加

12？即思考1：用配方法解一元二次方程時(shí)，移項(xiàng)時(shí)要

注意些什么？思考2：用配方法解一元二次方程的一般步驟.移項(xiàng)時(shí)需注意改變符號(hào).①移項(xiàng)，二次項(xiàng)系數(shù)化為1；②左邊配成完全平方式；③左邊寫成完全平方式；④降次；⑤解一次方程.一般地，如果一個(gè)一元二次方程通過(guò)配方轉(zhuǎn)化成

(x

+

m)2

=n.①當(dāng)

n＞0

時(shí)，則

，方程的兩個(gè)根為②當(dāng)

n=0

時(shí)，則(x+m)2=0，x

+

m=0，開(kāi)平方得方程的兩個(gè)根為

x1=x2=-m.③當(dāng)

n＜0

時(shí)，則方程

(x

+

m)2

=n

無(wú)實(shí)數(shù)根.規(guī)律總結(jié)引例：一個(gè)小球從地面上以

15m/s

的速度豎直向上彈出，它在空中的高度

h(m)與時(shí)間t(s)滿足關(guān)系：h=15t-

5t2.小球何時(shí)能達(dá)到

10m

高？解：將h=10

代入方程中

15t-

5t2

=10.

兩邊同時(shí)除以

-5，得

t2

-

3t=

-2.配方，得t2

-

3t+=

-2.配方法的應(yīng)用即移項(xiàng)，得=即

t-=

或

t-=.所以t1=2，

t2

=

1.即在1s或2s時(shí)，小球可達(dá)10m高.例2試用配方法說(shuō)明：不論

k取何實(shí)數(shù)，多項(xiàng)式

k2－4k＋5的值必定大于零.解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1=(k－2)2＋1因?yàn)?k－2)2≥0，所以(k－2)2＋1≥1.所以

k2－4k＋5的值必定大于零.例3

若

a，b，c為△ABC

的三邊長(zhǎng)，且

試判斷△ABC的形狀.解：將原式配方，得所以，△ABC為直角三角形.

由非負(fù)式的性質(zhì)可知

即所以

1.關(guān)于

x的方程

2x2-3m-

x+m2+2=0

有一根為

x=0，則

m的值為（）A.1B.1C.1或

2D.1

或

-22.利用配方法求最值.(1)2x2

-4x+5

的最小值；(2)-3x2

+5x+1

的最大值.練一練C解：(1)

2x2-

4x+

5=2(x-

1)2+3，當(dāng)

x=1時(shí)有最小值3.(2)

-3x2+5x+1=-3+，當(dāng)

x=時(shí)有最大值

.歸納總結(jié)配方法的應(yīng)用類別解題策略1.求最值或證代數(shù)式的值恒正（或負(fù)）將關(guān)于

x

的二次多項(xiàng)式通過(guò)配方成

a(x+m)2+n的形式后，由于

(x+m)2≥0，故當(dāng)

a＞0時(shí)，可得其最小值為

n；當(dāng)

a＜0時(shí)，可得其最大值為

n.2.完全平方式中的配方如：已知

x2

-

2mx+16是一個(gè)完全平方式，所以一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方等于

16，即

m2

=

16，m=±4.3.利用配方構(gòu)成非負(fù)式的和的形式對(duì)于含有多個(gè)未知數(shù)的二次式等式，求未知數(shù)的值，可考慮配方成多個(gè)完全平方式的和為0，再根據(jù)非負(fù)式大于等于0，則各式均為

0，進(jìn)而求解.如：a2＋b2－4b＋4

=

0，即

a2＋(b－2)2

=

0，則a=

0，b=

2.例4讀詩(shī)詞解題：（通過(guò)列方程，算出周瑜去世時(shí)的年齡.）

大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流數(shù)人物。

而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)。十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽符。哪位學(xué)子算得快，多少年華屬周瑜？解：設(shè)個(gè)位數(shù)字為

x，則十位數(shù)字為

(x-

3).x1=6，x2=5x2

-

11x=-30x2

-

11x

+

5.52

=-30

+

5.52(x

-

5.5)2

=0.25x

-

5.5=0.5

或

x

-

5.5=-0.5依題列方程

x2

=10(x

-

3)+x∴這個(gè)兩位數(shù)為

36

或

25.∴周瑜去世的年齡為

36

歲.∵周瑜

30

歲還攻打過(guò)東吳，1.解下列方程：（1）x2

+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12；（3）4x2

-

6x

-

3=0；

（4）3x2

+6x

-

9=0.解：x2+2x+2=0，(x+1)2

=-1.∴此方程無(wú)解.解：x2-

4x

-

12

=

0，(x-

2)2

=16.∴x1=6，x2

=-2.解：x2+2x-3=0，(x+1)2

=4.∴x1=-3，x2

=1.2.利用配方法證明：不論

x取何值，代數(shù)式

?x2?x?1的值總是負(fù)數(shù)，并求出它的最大值.解：?x2?x?1=?