《高等數(shù)學(xué)》第一節(jié)：映射與函數(shù)

高等數(shù)學(xué)

研究對(duì)象

函數(shù)

研究內(nèi)容

一元函數(shù)

多元函數(shù)

微分方程

無窮級(jí)數(shù)

上冊(cè)

下冊(cè)

研究工具

極限微分學(xué)與積分學(xué)微分學(xué)與積分學(xué)空間解析幾何與向量代數(shù)

高等數(shù)學(xué)

概念

公式、定理、性質(zhì)

應(yīng)用抽象性邏輯性用哪個(gè)？條件？不合條件，改造！第一章函數(shù)與極限第一節(jié)映射與函數(shù)映射一、映射

是非空集合，

如果存在對(duì)應(yīng)法則，

使得對(duì)中每個(gè)元素，

按照法則，

在中有唯一確定的元素與之對(duì)應(yīng)，

則稱為從到的映射，

記為.

值域

定義域

像

原像滿射單射一一映射逆映射

則稱為的逆映射，

記為.

設(shè)是到的單射，

則對(duì)每個(gè)，

有唯一的適合.

定義從到的新映射，

對(duì)每個(gè)，

滿足：一一映射逆映射映射滿射注：只有單射才存在逆映射。復(fù)合映射

稱為構(gòu)成的復(fù)合映射，

記為.

定義從到的映射,

映射

則對(duì)每個(gè)，

有唯一的適合，

非空集

映射又稱為算子。

在不同的數(shù)學(xué)分支中有不同的慣用名稱。

數(shù)集

泛函

《實(shí)變函數(shù)與泛函分析》

實(shí)數(shù)集或其子集實(shí)數(shù)集

函數(shù)

《高等數(shù)學(xué)》注：函數(shù)二、函數(shù)

記為

映射稱為定義在D上的函數(shù)，o

映射，不是單射。(1)符號(hào)函數(shù)幾個(gè)特殊函數(shù)舉例(2)取整函數(shù)

不超過x的最大整數(shù)稱為x的取整函數(shù)。

記為

例(4)取最值函數(shù)(3)狄利克雷函數(shù)oo函數(shù)的幾種特性(1)有界性

在X上有界：存在任意

在X上有上界：

在X上有下界：在上有上界在上有下界在上無界

在X上無界：

在X上有界：例1：證明：012(2)函數(shù)的單調(diào)性(3)奇偶性(4)周期性例2：解：在上有界；不是單調(diào)函數(shù)；偶函數(shù)；周期函數(shù)，沒有最小正周期。任意有理數(shù)都是它的周期，反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)反函數(shù)函數(shù)是單射，則它存在逆映射

稱此映射為函數(shù)的反函數(shù)。一般的，函數(shù)的反函數(shù)記為定義域值域定義域值域定義域值域定義域值域復(fù)合函數(shù)

稱為函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)。

函數(shù)

則函數(shù)

稱為中間變量。例復(fù)合函數(shù)孤立點(diǎn)集初等函數(shù)(1)基本初等函數(shù)冪、指數(shù)、對(duì)數(shù)、三角與反三角三角函數(shù):三角關(guān)系:誘導(dǎo)公式:倍角公式:和差與積:(2)初等函數(shù)

由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用